Exercicis d'òptica — Física 2n Batxillerat

Q: Què demostra l'experiment de la doble escletxa de Young?

Que la llum té comportament ondulatori: en passar per dues escletxes es formen franges brillants i fosques per interferència, cosa que només fan les ones.

Q: Per què els retrovisors dels cotxes són convexos?

Perquè els miralls convexos donen imatges virtuals, dretes i més petites, i així cap més camp de visió en el mateix mirall.

L'òptica estudia el comportament de la llum, i aquests exercicis en treballen la part geomètrica i la física. Enuncies la llei de la reflexió i apliques la de Snell a la refracció, mesurant els angles respecte a la normal. Després estudies lents i miralls: on es forma la imatge d'un objecte davant d'una lent convergent, si és real o virtual, i per què els retrovisors convexos donen un camp de visió més ampli. A la part d'òptica física expliques la difracció i què demostra l'experiment de la doble escletxa de Young. Les solucions fan el traçat de raigs. Errors típics: mesurar els angles respecte a la superfície i esperar que l'òptica geomètrica expliqui la difracció.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Enuncia la llei de la reflexió.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

L'angle de reflexió és igual a l'angle d'incidència (tots dos mesurats respecte de la normal), i el raig incident, el reflectit i la normal són en el mateix pla.

Resolució

Què es demana. Cal enunciar la llei que descriu com rebota la llum en una superfície llisa (un mirall).
Primera part de la llei. L'angle de reflexió és igual a l'angle d'incidència: $\theta_{r} = \theta_{i}$ Fixa't que tots dos es mesuren respecte de la normal (la perpendicular a la superfície al punt d'incidència), no respecte de la superfície.
Segona part de la llei. El raig incident, el raig reflectit i la normal són en el mateix pla (el pla d'incidència).
Conclusió. Aquesta llei és la base de la formació d'imatges en els miralls.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

L'òptica geomètrica (rajos rectes) pot explicar la difracció?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

No. La difracció (i la interferència) només s'explica amb el caràcter ondulatori de la llum, que estudia l'òptica física.

Resolució

Què explica l'òptica geomètrica. El model de rajos rectes explica la reflexió, la refracció i les imatges de lents i miralls.
Què és la difracció. És el fet que la llum es doblegui vora les vores d'un obstacle o d'una escletxa i arribi a zones on, segons els rajos rectes, hi hauria d'haver ombra.
Per què no hi encaixa. Un raig recte no es pot doblegar: la difracció (i la interferència) és un comportament propi de les ones.
Conclusió. Per explicar-la cal el model ondulatori de la llum, que és el que estudia l'òptica física.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Per què el so es difracta molt més fàcilment que la llum en passar per una porta?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Perquè la difracció és apreciable quan l'obertura és de mida semblant a la longitud d'ona: el so (cm a m) és com una porta; la llum (≈ 500 nm) és milions de vegades més petita.

Resolució

Condició de difracció. La difracció és apreciable quan l'obertura té una mida semblant a la longitud d'ona de l'ona que hi passa.
El so. Les ones de so audibles tenen longituds d'ona de centímetres a metres, del mateix ordre que l'amplada d'una porta (≈ 1 m): es difracten molt i se senten darrere la paret.
La llum. La llum visible té una longitud d'ona d'uns 500 nm, milions de vegades més petita que la porta.
Conclusió. Per això la porta no difracta la llum de manera visible (fa una ombra neta), però sí el so.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Un feix de llum groga té una longitud d'ona de 600 nm a l'aire. Entra en un vidre d'índex de refracció n = 1,5. Calcula la velocitat de la llum dins del vidre i la seva longitud d'ona dins del vidre, i raona si en canvia la freqüència. Dada: c = 3· $10^{8}$ m/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

v = 2\cdot10^{8}\ \text{m/s}

;

\lambda = 400\ \text{nm}

; la freqüència no canvia:

f = 5\cdot10^{14}\ \text{Hz}

Resolució

Dades. $\lambda_{0} = 600\ \text{nm}$ a l'aire, $n = 1{,}5$ , $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ . Es demana $v$ i $\lambda$ dins del vidre, i si canvia $f$ .
Índex de refracció. És el quocient entre la velocitat de la llum al buit i en el medi: $n = \dfrac{c}{v} \;\Rightarrow\; v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}5} = 2\cdot10^{8}\ \text{m/s}$
Freqüència. La freqüència la fixa la font i no canvia en passar d'un medi a un altre: $f = \dfrac{c}{\lambda_{0}} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{600\cdot10^{-9}} = 5\cdot10^{14}\ \text{Hz}$
Longitud d'ona al vidre. Com que $v = \lambda\cdot f$ , la longitud d'ona es redueix: $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{2\cdot10^{8}}{5\cdot10^{14}} = 4\cdot10^{-7}\ \text{m} = 400\ \text{nm}$ Equivalentment, $\lambda = \lambda_{0}/n = 600/1{,}5 = 400\ \text{nm}$ .
Conclusió. Canvien la velocitat i la longitud d'ona, però no la freqüència. Error típic: pensar que el color canvia dins del vidre; el color que percebem depèn de la freqüència, que es manté.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Calcula l'angle límit per a un raig de llum que passa de l'aigua (n = 1,33) a l'aire (n = 1). Raona si pot produir-se reflexió total quan la llum va de l'aire a l'aigua.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

\theta_{L} = 48{,}8^{\circ}

; de l'aire a l'aigua no hi pot haver reflexió total.

Resolució

Dades. La llum va de l'aigua ( $n_{1} = 1{,}33$ ) a l'aire ( $n_{2} = 1$ ).
Angle límit. És l'angle d'incidència per al qual l'angle de refracció val 90°. Per la llei de Snell: $n_{1}\sin\theta_{L} = n_{2}\sin 90^{\circ} \;\Rightarrow\; \sin\theta_{L} = \dfrac{n_{2}}{n_{1}} = \dfrac{1}{1{,}33} = 0{,}752$
Càlcul. $\theta_{L} = \arcsin 0{,}752 = 48{,}8^{\circ}$ . Per a incidències superiors a 48,8° des de dins de l'aigua, tota la llum es reflecteix.
De l'aire a l'aigua. La llum passa a un medi de més índex de refracció: el raig s'acosta a la normal i sempre existeix raig refractat, de manera que no hi ha reflexió total.
Conclusió. La reflexió total només és possible quan la llum va d'un medi de més índex a un de menys índex.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Les ulleres d'una persona tenen lents de potència −2 D. Calcula la distància focal de les lents, indica si són convergents o divergents i raona quin defecte visual corregeixen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

f' = -0{,}5\ \text{m} = -50\ \text{cm}

; lents divergents, que corregeixen la miopia.

Resolució

Dades. Potència $P = -2\ \text{D}$ .
Potència d'una lent. És la inversa de la distància focal imatge expressada en metres: $P = \dfrac{1}{f'} \;\Rightarrow\; f' = \dfrac{1}{P} = \dfrac{1}{-2} = -0{,}5\ \text{m} = -50\ \text{cm}$ Recorda: f' en metres per obtenir diòptries; si l'escrius en cm t'equivocaràs d'un factor 100.
Tipus de lent. El signe negatiu indica que la lent és divergent: el focus imatge és virtual i els raigs paral·lels se separen després de travessar-la.
Defecte que corregeix. L'ull miop forma la imatge dels objectes llunyans davant de la retina. La lent divergent fa que els raigs hi arribin menys convergents, de manera que la imatge es forma just a la retina.
Conclusió. Són ulleres de miop.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Una persona és dreta a 1,5 m davant d'un mirall pla vertical. A quina distància de la persona es forma la seva imatge? Descriu com és la imatge (real o virtual, dreta o invertida, mida). Si la persona s'acosta 0,5 m al mirall, quant s'acosta la seva imatge a ella?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

La imatge és a 3 m de la persona; és virtual, dreta, de la mateixa mida (i amb inversió esquerra-dreta). Si s'acosta 0,5 m, la imatge s'acosta 1 m a la persona.

Resolució

Mirall pla. La imatge es forma a la mateixa distància del mirall que l'objecte, però darrere seu: a 1,5 m darrere del mirall.
Distància persona-imatge. $d = 1{,}5 + 1{,}5 = 3\ \text{m}$ .
Com és la imatge. Virtual (es forma per les prolongacions dels raigs reflectits i no es pot recollir en una pantalla), dreta, de la mateixa mida que l'objecte i amb inversió lateral (esquerra-dreta).
Si s'acosta 0,5 m. La persona queda a 1,0 m del mirall i la imatge a 1,0 m darrere: la distància persona-imatge passa de 3 m a 2 m.
Conclusió. La imatge s'acosta 1 m a la persona, el doble del que ella s'ha mogut.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Ordena de més gran a més petita longitud d'ona aquestes radiacions electromagnètiques: raigs X, microones, llum verda, llum ultraviolada, ones de ràdio FM i radiació infraroja. Indica quina té els fotons més energètics i justifica-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

Ràdio FM > microones > infraroig > llum verda > ultraviolat > raigs X. Els fotons més energètics són els dels raigs X (més freqüència,

E = h\cdot f

Resolució

Relació λ–f. Totes es propaguen al buit a $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ , i com que $c = \lambda\cdot f$ , a més longitud d'ona, menys freqüència.
Ordre de longituds d'ona. Ones de ràdio FM (metres) > microones (centímetres a mil·límetres) > infraroig (micròmetres) > llum verda (uns 530 nm) > ultraviolat (desenes a centenars de nanòmetres) > raigs X (nanòmetres a picòmetres).
Energia del fotó. $E = h\cdot f = \dfrac{h\cdot c}{\lambda}$ : és proporcional a la freqüència i inversament proporcional a la longitud d'ona.
Conclusió. Els fotons més energètics són els dels raigs X, que tenen la longitud d'ona més petita i la freqüència més gran. Per això són ionitzants i cal protegir-se'n.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Raona si cada afirmació és certa o falsa: a) En travessar un prisma de vidre, la llum vermella es desvia més que la blava. b) L'índex de refracció d'un medi material transparent és sempre més gran que 1. c) Quan la llum es refracta, canvia de velocitat però no de freqüència. d) En la reflexió total no existeix raig refractat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Apartat a)

Resultat

Falsa: la llum blava es desvia més que la vermella.

Resolució

Dispersió. L'índex de refracció del vidre depèn de la freqüència: és més gran per a la llum blava (freqüència més alta) que per a la vermella.
Conseqüència. Com més gran és n, més es desvia el raig en refractar-se; per això la blava es desvia més i es produeix la dispersió de la llum blanca.
Conclusió. L'afirmació és falsa.

Apartat b)

Resultat

Certa:

v \lt c

en qualsevol medi material, així que

n \gt 1

Resolució

Definició. $n = \tfrac{c}{v}$ .
Raonament. La llum no pot anar més de pressa en un medi material que al buit: $v \lt c$ , així que $n \gt 1$ (a l'aire, $n \approx 1{,}0003$ ).
Conclusió. L'afirmació és certa.

Apartat c)

Resultat

Certa: la freqüència la fixa la font.

Resolució

Freqüència. La determina la font i no depèn del medi.
Què canvia. En canviar de medi varien la velocitat i la longitud d'ona ( $v = \lambda\cdot f$ ), però no la freqüència.
Conclusió. L'afirmació és certa.

Apartat d)

Resultat

Certa: per sobre de l'angle límit tota la llum es reflecteix.

Resolució

Llei de Snell. Per a angles d'incidència superiors a l'angle límit, Snell exigiria $\sin\theta_{2} \gt 1$ , cosa impossible.
Conseqüència. Tota l'energia es reflecteix i no hi ha raig refractat.
Conclusió. L'afirmació és certa.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Un raig de llum que viatja per l'aire (n = 1) incideix sobre la superfície d'un líquid transparent amb un angle de 45° respecte de la normal, i el raig refractat forma 30° amb la normal. Calcula l'índex de refracció del líquid i la velocitat de la llum dins seu. Dada: c = 3· $10^{8}$ m/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

n = \sqrt{2} \approx 1{,}41

;

v = 2{,}12\cdot10^{8}\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $n_{1} = 1$ , $\theta_{1} = 45^{\circ}$ , $\theta_{2} = 30^{\circ}$ , $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ .
Llei de Snell. $n_{1}\sin\theta_{1} = n_{2}\sin\theta_{2} \;\Rightarrow\; 1\cdot\sin 45^{\circ} = n_{2}\sin 30^{\circ}$
Índex del líquid. $n_{2} = \dfrac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{0{,}707}{0{,}5} = 1{,}41$ (exactament $\sqrt{2}$ ).
Velocitat al líquid. $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}41} = 2{,}12\cdot10^{8}\ \text{m/s}$
Comprovació. El raig s'ha acostat a la normal (de 45° a 30°), com ha de passar en entrar en un medi amb més índex de refracció.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

La velocitat de la llum en un cert líquid és 2,25· $10^{8}$ m·s⁻¹. Calcula'n l'índex de refracció. Dada: c = 3· $10^{8}$ m·s⁻¹.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

n = 1{,}33

(és l'índex de l'aigua).

Resolució

Dades. $v = 2{,}25\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ , $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ .
Índex de refracció. $n = \dfrac{c}{v}$
Càlcul. $n = \dfrac{3\cdot10^{8}}{2{,}25\cdot10^{8}} = 1{,}33$ (no té unitats).
Conclusió. És, de fet, l'índex de l'aigua.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Per què els miralls retrovisors convexos dels cotxes donen una imatge dreta i més petita que un mirall pla?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

Perquè el mirall convex és divergent: sempre dona una imatge virtual, dreta i més petita, a canvi d'un camp de visió molt més ampli.

Resolució

Tipus de mirall. Un mirall convex fa divergir els raigs reflectits: és un mirall divergent.
Imatge. Per a qualsevol objecte real dona sempre una imatge virtual, dreta i més petita que l'objecte.
Avantatge. A canvi de fer-la més petita, abasta molt més camp de visió (es veu més tros de carretera), que és el que interessa en un retrovisor.
Conclusió. El preu és que els objectes semblen més lluny del que són; per això alguns porten l'avís «els objectes són més a prop del que semblen».

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Quin fenomen fa que, en passar la llum per una escletxa molt estreta, aparegui llum darrere de l'obstacle on hi hauria d'haver ombra?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

La difracció: la llum es desvia vora les vores de l'escletxa i arriba a la zona d'ombra geomètrica.

Resolució

Observació. Darrere d'una escletxa molt estreta apareix llum on, segons els rajos rectes, hi hauria d'haver ombra.
Fenomen. És la difracció: la llum es desvia vora les vores de l'escletxa i s'escampa cap a la zona d'ombra. És apreciable quan l'escletxa és molt estreta, comparable a la longitud d'ona.
Conclusió. És un comportament d'ona.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Què demostra l'experiment de la doble escletxa de Young?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Que la llum és una ona: els dos feixos interfereixen i formen franges brillants i fosques alternades.

Resolució

Experiment. La llum passa per dues escletxes molt properes i arriba a una pantalla.
Observació. Els dos feixos interfereixen i formen una sèrie de franges brillants (interferència constructiva) i fosques (destructiva) alternades.
Conclusió. Això només té sentit si la llum és una ona capaç d'interferir amb ella mateixa: l'experiment demostra la naturalesa ondulatòria de la llum.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Una fibra òptica recta de vidre (n = 1,5) està envoltada d'aire. Un raig de llum entra per la cara frontal, plana i perpendicular a l'eix de la fibra, amb un angle d'incidència de 30°. a) Calcula l'angle de refracció a la cara d'entrada. b) Calcula l'angle amb què el raig incideix sobre la paret lateral de la fibra i raona si hi pateix reflexió total.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Apartat a)

Resultat

\theta_{2} = 19{,}5^{\circ}

Resolució

Dades. $n_{\text{aire}} = 1$ , $n_{\text{vidre}} = 1{,}5$ , $\theta_{1} = 30^{\circ}$ .
Llei de Snell a la cara d'entrada. $1\cdot\sin 30^{\circ} = 1{,}5\cdot\sin\theta_{2} \;\Rightarrow\; \sin\theta_{2} = \dfrac{0{,}5}{1{,}5} = 0{,}333$
Resultat. $\theta_{2} = 19{,}5^{\circ}$ : el raig s'acosta a la normal en entrar al vidre.

Apartat b)

Resultat

Incideix sobre la paret amb

70{,}5^{\circ}

; com que

70{,}5^{\circ} \gt \theta_{L} = 41{,}8^{\circ}

, hi ha reflexió total.

Resolució

Geometria. La paret lateral és perpendicular a la cara d'entrada, de manera que l'angle d'incidència sobre la paret (mesurat des de la seva normal) és el complementari: $\theta_{3} = 90^{\circ} - 19{,}5^{\circ} = 70{,}5^{\circ}$
Angle límit vidre-aire. $\sin\theta_{L} = \dfrac{1}{1{,}5} = 0{,}667 \;\Rightarrow\; \theta_{L} = 41{,}8^{\circ}$
Comparació. Com que $70{,}5^{\circ} \gt 41{,}8^{\circ}$ , el raig pateix reflexió total a la paret: no surt de la fibra i va avançant per reflexions successives.
Conclusió. Aquest és el principi de funcionament de les fibres òptiques de les telecomunicacions.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Un objecte es col·loca a 30 cm del vèrtex d'un mirall còncau de 40 cm de radi de curvatura. Calcula on es forma la imatge i el seu augment lateral, i digues si és real o virtual, dreta o invertida i més gran o més petita que l'objecte.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

s' = -60\ \text{cm}

(60 cm davant del mirall);

M = -2

: imatge real, invertida i el doble de gran.

Resolució

Dades (criteri DIN). L'objecte i el centre de curvatura d'un mirall còncau són davant del mirall: distàncies negatives. $s = -30\ \text{cm}$ , $R = -40\ \text{cm}$ , $f = R/2 = -20\ \text{cm}$ .
Equació dels miralls. $\dfrac{1}{s'} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f} \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{-20} - \dfrac{1}{-30} = -\dfrac{3}{60} + \dfrac{2}{60} = -\dfrac{1}{60} \;\Rightarrow\; s' = -60\ \text{cm}$
Augment lateral. $M = -\dfrac{s'}{s} = -\dfrac{-60}{-30} = -2$
Interpretació. La imatge és a 60 cm davant del mirall (mateix costat que l'objecte): és real (es pot recollir en una pantalla), invertida ( $M \lt 0$ ) i el doble de gran ( $|M| = 2$ ).
Comprovació. L'objecte és entre el focus (20 cm) i el centre de curvatura (40 cm); en aquest cas la imatge és real, invertida, més gran i més enllà del centre, com hem obtingut.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

El retrovisor d'un cotxe és un mirall convex de 100 cm de radi de curvatura. Una bicicleta és a 2 m del mirall. Calcula on es forma la imatge de la bicicleta i el seu augment, i descriu-la. Raona per què aquests miralls porten l'advertiment que els objectes són més a prop del que semblen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

s' = +40\ \text{cm}

(darrere del mirall);

M = +0{,}2

: imatge virtual, dreta i cinc vegades més petita.

Resolució

Dades (criteri DIN). Mirall convex: el centre de curvatura és darrere del mirall, $R = +100\ \text{cm}$ i $f = R/2 = +50\ \text{cm}$ . Objecte: $s = -200\ \text{cm}$ .
Equació dels miralls. $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{200} = \dfrac{5}{200} = \dfrac{1}{40} \;\Rightarrow\; s' = +40\ \text{cm}$
Augment. $M = -\dfrac{s'}{s} = -\dfrac{40}{-200} = +0{,}2$
Descripció. La imatge es forma 40 cm darrere del mirall: és virtual, dreta ( $M \gt 0$ ) i cinc vegades més petita que la bicicleta.
L'advertiment. Com que la imatge és molt reduïda, el cervell interpreta que l'objecte és més lluny del que realment és; per això s'avisa el conductor. A canvi, el mirall convex ofereix un camp de visió molt més ampli que un de pla.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Amb una lent convergent de 10 cm de distància focal volem obtenir sobre una pantalla una imatge real i invertida d'un objecte que sigui el doble de gran que ell. A quina distància de la lent hem de col·locar l'objecte? A quina distància quedarà la pantalla?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

Objecte a 15 cm de la lent (

s = -15\ \text{cm}

); pantalla a 30 cm a l'altre costat (

s' = +30\ \text{cm}

Resolució

Dades. $f' = 10\ \text{cm}$ . Imatge real, invertida i doble: augment $M = s'/s = -2$ , és a dir, $s' = -2s$ .
Equació de les lents primes. $\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'} \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{-2s} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{10} \;\Rightarrow\; -\dfrac{3}{2s} = \dfrac{1}{10} \;\Rightarrow\; s = -15\ \text{cm}$
Posició de la imatge. $s' = -2\cdot(-15) = +30\ \text{cm}$ .
Conclusió. L'objecte s'ha de posar a 15 cm de la lent (entre f' i 2f') i la pantalla a 30 cm, a l'altre costat de la lent.
Comprovació. $\tfrac{1}{30} - \tfrac{1}{-15} = \tfrac{1}{30} + \tfrac{2}{30} = \tfrac{3}{30} = \tfrac{1}{10} = \tfrac{1}{f'}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Un raig de llum incideix amb un angle de 45° sobre una làmina de vidre (n = 1,5) de cares planes i paral·leles de 6 cm de gruix, envoltada d'aire. a) Calcula l'angle de refracció dins de la làmina. b) Demostra que el raig surt de la làmina paral·lel al raig incident. c) Calcula el temps que la llum triga a travessar la làmina. Dada: c = 3· $10^{8}$ m/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Apartat a)

Resultat

\theta_{2} = 28{,}1^{\circ}

Resolució

Dades. $\theta_{1} = 45^{\circ}$ , $n = 1{,}5$ , gruix $e = 6\ \text{cm}$ .
Llei de Snell a la primera cara. $1\cdot\sin 45^{\circ} = 1{,}5\cdot\sin\theta_{2} \;\Rightarrow\; \sin\theta_{2} = \dfrac{0{,}707}{1{,}5} = 0{,}471$
Resultat. $\theta_{2} = 28{,}1^{\circ}$ .

Apartat b)

Resultat

El raig surt amb 45°, el mateix angle amb què ha entrat: és paral·lel a l'incident, només desplaçat lateralment.

Resolució

Geometria. Com que les cares són paral·leles, el raig arriba a la segona cara amb el mateix angle $\theta_{2} = 28{,}1^{\circ}$ respecte de la normal.
Llei de Snell a la segona cara. $1{,}5\cdot\sin 28{,}1^{\circ} = 1\cdot\sin\theta_{3} \;\Rightarrow\; \sin\theta_{3} = 1{,}5\cdot0{,}471 = 0{,}707 \;\Rightarrow\; \theta_{3} = 45^{\circ}$ En general, $\sin\theta_{3} = n\sin\theta_{2} = \sin\theta_{1}$ .
Conclusió. El raig surt amb el mateix angle amb què ha entrat: és paral·lel a l'incident, només queda desplaçat lateralment.

Apartat c)

Resultat

t = 3{,}4\cdot10^{-10}\ \text{s}

Resolució

Recorregut dins del vidre. El raig va inclinat, de manera que recorre més que el gruix: $L = \dfrac{e}{\cos\theta_{2}} = \dfrac{6}{\cos 28{,}1^{\circ}} = \dfrac{6}{0{,}882} = 6{,}80\ \text{cm} = 0{,}068\ \text{m}$
Velocitat al vidre. $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{1{,}5} = 2\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ .
Temps. $t = \dfrac{L}{v} = \dfrac{0{,}068}{2\cdot10^{8}} = 3{,}4\cdot10^{-10}\ \text{s}$

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Una persona hipermetrop té el punt pròxim (distància mínima de visió nítida) a 100 cm. Vol llegir un llibre situat a 25 cm dels ulls. Quina distància focal i quina potència han de tenir les lents que necessita? Raona de quin tipus són.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

f' = +33{,}3\ \text{cm}

;

P = +3\ \text{D}

: lents convergents.

Resolució

Plantejament. La lent ha de formar, de l'objecte situat a 25 cm, una imatge virtual al punt pròxim (100 cm), que és on l'ull sí que pot enfocar: $s = -25\ \text{cm}$ i $s' = -100\ \text{cm}$ (imatge virtual, al mateix costat que l'objecte).
Equació de les lents. $\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = -\dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{25} = -\dfrac{1}{100} + \dfrac{4}{100} = \dfrac{3}{100}$
Distància focal i potència. $f' = 33{,}3\ \text{cm} = 0{,}333\ \text{m}$ $P = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{0{,}333\ \text{m}} = +3\ \text{D}$
Conclusió. Són lents convergents ( $f' \gt 0$ ): la hipermetropia es corregeix amb lents convergents, que ajuden l'ull a fer convergir sobre la retina els raigs dels objectes pròxims.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Un feix de llum blanca incideix des de l'aire sobre la superfície d'un bloc de vidre amb un angle d'incidència de 50°. L'índex de refracció del vidre és 1,51 per a la llum vermella i 1,53 per a la blava. Calcula l'angle de refracció de cada color i l'angle que formen entre ells els dos raigs dins del vidre. Com s'anomena aquest fenomen?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

\theta_{\text{vermell}} = 30{,}5^{\circ}

;

\theta_{\text{blau}} = 30{,}0^{\circ}

; formen

0{,}44^{\circ}

entre ells. És la dispersió de la llum.

Resolució

Dades. $\theta_{1} = 50^{\circ}$ ( $\sin 50^{\circ} = 0{,}766$ ), $n_{\text{vermell}} = 1{,}51$ , $n_{\text{blau}} = 1{,}53$ .
Llei de Snell per al vermell. $\sin\theta_{v} = \dfrac{0{,}766}{1{,}51} = 0{,}507 \;\Rightarrow\; \theta_{v} = 30{,}49^{\circ} \approx 30{,}5^{\circ}$
Llei de Snell per al blau. $\sin\theta_{b} = \dfrac{0{,}766}{1{,}53} = 0{,}5007 \;\Rightarrow\; \theta_{b} = 30{,}05^{\circ} \approx 30{,}0^{\circ}$ Treballa amb prou xifres: la diferència entre colors és petita.
Angle entre els raigs. $30{,}49^{\circ} - 30{,}05^{\circ} = 0{,}44^{\circ}$ . El blau es desvia més (s'acosta més a la normal) perquè té l'índex de refracció més gran.
Conclusió. El fenomen és la dispersió: l'índex de refracció depèn de la freqüència, de manera que la llum blanca se separa en colors; és el que passa en un prisma o a les gotes d'aigua que formen l'arc de Sant Martí.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Un raig de llum passa de l'aire ( $n_{1}$ = 1) a un vidre ( $n_{2}$ = 1,5) amb un angle d'incidència de 45°. Calcula l'angle de refracció.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

\theta_{2} = 28{,}1^{\circ}

Resolució

Dades. $n_{1} = 1$ , $n_{2} = 1{,}5$ , $\theta_{1} = 45^{\circ}$ .
Llei de Snell. $n_{1}\sin\theta_{1} = n_{2}\sin\theta_{2}$
Càlcul. $\sin\theta_{2} = \dfrac{n_{1}\sin\theta_{1}}{n_{2}} = \dfrac{1\cdot\sin 45^{\circ}}{1{,}5} = \dfrac{0{,}707}{1{,}5} = 0{,}471 \;\Rightarrow\; \theta_{2} = 28{,}1^{\circ} \approx 28^{\circ}$
Conclusió. En entrar al vidre (medi més dens òpticament), el raig s'ha acostat a la normal (de 45° a 28°).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Un objecte és a 10 cm d'una lent convergent de focal 20 cm (l'objecte és dins de la distància focal, com en una lupa). On es forma la imatge i com és?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

s' = -20\ \text{cm}

;

\beta = +2

: imatge virtual, dreta i el doble de gran.

Resolució

Dades (criteri DIN). $s = -10\ \text{cm}$ , $f' = +20\ \text{cm}$ .
Equació de les lents. $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{-10} = \dfrac{1}{20} - \dfrac{2}{20} = -\dfrac{1}{20} \;\Rightarrow\; s' = -20\ \text{cm}$
Augment. $\beta = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{-20}{-10} = +2$
Conclusió. La imatge és virtual ( $s' \lt 0$ , al mateix costat que l'objecte), dreta ( $\beta \gt 0$ ) i el doble de gran ( $|\beta| = 2$ ). És exactament el que fa una lupa.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Un objecte és a 60 cm d'una lent convergent de focal 20 cm. Calcula on es forma la imatge i el seu augment, i digues com és.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

s' = +30\ \text{cm}

;

\beta = -0{,}5

: imatge real, invertida i la meitat de gran.

Resolució

Dades (criteri DIN). $s = -60\ \text{cm}$ , $f' = +20\ \text{cm}$ .
Equació de les lents. $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{-60} = \dfrac{3}{60} - \dfrac{1}{60} = \dfrac{2}{60} = \dfrac{1}{30} \;\Rightarrow\; s' = 30\ \text{cm}$
Augment. $\beta = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{30}{-60} = -0{,}5$
Conclusió. La imatge és real ( $s' \gt 0$ ), a 30 cm a la dreta de la lent, invertida ( $\beta \lt 0$ ) i més petita (la meitat). És el cas típic d'una càmera de fotos: objecte lluny, imatge real, invertida i reduïda.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un objecte de 2 cm d'alçada es col·loca a 20 cm d'una lent de potència −5 D.
a) Calcula la distància focal de la lent i digues de quin tipus és.
b) Determina la posició i la mida de la imatge i descriu-la.
c) Es pot projectar aquesta imatge en una pantalla?
d) Raona si existeix alguna posició de l'objecte real per a la qual aquesta lent doni una imatge real.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

f' = -0{,}2\ \text{m} = -20\ \text{cm}

: lent divergent.

Resolució

Potència. $P = \dfrac{1}{f'}$ , amb f' en metres.
Càlcul. $f' = \dfrac{1}{P} = \dfrac{1}{-5} = -0{,}2\ \text{m} = -20\ \text{cm}$
Conclusió. Com que $f' \lt 0$ , la lent és divergent.

Apartat b)

Resultat

s' = -10\ \text{cm}

;

y' = 1\ \text{cm}

: imatge virtual, dreta i la meitat de gran.

Resolució

Dades. $s = -20\ \text{cm}$ , $y = 2\ \text{cm}$ , $f' = -20\ \text{cm}$ .
Equació de les lents. $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s} = -\dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{20} = -\dfrac{1}{10} \;\Rightarrow\; s' = -10\ \text{cm}$
Augment i mida. $M = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{-10}{-20} = +0{,}5 \;\Rightarrow\; y' = 0{,}5\cdot2 = 1\ \text{cm}$
Descripció. La imatge és a 10 cm de la lent, al mateix costat que l'objecte: virtual, dreta i la meitat de gran (1 cm).

Apartat c)

Resultat

No: és una imatge virtual.

Resolució

Imatge virtual. Es forma per les prolongacions dels raigs: no hi arriben els raigs reals.
Conclusió. Per tant, no es pot recollir en una pantalla; només es veu mirant a través de la lent.

Apartat d)

Resultat

No: amb un objecte real, una lent divergent sempre dona una imatge virtual, dreta i més petita.

Resolució

Signes. Per a un objecte real $s \lt 0$ , i per a una lent divergent $f' \lt 0$ .
Equació de les lents. $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s}$ és la suma de dos nombres negatius, així que $s' \lt 0$ sempre.
Conclusió. La imatge és sempre virtual, dreta i més petita, sigui on sigui l'objecte.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Sobre l'aigua d'una bassa (n = 1,33) hi ha una capa d'oli (n = 1,45). Un raig de llum provinent de l'aire incideix sobre l'oli amb un angle de 40°.
a) Calcula l'angle de refracció dins de l'oli.
b) Calcula l'angle amb què el raig es propaga dins de l'aigua.
c) Demostra que l'angle dins de l'aigua no depèn de l'índex de refracció de l'oli.
d) Raona si un raig que va de l'aigua cap a l'oli pot patir reflexió total, i calcula l'angle límit per al pas d'oli a aigua.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

\theta_{o} = 26{,}3^{\circ}

Resolució

Dades. $n_{\text{aire}} = 1$ , $n_{\text{oli}} = 1{,}45$ , $n_{\text{aigua}} = 1{,}33$ , $\theta_{1} = 40^{\circ}$ .
Llei de Snell aire-oli. $1\cdot\sin 40^{\circ} = 1{,}45\cdot\sin\theta_{o} \;\Rightarrow\; \sin\theta_{o} = \dfrac{0{,}643}{1{,}45} = 0{,}443$
Resultat. $\theta_{o} = 26{,}3^{\circ}$ .

Apartat b)

Resultat

\theta_{a} = 28{,}9^{\circ}

Resolució

Geometria. Les dues superfícies són paral·leles, així que el raig arriba a l'aigua amb 26,3°.
Llei de Snell oli-aigua. $1{,}45\cdot\sin 26{,}3^{\circ} = 1{,}33\cdot\sin\theta_{a} \;\Rightarrow\; \sin\theta_{a} = \dfrac{0{,}643}{1{,}33} = 0{,}483$
Resultat. $\theta_{a} = 28{,}9^{\circ}$ .

Apartat c)

Resultat

\sin\theta_{a} = \dfrac{\sin 40^{\circ}}{1{,}33}

, independent de

n_{\text{oli}}

: la capa d'oli només desplaça lateralment el raig.

Resolució

Encadenem les dues lleis de Snell. $n_{\text{aire}}\sin 40^{\circ} = n_{\text{oli}}\sin\theta_{o} = n_{\text{aigua}}\sin\theta_{a}$
El terme de l'oli desapareix. Igualant el primer i el darrer membre: $\sin\theta_{a} = \dfrac{\sin 40^{\circ}}{1{,}33}$ , que no depèn de $n_{\text{oli}}$ .
Conclusió. La capa d'oli només desplaça lateralment el raig; l'angle final és el mateix que si la llum passés directament de l'aire a l'aigua.

Apartat d)

Resultat

De l'aigua a l'oli no hi pot haver reflexió total; d'oli a aigua,

\theta_{L} = 66{,}5^{\circ}

Resolució

Aigua → oli. De l'aigua (n = 1,33) a l'oli (n = 1,45) la llum passa a un medi amb més índex: el raig s'acosta a la normal i sempre hi ha refracció; no hi pot haver reflexió total.
Oli → aigua. En sentit contrari sí que n'hi pot haver: $\sin\theta_{L} = \dfrac{1{,}33}{1{,}45} = 0{,}917 \;\Rightarrow\; \theta_{L} = 66{,}5^{\circ}$
Conclusió. La reflexió total només és possible quan la llum va cap a un medi de menys índex.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Una lupa és una lent convergent de 5 cm de distància focal. Una persona amb el punt pròxim a 25 cm la fa servir per observar un segell.
a) A quina distància de la lent ha de posar el segell perquè la imatge es formi a 25 cm de la lent, al mateix costat que el segell?
b) Calcula l'augment lateral en aquest cas.
c) On s'ha de col·locar el segell perquè l'ull el pugui mirar relaxat (imatge a l'infinit)?
d) Explica per què la lupa no permet projectar la imatge del segell en una pantalla.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

s = -4{,}17\ \text{cm}

: el segell ha d'estar a 4,17 cm de la lent.

Resolució

Dades. $f' = 5\ \text{cm}$ ; imatge virtual, al mateix costat que el segell: $s' = -25\ \text{cm}$ .
Equació de les lents. $\dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{f'} = -\dfrac{1}{25} - \dfrac{1}{5} = -\dfrac{1}{25} - \dfrac{5}{25} = -\dfrac{6}{25} \;\Rightarrow\; s = -\dfrac{25}{6} = -4{,}17\ \text{cm}$
Conclusió. El segell ha de ser a 4,17 cm de la lent, dins de la distància focal.

Apartat b)

Resultat

M = +6

: imatge dreta i sis vegades més gran.

Resolució

Augment lateral. $M = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{-25}{-4{,}17} = +6$
Interpretació. La imatge és dreta i sis vegades més gran que el segell.

Apartat c)

Resultat

Al focus objecte:

s = -f' = -5\ \text{cm}

Resolució

Condició. Perquè l'ull miri relaxat, la imatge ha de ser a l'infinit: els raigs han de sortir paral·lels de la lent.
Conclusió. Això passa quan l'objecte és al focus objecte: $s = -f' = -5\ \text{cm}$ (el segell a 5 cm de la lent).

Apartat d)

Resultat

Perquè la imatge de la lupa és virtual: els raigs no hi convergeixen realment.

Resolució

Objecte dins de la focal. Amb l'objecte dins de la distància focal, la lupa dona una imatge virtual.
Què fan els raigs. Els raigs que surten de la lent divergeixen i només semblen venir de la imatge; no hi ha cap punt on es concentrin.
Conclusió. Per això no es pot recollir en una pantalla; només la veu un ull que miri a través de la lent.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

En un experiment de la doble escletxa de Young, les escletxes estan separades 0,2 mm i la pantalla és a 1,0 m. Es mesura que la distància entre la primera i l'onzena franja brillant és de 3,0 cm.
a) Calcula la distància entre dues franges brillants consecutives i la longitud d'ona de la llum. A quin color correspon?
b) Si tot el muntatge se submergeix en aigua (n = 1,33), quina serà la nova separació entre franges? Raona-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

\Delta y = 3{,}0\ \text{mm}

;

\lambda = 6{,}0\cdot10^{-7}\ \text{m} = 600\ \text{nm}

: llum taronja del visible.

Resolució

Dades. $d = 0{,}2\ \text{mm}$ , $L = 1{,}0\ \text{m}$ ; entre la 1a i l'11a franja brillant hi ha 3,0 cm.
Interfranja. Entre la franja 1 i l'11 hi ha 10 interfranges: $\Delta y = \dfrac{3{,}0\ \text{cm}}{10} = 0{,}30\ \text{cm} = 3{,}0\cdot10^{-3}\ \text{m}$ Error típic: oblidar que entre n franges hi ha n − 1 interfranges.
Doble escletxa de Young. Per a angles petits, la separació entre màxims consecutius és $\Delta y = \dfrac{\lambda L}{d}$ .
Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{\Delta y\cdot d}{L} = \dfrac{3{,}0\cdot10^{-3}\cdot0{,}2\cdot10^{-3}}{1{,}0} = 6{,}0\cdot10^{-7}\ \text{m} = 600\ \text{nm}$
Conclusió. Correspon a llum taronja (taronja-vermellosa) del visible.

Apartat b)

Resultat

\Delta y' = 2{,}26\ \text{mm}

: les franges queden més juntes.

Resolució

Longitud d'ona a l'aigua. La freqüència no canvia, però la longitud d'ona es redueix: $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n} = \dfrac{600}{1{,}33} = 451\ \text{nm}$
Nova interfranja. $\Delta y' = \dfrac{\lambda' L}{d} = \dfrac{\Delta y}{n} = \dfrac{3{,}0}{1{,}33} = 2{,}26\ \text{mm}$
Conclusió. Les franges queden més juntes: la interferència depèn de la longitud d'ona en el medi on es produeix.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Un objecte es col·loca 30 cm a l'esquerra d'una lent convergent de 20 cm de distància focal. A 40 cm a la dreta d'aquesta lent hi ha una segona lent, divergent, de distància focal −30 cm.
a) Troba la posició i l'augment de la imatge que forma la primera lent.
b) Determina la posició de la imatge final i l'augment total del sistema.
c) Descriu la imatge final.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

s'_{1} = +60\ \text{cm}

(60 cm a la dreta de la lent 1);

M_{1} = -2

Resolució

Dades de la lent 1. $s_{1} = -30\ \text{cm}$ , $f'_{1} = 20\ \text{cm}$ .
Equació de les lents. $\dfrac{1}{s'_{1}} = \dfrac{1}{20} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{60} \;\Rightarrow\; s'_{1} = +60\ \text{cm}$
Augment. $M_{1} = \dfrac{60}{-30} = -2$ : imatge real, invertida i doble, 60 cm a la dreta de la lent 1.

Apartat b)

Resultat

Imatge final a

s'_{2} = +60\ \text{cm}

de la lent divergent (100 cm de la primera); augment total

M = -6

Resolució

Objecte per a la lent 2. La primera imatge seria $60 - 40 = 20\ \text{cm}$ a la dreta de la lent 2: els raigs hi arriben convergint cap a un punt situat darrere seu. És un objecte virtual, amb $s_{2} = +20\ \text{cm}$ .
Equació de la lent 2. $\dfrac{1}{s'_{2}} = \dfrac{1}{f'_{2}} + \dfrac{1}{s_{2}} = -\dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{20} = -\dfrac{2}{60} + \dfrac{3}{60} = \dfrac{1}{60} \;\Rightarrow\; s'_{2} = +60\ \text{cm}$ És a 60 cm a la dreta de la lent divergent, a 100 cm de la primera.
Augments. $M_{2} = \dfrac{s'_{2}}{s_{2}} = \dfrac{60}{20} = +3$ ; augment total $M = M_{1}\cdot M_{2} = (-2)\cdot3 = -6$ .

Apartat c)

Resultat

Imatge final real, invertida i sis vegades més gran que l'objecte.

Resolució

Naturalesa. $s'_{2} \gt 0$ : la imatge és real i es pot recollir en una pantalla.
Orientació i mida. $M = -6$ : invertida respecte de l'objecte i sis vegades més gran.
Fixa't. La lent divergent, amb un objecte virtual, sí que ha pogut donar una imatge real.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Un mirall còncau té 60 cm de radi de curvatura.
a) A quina distància del mirall s'ha de col·locar un objecte perquè la imatge sigui dreta i tres vegades més gran? On es forma la imatge i de quin tipus és?
b) I perquè sigui invertida i tres vegades més gran?
c) Raona quin dels dos casos és el que aprofita un mirall d'afaitar o de maquillatge.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

Objecte a 20 cm (

s = -20\ \text{cm}

); imatge a 60 cm darrere del mirall (

s' = +60\ \text{cm}

), virtual i dreta.

Resolució

Dades (criteri DIN). Mirall còncau: $f = R/2 = -30\ \text{cm}$ . Augment d'un mirall: $M = -s'/s$ .
Imatge dreta i triple. $M = +3 \Rightarrow s' = -3s$ .
Equació del mirall. $\dfrac{1}{s'} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f} \;\Rightarrow\; -\dfrac{1}{3s} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{2}{3s} = -\dfrac{1}{30} \;\Rightarrow\; s = -20\ \text{cm}$ Llavors $s' = +60\ \text{cm}$ .
Interpretació. La imatge es forma 60 cm darrere del mirall: és virtual i dreta. L'objecte és entre el mirall i el focus (20 cm < 30 cm).
Comprovació. $\tfrac{1}{60} + \tfrac{1}{-20} = \tfrac{1}{60} - \tfrac{3}{60} = -\tfrac{2}{60} = -\tfrac{1}{30} = \tfrac{1}{f}$ .

Apartat b)

Resultat

Objecte a 40 cm (

s = -40\ \text{cm}

); imatge a 120 cm davant del mirall (

s' = -120\ \text{cm}

), real i invertida.

Resolució

Imatge invertida i triple. $M = -3 \Rightarrow s' = 3s$ .
Equació del mirall. $\dfrac{1}{3s} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{4}{3s} = -\dfrac{1}{30} \;\Rightarrow\; s = -40\ \text{cm},\quad s' = -120\ \text{cm}$
Interpretació. Imatge real, invertida, 120 cm davant del mirall. L'objecte és entre el focus (30 cm) i el centre de curvatura (60 cm).

Apartat c)

Resultat

El cas a): imatge virtual, dreta i ampliada, amb la cara més a prop que el focus.

Resolució

Què volem. En un mirall d'afaitar o de maquillatge volem veure la cara dreta i més gran.
Cas a). La cara es posa més a prop del mirall que el focus i es veu una imatge virtual, dreta i ampliada.
Conclusió. Si ens allunyem més enllà del focus, la imatge es torna invertida (cas b) i deixa de ser útil.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

Una fibra òptica multimode d'una xarxa de dades té un nucli d'índex de refracció 1,48 envoltat d'un revestiment d'índex 1,46. La llum hi entra des de l'aire per la cara frontal, que és plana i perpendicular a l'eix de la fibra.
a) Calcula l'angle límit a la superfície de separació nucli-revestiment. Raona per què és imprescindible que el revestiment tingui un índex més petit que el nucli.
b) Calcula l'angle màxim respecte a l'eix amb què pot entrar la llum per la cara frontal perquè quedi atrapada a la fibra (angle d'acceptació).
c) La fibra fa 10,0 km. Calcula el temps que triga a recórrer-la un raig que viatja paral·lel a l'eix i el que triga el raig més inclinat que encara es propaga per reflexió total.
d) Cada bit d'informació s'envia com un pols de llum curt. Interpreta la diferència de temps de l'apartat c) i estima el nombre màxim de polsos per segon que es poden enviar per aquesta fibra sense que es barregin. Raona per què per a llargues distàncies es fan servir fibres de nucli molt estret (monomode).
Dades: c = 3,00· $10^{8}$ m/s; $n_{\mathrm{aire}}$ = 1,00.

Pista 1

La reflexió total només és possible quan la llum va d'un medi a un altre de menor índex.

Pista 2

El raig que incideix a la interfície nucli-revestiment just amb l'angle límit forma amb l'eix l'angle complementari. Aplica Snell a l'entrada de la fibra amb aquest angle.

Pista 3

El raig inclinat recorre un camí més llarg que la longitud de la fibra: relaciona'l amb l'angle d'incidència a la interfície.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

\theta_{L} = 80{,}6^{\circ}

. Cal

n_{\text{revestiment}} \lt n_{\text{nucli}}

perquè la reflexió total només és possible cap a un medi de menys índex.

Resolució

Dades. $n_{1} = 1{,}48$ (nucli), $n_{2} = 1{,}46$ (revestiment).
Angle límit. $\sin\theta_{L} = \dfrac{n_{2}}{n_{1}} = \dfrac{1{,}46}{1{,}48} = 0{,}9865 \;\Rightarrow\; \theta_{L} = 80{,}6^{\circ}$
Per què n₂ < n₁. La reflexió total només es dona quan la llum passa a un medi d'índex menor (on aniria més de pressa i s'allunyaria de la normal). Si el revestiment tingués un índex més gran, la llum hi passaria per refracció i es perdria.
Conclusió. La reflexió total depèn de l'índex del nucli respecte al revestiment, no respecte a l'aire.

Apartat b)

Resultat

Angle d'acceptació

\theta_{a} = 14{,}0^{\circ}

Resolució

Geometria. El raig límit incideix a la interfície amb 80,6° respecte a la normal, és a dir, forma amb l'eix l'angle complementari: $90^{\circ} - 80{,}6^{\circ} = 9{,}4^{\circ}$ .
Llei de Snell a l'entrada. $1{,}00\cdot\sin\theta_{a} = 1{,}48\cdot\sin 9{,}4^{\circ} = \sqrt{n_{1}^{2} - n_{2}^{2}} = \sqrt{1{,}48^{2} - 1{,}46^{2}} = 0{,}242$
Resultat. $\theta_{a} = 14{,}0^{\circ}$ . Error típic: aplicar Snell amb l'angle límit directament, sense passar al complementari.
Conclusió. La llum que entra amb més de 14,0° respecte a l'eix no queda atrapada.

Apartat c)

Resultat

Raig axial:

t_{1} = 49{,}33\ \mu\text{s}

; raig més inclinat:

t_{2} = 50{,}01\ \mu\text{s}

Resolució

Velocitat al nucli. $v = \dfrac{c}{n_{1}} = \dfrac{3{,}00\cdot10^{8}}{1{,}48} = 2{,}03\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ (no la del buit).
Raig axial. $t_{1} = \dfrac{L\, n_{1}}{c} = \dfrac{1{,}00\cdot10^{4}\cdot1{,}48}{3{,}00\cdot10^{8}} = 4{,}933\cdot10^{-5}\ \text{s} = 49{,}33\ \mu\text{s}$
Raig més inclinat. Recorre en zig-zag un camí $L/\sin\theta_{L}$ (cada tram forma 9,4° amb l'eix): $t_{2} = \dfrac{t_{1}}{\sin\theta_{L}} = t_{1}\cdot\dfrac{n_{1}}{n_{2}} = 50{,}01\ \mu\text{s}$

Apartat d)

Resultat

\Delta t \approx 0{,}68\ \mu\text{s}

: com a màxim uns

1{,}5\cdot10^{6}

polsos per segon. Les fibres monomode eliminen aquest eixamplament.

Resolució

Diferència de temps. $\Delta t = t_{2} - t_{1} = 0{,}68\ \mu\text{s}$ .
Interpretació. Un pols curt que entra a la fibra surt eixamplat uns 0,7 µs, perquè la llum que el forma ha seguit camins de longitud diferent. Si dos polsos estan separats menys d'aquest temps, se superposen i el receptor no els distingeix.
Ritme màxim. $\dfrac{1}{\Delta t} \approx \dfrac{1}{6{,}8\cdot10^{-7}\ \text{s}} \approx 1{,}5\cdot10^{6}\ \text{polsos/s}$ (uns 1,5 Mbit/s en 10 km).
Fibres monomode. Com que Δt és proporcional a la longitud, en distàncies llargues el problema s'agreuja. En una fibra monomode el nucli és tan estret que només es propaga un mode (pràcticament el raig axial) i aquest eixamplament desapareix.

Errors típics

Calcular l'angle d'acceptació aplicant Snell amb l'angle límit directament, sense passar al complementari.
Pensar que la reflexió total depèn de l'índex del nucli respecte a l'aire i no respecte al revestiment.
Fer servir la velocitat de la llum al buit per calcular els temps dins la fibra.

Conceptes treballats: llei de Snell, angle límit i reflexió total, angle d'acceptació d'una fibra, velocitat de la llum en un medi, transmissió d'informació per fibra òptica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

La piscina coberta d'un poliesportiu té 2,00 m de profunditat a la zona de salts. Al fons hi ha un focus petit que emet llum en totes direccions. Índex de refracció de l'aigua per a la llum groga: 1,33.
a) Un socorrista mira el focus des de just a sobre, en direcció gairebé vertical. A quina profunditat el veu? Demostra l'expressió que fas servir a partir de la llei de Snell amb l'aproximació d'angles petits.
b) Des de fora, la superfície de l'aigua es veu il·luminada només dins d'un cercle. Raona per què i calcula'n el radi.
c) Si s'aboca a la superfície una capa fina d'oli (n = 1,47), canvia el radi del cercle per on surt la llum a l'aire? Justifica-ho.
d) L'índex de l'aigua val 1,331 per a la llum vermella i 1,343 per a la violeta. Calcula el radi del cercle per a cada color i explica de quin color es veu la vora del cercle.
Dades: $n_{\mathrm{aire}}$ = 1,00.

Pista 1

Per a l'apartat a), dibuixa un raig que surt del focus amb un angle petit i la prolongació del raig refractat cap a dins de l'aigua; fes servir que, per a angles petits, sin θ ≈ tg θ.

Pista 2

Els raigs que arriben a la superfície amb un angle més gran que l'angle límit no surten de l'aigua.

Pista 3

Quan hi ha capes paral·leles, la quantitat n·sin θ es conserva d'una capa a la següent.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

El veu a

h' = 1{,}50\ \text{m}

de profunditat (

h' = h/n

Resolució

Plantejament. Un raig que surt del focus amb un angle $\theta_{1}$ petit arriba a la superfície a una distància $x = h\,\text{tg}\,\theta_{1}$ de la vertical. Surt amb un angle $\theta_{2}$ i l'ull el veu venir d'un punt a profunditat h' amb $x = h'\,\text{tg}\,\theta_{2}$ .
Snell amb angles petits. Per a angles petits $\text{tg}\,\theta \approx \sin\theta$ , i Snell dona $n_{\text{aigua}}\sin\theta_{1} = n_{\text{aire}}\sin\theta_{2}$ : $h' = h\,\dfrac{\text{tg}\,\theta_{1}}{\text{tg}\,\theta_{2}} \approx h\,\dfrac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}} = h\,\dfrac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{aigua}}}$
Càlcul. $h' = \dfrac{2{,}00}{1{,}33} = 1{,}50\ \text{m}$ . Error típic: multiplicar per n en lloc de dividir-hi.
Conclusió. El focus sembla 50 cm més amunt del que és (per això les piscines semblen menys fondes).

Apartat b)

Resultat

Per la reflexió total, només surt llum dins d'un con de semiangle

\theta_{L} = 48{,}8^{\circ}

R = 2{,}28\ \text{m}

Resolució

Per què un cercle. Els raigs que arriben a la superfície amb un angle més gran que l'angle límit es reflecteixen totalment cap a l'aigua. Només surt la llum que arriba dins d'un con de semiangle $\theta_{L}$ .
Angle límit. $\sin\theta_{L} = \dfrac{1{,}00}{1{,}33} \Rightarrow \theta_{L} = 48{,}8^{\circ}$ .
Radi. $R = h\,\text{tg}\,\theta_{L} = 2{,}00\cdot\text{tg}\,48{,}8^{\circ} = 2{,}28\ \text{m}$ (amb la tangent, no amb el sinus ni el cosinus).

Apartat c)

Resultat

No canvia: es conserva

n\sin\theta

i la condició de sortida només depèn de l'aigua i l'aire.

Resolució

Capes paral·leles. A cada superfície de separació es conserva $n\sin\theta$ : $n_{\text{aigua}}\sin\theta_{\text{aigua}} = n_{\text{oli}}\sin\theta_{\text{oli}} = n_{\text{aire}}\sin\theta_{\text{aire}}$
Condició de sortida. Perquè surti a l'aire cal $\sin\theta_{\text{aire}} \le 1$ , és a dir, $n_{\text{aigua}}\sin\theta_{\text{aigua}} \le 1$ : la mateixa que sense oli.
Interfície aigua-oli. L'oli té índex més gran que l'aigua, de manera que a la interfície aigua-oli no hi ha reflexió total. (La capa és fina: el desplaçament horitzontal dins l'oli és negligible.)
Conclusió. Una capa intermèdia de més índex no permet que surti més llum: la condició de sortida només depèn dels medis inicial i final.

Apartat d)

Resultat

R_{\text{vermell}} = 2{,}277\ \text{m}

;

R_{\text{violeta}} = 2{,}231\ \text{m}

. La vora del cercle es veu vermellosa.

Resolució

Vermell. $\theta_{L} = \arcsin\dfrac{1}{1{,}331} = 48{,}70^{\circ} \Rightarrow R = 2{,}00\cdot\text{tg}\,48{,}70^{\circ} = 2{,}277\ \text{m}$ .
Violeta. $\theta_{L} = \arcsin\dfrac{1}{1{,}343} = 48{,}12^{\circ} \Rightarrow R = 2{,}231\ \text{m}$ .
Interpretació. El cercle del violeta és uns 5 cm més petit: a la franja exterior només hi arriba la llum de longitud d'ona més llarga, i la vora del cercle es veu vermellosa.
Conclusió. És un efecte de la dispersió (l'índex depèn de la longitud d'ona).

Errors típics

Calcular la profunditat aparent multiplicant per n en lloc de dividir-hi.
Calcular el radi amb sin θ_L o amb el cosinus en lloc de la tangent.
Pensar que una capa intermèdia de més índex permet que surti més llum: la condició de sortida només depèn dels medis inicial i final.

Conceptes treballats: llei de Snell, profunditat aparent, angle límit i reflexió total, capes paral·leles, dispersió de la llum.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Els prismàtics i els periscopis fan servir prismes de vidre de secció triangular rectangle isòsceles (angles de 45°, 45° i 90°) per desviar la llum 90° o 180°. Un feix de llum entra perpendicularment per una de les cares dels catets d'un prisma de vidre d'índex 1,52.
a) Raona amb quin angle incideix la llum sobre la hipotenusa i demostra que s'hi reflecteix totalment. Amb quin angle total es desvia el feix?
b) Quin és l'índex de refracció mínim que ha de tenir el vidre perquè el prisma funcioni?
c) Un submarinista vol fer servir el mateix prisma sota l'aigua (n = 1,33). Funcionaria? Si no, calcula amb quin angle surt la llum cap a l'aigua per la hipotenusa.
d) Raona dos avantatges dels prismes de reflexió total davant dels miralls metàl·lics plans.
Dades: $n_{\mathrm{aire}}$ = 1,00.

Pista 1

Si la llum entra perpendicularment a una cara, no es desvia. Fes servir la geometria del triangle per trobar l'angle amb la normal a la hipotenusa.

Pista 2

La reflexió total exigeix que l'angle d'incidència sigui més gran que l'angle límit, que depèn del quocient dels dos índexs.

Pista 3

Sota l'aigua, l'angle límit s'ha de calcular amb l'índex de l'aigua, no amb el de l'aire.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

Incideix sobre la hipotenusa amb 45° >

\theta_{L} = 41{,}1^{\circ}

: reflexió total. El feix es desvia 90°.

Resolució

Entrada. En entrar perpendicularment no hi ha refracció (no es desvia).
Angle sobre la hipotenusa. La hipotenusa forma 45° amb el catet, de manera que la llum hi arriba amb un angle d'incidència de 45° respecte a la normal. (Aquí coincideix amb l'angle amb la superfície, però no en general: comprova-ho sempre.)
Angle límit vidre-aire. $\sin\theta_{L} = \dfrac{1{,}00}{1{,}52} = 0{,}658 \;\Rightarrow\; \theta_{L} = 41{,}1^{\circ}$
Conclusió. Com que $45^{\circ} \gt 41{,}1^{\circ}$ , hi ha reflexió total. El feix reflectit surt perpendicular a l'altre catet: s'ha desviat 90°.

Apartat b)

Resultat

n_{\text{mín}} = \sqrt{2} = 1{,}41

Resolució

Condició. Cal $\theta_{L} \le 45^{\circ}$ .
Càlcul. $\sin\theta_{L} = \dfrac{1}{n} \le \sin 45^{\circ} \;\Rightarrow\; n \ge \dfrac{1}{\sin 45^{\circ}} = \sqrt{2} = 1{,}41$
Conclusió. Qualsevol vidre òptic habitual (n ≈ 1,5) ho compleix.

Apartat c)

Resultat

No funcionaria:

\theta_{L} = 61{,}0^{\circ} \gt 45^{\circ}

. La llum surt a l'aigua amb

53{,}9^{\circ}

respecte a la normal de la hipotenusa.

Resolució

Angle límit vidre-aigua. Ara s'ha de calcular amb l'índex de l'aigua, no amb 1/n_vidre: $\sin\theta_{L} = \dfrac{1{,}33}{1{,}52} = 0{,}875 \;\Rightarrow\; \theta_{L} = 61{,}0^{\circ}$
Comparació. $45^{\circ} \lt 61{,}0^{\circ}$ : no hi ha reflexió total i la major part de la llum surt per la hipotenusa.
Angle de sortida. $1{,}52\sin 45^{\circ} = 1{,}33\sin\theta \;\Rightarrow\; \sin\theta = 0{,}808 \;\Rightarrow\; \theta = 53{,}9^{\circ}$
Conclusió. El prisma ja no fa de mirall: caldria metal·litzar-ne la hipotenusa.

Apartat d)

Resultat

Reflecteixen pràcticament el 100 % de la llum i la superfície reflectora, dins del vidre, no s'oxida ni es ratlla.

Resolució

Rendiment. La reflexió total reflecteix pràcticament el 100 % de la llum, mentre que un mirall metàl·lic n'absorbeix un percentatge apreciable (i més a cada reflexió, en un sistema amb diverses).
Durabilitat. La superfície que reflecteix és dins del vidre i no s'oxida ni es ratlla.

Errors típics

Prendre l'angle entre el raig i la superfície (45°) com si fos l'angle amb la normal sense comprovar-ho (aquí coincideixen, però no en general).
Calcular l'angle límit sota l'aigua amb 1/n_vidre, com a l'aire.
Dir que la llum es refracta en entrar al prisma tot i que incideix perpendicularment.

Conceptes treballats: llei de Snell, angle límit, reflexió total, prismes de reflexió total, instruments òptics.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Una estudiant miop té el punt remot (la distància màxima a què veu nítid) a 40 cm i el punt pròxim a 15 cm dels ulls. Fes servir el criteri de signes DIN: 1/s' - 1/s = 1/f', amb P = 1/f' (f' en metres).
a) Raona quin tipus de lent necessita i calcula la potència de les lents de contacte (enganxades a l'ull) que li permeten veure nítid un objecte molt llunyà sense acomodar.
b) Si en lloc de lents de contacte fa servir ulleres situades a 2,0 cm de l'ull, quina potència han de tenir? Interpreta per què no coincideix amb la de l'apartat a).
c) Amb les lents de contacte posades, quin és el nou punt pròxim? Explica quin inconvenient té per a la lectura i què passaria si, per error, li haguessin graduat −3,0 D.
d) Hi ha alguna distància mínima a partir de la qual la lent de contacte formi, d'un objecte real, una imatge virtual i dreta? Demostra-ho a partir de l'equació de les lents.

Pista 1

La lent ha de formar, de l'objecte llunyà, una imatge (virtual) situada al punt remot: allà l'ull la veu sense esforç.

Pista 2

Amb ulleres, les distàncies a l'objecte i a la imatge s'han de mesurar des de la lent, no des de l'ull.

Pista 3

Per al nou punt pròxim, busca l'objecte que la lent converteix en una imatge situada a 15 cm de l'ull.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

Lent divergent;

P = -2{,}5\ \text{D}

Resolució

Tipus de lent. L'ull miop convergeix massa i forma la imatge dels objectes llunyans davant de la retina: cal una lent divergent (no convergent).
Plantejament. La lent ha de donar d'un objecte a l'infinit ( $s \to -\infty$ ) una imatge virtual al punt remot, on l'ull la veu sense acomodar: $s' = -0{,}40\ \text{m}$ (negativa, al mateix costat que l'objecte; no +0,40 m).
Equació de les lents. Amb $1/s \to 0$ : $\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{-0{,}40} = -2{,}5\ \text{m}^{-1} \;\Rightarrow\; P = -2{,}5\ \text{D}$

Apartat b)

Resultat

P = -2{,}6\ \text{D}

; és diferent perquè les distàncies es mesuren des de la lent, que ara és 2 cm més lluny de l'ull.

Resolució

Distàncies des de la lent. El punt remot és a $40 - 2{,}0 = 38\ \text{cm}$ de la lent. Error típic: oblidar restar la distància lent-ull.
Potència. $f' = -0{,}38\ \text{m} \Rightarrow P = \dfrac{1}{-0{,}38} = -2{,}6\ \text{D}$ .
Interpretació. La lent és més lluny de l'ull i ha de tenir una focal més curta (més potència en valor absolut) per formar la imatge al mateix punt. Per això les graduacions de les ulleres i de les lents de contacte no són idèntiques en miopies importants.

Apartat c)

Resultat

Nou punt pròxim a 24 cm: per llegir ha d'allunyar el llibre. Amb −3,0 D estaria sobrecorregida: veuria nítid de lluny però acomodant contínuament.

Resolució

Plantejament. La imatge ha de quedar al punt pròxim: $s' = -0{,}15\ \text{m}$ ; $f' = -0{,}40\ \text{m}$ .
Equació de les lents. $\dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{f'} = -6{,}67 + 2{,}50 = -4{,}17\ \text{m}^{-1} \;\Rightarrow\; s = -0{,}24\ \text{m}$
Inconvenient. El punt pròxim s'allunya de 15 cm a 24 cm: per llegir de prop ha d'allunyar el llibre una mica (molts miops es treuen les ulleres per llegir).
Graduació de −3,0 D. Amb $f' = -0{,}33\ \text{m}$ , un objecte llunyà donaria la imatge a 33 cm, més a prop que el punt remot: el veuria nítid però l'ull hauria d'acomodar contínuament, cosa que cansa (sobrecorrecció).

Apartat d)

Resultat

No hi ha cap distància límit: per a qualsevol objecte real, la lent divergent dona sempre una imatge virtual, dreta i més petita.

Resolució

Signes. Objecte real: $s \lt 0$ ; lent divergent: $f' \lt 0$ .
Equació de les lents. $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s}$ és la suma de dos nombres negatius, de manera que $s' \lt 0$ sempre (imatge virtual).
Augment. $\beta = s'/s \gt 0$ (dreta), i com que $|1/s'| \gt |1/s|$ , $|s'| \lt |s|$ : més petita.
Conclusió. A qualsevol distància la imatge és virtual, dreta i més petita: no hi ha cap distància límit.

Errors típics

Fer servir una lent convergent per corregir la miopia.
Posar s' = +0,40 m (imatge real) en lloc de -0,40 m: la imatge que forma la lent divergent és virtual, al mateix costat que l'objecte.
Oblidar restar la distància lent-ull quan les ulleres no estan enganxades a l'ull.

Conceptes treballats: lents primes divergents, equació de les lents, potència en diòptries, punt remot i punt pròxim, correcció de la miopia, criteri de signes DIN.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Un projector d'aula fa servir una lent convergent de 12,0 cm de distància focal per projectar la imatge d'una pantalla LCD interna de 2,40 cm d'amplada sobre la paret, situada a 4,00 m de la lent. Criteri DIN: 1/s' − 1/s = 1/f', augment lateral β = s'/s.
a) A quina distància de la lent ha d'estar la pantalla LCD? Calcula l'augment i l'amplada de la imatge projectada.
b) Raona com ha d'estar col·locada la imatge a la pantalla LCD perquè a la paret es vegi dreta i ben orientada.
c) El professor allunya el projector fins que la paret queda a 6,00 m. Quant i en quin sentit s'ha de desplaçar la lent respecte a la pantalla LCD per tornar a enfocar? Quina amplada té ara la imatge?
d) Raona per què un projector no pot funcionar si la pantalla LCD queda a menys de 12,0 cm de la lent.

Pista 1

La imatge a la paret és real: s' és positiva i coneguda; l'objecte és la pantalla LCD.

Pista 2

Un augment lateral negatiu vol dir imatge invertida (de dalt a baix i d'esquerra a dreta).

Pista 3

Recalcula s per a s' = 6,00 m i compara-ho amb el valor anterior: la diferència és petita, treballa amb prou xifres.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

LCD a

12{,}37\ \text{cm}

de la lent (

s = -0{,}1237\ \text{m}

);

\beta = -32{,}3

; amplada de la imatge

77{,}6\ \text{cm}

Resolució

Dades (criteri DIN). La imatge a la paret és real: $s' = +4{,}00\ \text{m}$ ; $f' = 0{,}120\ \text{m}$ . L'objecte (la pantalla LCD) té s negativa.
Equació de les lents. $\dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{f'} = 0{,}250 - 8{,}333 = -8{,}083\ \text{m}^{-1} \;\Rightarrow\; s = -0{,}1237\ \text{m}$ La pantalla LCD és a 12,37 cm de la lent, just una mica més enllà del focus.
Augment i amplada. $\beta = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{4{,}00}{-0{,}1237} = -32{,}3 \;\Rightarrow\; 32{,}3\cdot2{,}40 = 77{,}6\ \text{cm}$

Apartat b)

Resultat

La imatge s'ha de posar a la pantalla LCD girada 180° (cap per avall i amb l'esquerra i la dreta intercanviades).

Resolució

Signe de l'augment. $\beta \lt 0$ : la imatge és invertida, tant verticalment com horitzontalment (és un gir de 180°). Error típic: dir que només es capgira verticalment.
Conclusió. Perquè a la paret quedi ben orientada, la imatge s'ha de posar a la pantalla LCD girada 180° (cap per avall i amb l'esquerra i la dreta intercanviades).

Apartat c)

Resultat

La lent s'ha d'acostar a la pantalla LCD uns 1,3 mm (de 12,37 a 12,24 cm); amplada

\approx 118\ \text{cm}

Resolució

Nova posició. $s' = 6{,}00\ \text{m}$ : $\dfrac{1}{s} = 0{,}1667 - 8{,}333 = -8{,}167\ \text{m}^{-1} \;\Rightarrow\; s = -0{,}1224\ \text{m} = 12{,}24\ \text{cm}$
Desplaçament. $12{,}37 - 12{,}24 = 0{,}13\ \text{cm} \approx 1{,}3\ \text{mm}$ cap a la pantalla LCD (per això l'anell d'enfocament es mou tan poc). Treballa amb prou xifres: si arrodoneixes s massa aviat, la diferència desapareix.
Nova amplada. $\beta = \dfrac{6{,}00}{-0{,}1224} = -49{,}0 \;\Rightarrow\; 49{,}0\cdot2{,}40 = 118\ \text{cm}$ En allunyar el projector la imatge es fa més gran.

Apartat d)

Resultat

|s| \lt f'

, la imatge és virtual (com en una lupa) i no es pot projectar.

Resolució

Objecte dins de la focal. Si $|s| \lt f'$ : $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s} \lt 0$ , perquè $|1/s| \gt 1/f'$ .
Conseqüència. La imatge és virtual (com en una lupa) i no es pot projectar sobre cap paret.
Conclusió. Una imatge real només existeix si $|s| \gt f'$ , i com més a prop sigui |s| de f', més lluny i més gran és la imatge.

Errors típics

Prendre s positiva (objecte real) amb el criteri DIN, que obliga a fer-la negativa.
Arrodonir s massa aviat: la diferència entre 12,37 cm i 12,24 cm desapareix si es treballa amb només dues xifres.
Dir que la imatge està només capgirada verticalment: una lent inverteix en les dues direccions.

Conceptes treballats: lents primes convergents, equació de les lents, augment lateral, imatges reals i virtuals, projector, enfocament.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

En un gimnàs volen penjar a la paret un mirall pla vertical prou gran perquè una persona d'1,80 m, amb els ulls a 1,68 m del terra, s'hi vegi sencera.
a) Demostra, amb un diagrama de raigs i la llei de la reflexió, que l'alçada mínima del mirall és la meitat de l'alçada de la persona i que no depèn de la distància al mirall. Calcula a quina altura del terra ha d'estar la vora inferior i la superior.
b) La persona camina cap al mirall a 1,2 m/s. A quina velocitat s'acosta la seva imatge respecte al terra? I respecte a ella mateixa?
c) En un instrument de mesura antic (galvanòmetre de mirall), un raig làser incideix en un mirall petit i el punt de llum es projecta en una escala situada a 3,00 m. Demostra que, si el mirall gira un angle α, el raig reflectit gira 2α, i calcula quant es desplaça el punt de llum sobre l'escala quan el mirall gira 5,0° (inicialment el raig reflectit és perpendicular a l'escala).

Pista 1

La imatge en un mirall pla és simètrica de l'objecte respecte al pla del mirall. Traça el raig que va des dels peus fins als ulls i el que va des del cap fins als ulls.

Pista 2

Cada raig es reflecteix en el punt del mirall que és a mig camí (en altura) entre el punt de l'objecte i els ulls.

Pista 3

Si la normal gira α, l'angle d'incidència canvia α i l'angle de reflexió també canvia α.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

Alçada mínima

0{,}90\ \text{m}

(la meitat de 1,80 m), independent de la distància; vora inferior a

0{,}84\ \text{m}

i superior a

1{,}74\ \text{m}

del terra.

Resolució

Imatge en un mirall pla. La imatge és simètrica de l'objecte respecte al pla del mirall: la imatge dels peus és a la mateixa distància darrere del mirall que els peus davant.
Raig dels peus. El raig que arriba als ulls des dels peus es reflecteix (llei de la reflexió: angles iguals) en un punt del mirall a mig camí en altura entre els peus (0) i els ulls (1,68 m): a $0{,}84\ \text{m}$ del terra.
Raig del cap. El raig del cap (1,80 m) es reflecteix a mig camí entre 1,80 m i 1,68 m: a $1{,}74\ \text{m}$ .
Alçada mínima. $1{,}74 - 0{,}84 = 0{,}90\ \text{m} = 1{,}80/2$ .
Independència de la distància. Tots els punts de reflexió són a la meitat de la distància vertical, sigui quina sigui la distància horitzontal (els triangles semblants tenen raó 1/2). Per tant, allunyar-se no permet veure's sencer en un mirall més petit.

Apartat b)

Resultat

Respecte al terra, la imatge s'acosta al mirall a

1{,}2\ \text{m/s}

(en sentit contrari a la persona); respecte a la persona, a

2{,}4\ \text{m/s}

Resolució

Simetria. La imatge és sempre a la mateixa distància d del mirall que la persona.
Respecte al terra. Si la persona s'hi acosta a 1,2 m/s, la imatge també s'acosta al mirall a 1,2 m/s des de l'altra banda (en sentit contrari).
Respecte a la persona. La distància persona-imatge és 2d, i disminueix a $2\cdot1{,}2 = 2{,}4\ \text{m/s}$ . Error típic: dir 1,2 m/s, oblidant que les dues distàncies al mirall canvien alhora.

Apartat c)

Resultat

El raig reflectit gira

2\alpha

; amb

\alpha = 5{,}0^{\circ}

, el punt de llum es desplaça

0{,}53\ \text{m}

Resolució

Gir de la normal. Si el mirall gira α, la normal gira α. L'angle d'incidència passa de θ a θ + α i, per la llei de la reflexió, l'angle de reflexió també.
Gir del raig reflectit. L'angle entre el raig incident (fix) i el reflectit passa de 2θ a 2θ + 2α: el raig reflectit gira 2α (no α, com el mirall).
Desplaçament a l'escala. Amb α = 5,0°, el raig gira 10,0°; com que inicialment era perpendicular a l'escala: $x = 3{,}00\cdot\text{tg}\,10{,}0^{\circ} = 0{,}53\ \text{m}$
Interpretació. Aquesta duplicació, juntament amb el «braç» llarg de 3 m, fa que girs molt petits del mirall siguin fàcils de mesurar.

Errors típics

Pensar que, si t'allunyes del mirall, et pots veure sencer en un mirall més petit.
Dir que la imatge s'acosta a la persona a 1,2 m/s, oblidant que les dues distàncies al mirall canvien alhora.
Dir que el raig reflectit gira el mateix angle que el mirall.

Conceptes treballats: mirall pla, llei de la reflexió, formació d'imatges, diagrames de raigs, moviment relatiu, amplificació òptica d'angles.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Un feix estret de llum blanca incideix des de l'aire, amb un angle d'incidència de 45,0°, sobre una de les cares d'un prisma de vidre amb un angle de refringència (angle entre les dues cares) de 60,0°. L'índex de refracció del vidre és 1,513 per al vermell i 1,532 per al violeta.
a) Calcula, per a cada color, l'angle de refracció a la primera cara, l'angle d'incidència a la segona cara (fes servir que la suma dels dos angles interiors amb les normals és igual a l'angle del prisma) i l'angle d'emergència.
b) Calcula la desviació total de cada color (δ = i + e − A) i l'angle que formen el raig vermell i el violeta a la sortida. Quin color es desvia més? Raona-ho a partir de la velocitat de cada color dins del vidre.
c) Calcula la velocitat i la longitud d'ona dins del vidre d'una llum vermella de 700 nm (mesurada al buit). Canvia el color de la llum dins del vidre? Justifica-ho.
d) Explica, amb aquest mateix fenomen, per què l'arc de Sant Martí té el vermell i el violeta en posicions diferents.
Dades: c = 3,00· $10^{8}$ m/s.

Pista 1

Aplica Snell dues vegades, a l'entrada i a la sortida. Treballa amb almenys quatre xifres als angles: les diferències entre colors són petites.

Pista 2

Si $r_{1}$ és l'angle de refracció a la primera cara, l'angle d'incidència interior a la segona és $r_{2}$ = A − $r_{1}$ .

Pista 3

En canviar de medi es conserva la freqüència; el color que percep l'ull depèn de la freqüència.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

Vermell:

r_{1} = 27{,}86^{\circ}

r_{2} = 32{,}14^{\circ}

e = 53{,}59^{\circ}

; violeta:

r_{1} = 27{,}49^{\circ}

r_{2} = 32{,}51^{\circ}

e = 55{,}43^{\circ}

Resolució

Dades. $i = 45{,}0^{\circ}$ , $A = 60{,}0^{\circ}$ , $n_{\text{vermell}} = 1{,}513$ , $n_{\text{violeta}} = 1{,}532$ . Snell a l'entrada i a la sortida, amb $r_{2} = A - r_{1}$ . Treballa amb almenys quatre xifres: les diferències entre colors són petites.
Vermell. $\sin r_{1} = \dfrac{\sin 45{,}0^{\circ}}{1{,}513} = 0{,}4673 \Rightarrow r_{1} = 27{,}86^{\circ};\quad r_{2} = 60{,}0 - 27{,}86 = 32{,}14^{\circ}$ $\sin e = 1{,}513\sin 32{,}14^{\circ} = 0{,}8048 \Rightarrow e = 53{,}59^{\circ}$
Violeta. $\sin r_{1} = 0{,}4616 \Rightarrow r_{1} = 27{,}49^{\circ};\quad r_{2} = 32{,}51^{\circ};\quad \sin e = 1{,}532\sin 32{,}51^{\circ} = 0{,}8234 \Rightarrow e = 55{,}43^{\circ}$
Comprovació. Cap dels dos pateix reflexió total a la segona cara: els angles límit són 41,4° i 40,7°, més grans que r₂.

Apartat b)

Resultat

\delta_{\text{vermell}} = 38{,}6^{\circ}

;

\delta_{\text{violeta}} = 40{,}4^{\circ}

; separació

1{,}8^{\circ}

. Es desvia més el violeta, que va més a poc a poc dins del vidre.

Resolució

Desviació. $\delta = i + e - A$ : $\delta_{\text{vermell}} = 45{,}0 + 53{,}59 - 60{,}0 = 38{,}6^{\circ};\quad \delta_{\text{violeta}} = 45{,}0 + 55{,}43 - 60{,}0 = 40{,}4^{\circ}$
Separació angular. $40{,}43^{\circ} - 38{,}59^{\circ} = 1{,}8^{\circ}$ . Si arrodoneixes els angles a graus enters, aquesta separació desapareix.
Per què el violeta. Té un índex més gran: dins del vidre va més a poc a poc ( $v = c/n$ ) que el vermell, i en cada refracció es desvia més (no és el vermell el que es desvia més per tenir λ més llarga).
Conclusió. Aquesta dependència de n amb la longitud d'ona (dispersió) és la que separa els colors.

Apartat c)

Resultat

v = 1{,}98\cdot10^{8}\ \text{m/s}

;

\lambda_{\text{vidre}} = 463\ \text{nm}

. El color no canvia: es conserva

f = 4{,}29\cdot10^{14}\ \text{Hz}

Resolució

Velocitat. $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3{,}00\cdot10^{8}}{1{,}513} = 1{,}98\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ .
Longitud d'ona. $\lambda_{\text{vidre}} = \dfrac{\lambda_{0}}{n} = \dfrac{700}{1{,}513} = 463\ \text{nm}$ .
Freqüència. $f = \dfrac{c}{\lambda_{0}} = 4{,}29\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ , i es manté en canviar de medi.
Color. És la freqüència (l'energia de cada fotó) el que determina el color que detecta la retina. Que la longitud d'ona dins el vidre sigui 463 nm no el fa «blau».

Apartat d)

Resultat

Cada gota fa de prisma i dispersa la llum: el vermell surt a uns 42° i el violeta a uns 40°, i per això el vermell es veu a fora de l'arc i el violeta a dins.

Resolució

La gota com a prisma. La llum del Sol es refracta en entrar a la gota, es reflecteix a la part del darrere i es torna a refractar en sortir.
Dispersió. Com que l'índex de l'aigua també depèn del color, cada color surt amb un angle diferent respecte a la direcció de la llum solar (uns 42° el vermell i uns 40° el violeta).
Conclusió. L'observador veu cada color des de gotes situades a alçades diferents: el vermell a fora de l'arc i el violeta a dins.

Errors típics

Arrodonir els angles a graus enters: la separació entre colors (menys de 2°) desapareix.
Pensar que el vermell es desvia més perquè té una longitud d'ona més llarga.
Dir que el color de la llum canvia dins del vidre perquè canvia la longitud d'ona.

Conceptes treballats: llei de Snell, prisma, desviació, dispersió de la llum, índex de refracció i velocitat, conservació de la freqüència, arc de Sant Martí.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Un punter làser verd emet llum de 532 nm amb una potència de 5,0 mW en un feix circular d'1,5 mm de diàmetre.
a) Calcula l'energia de cada fotó (en J i en eV) i el nombre de fotons que emet el làser cada segon.
b) Calcula la intensitat del feix i compara-la amb la intensitat de la llum solar a la superfície terrestre, 1,0· $10^{3}$ $\text{W/m}^{2}$ . Tenint en compte que el cristal·lí de l'ull concentra el feix en un punt minúscul de la retina, raona per què és perillós mirar directament un làser encara que la seva potència sigui només de mil·liwatts.
c) El feix entra perpendicularment en un aquari ple d'aigua (n = 1,33). Calcula la velocitat, la longitud d'ona i la freqüència de la llum dins l'aigua. L'energia de cada fotó canvia?
d) Raona si un làser vermell de la mateixa potència emet més o menys fotons per segon que el verd.
Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3,00· $10^{8}$ m/s; 1 eV = 1,60· $10^{-19}$ J.

Pista 1

L'energia d'un fotó depèn de la seva freqüència; la potència és l'energia emesa per segon.

Pista 2

La intensitat és la potència per unitat de superfície perpendicular al feix.

Pista 3

En canviar de medi, la freqüència es manté; pensa què implica això per a l'energia de cada fotó.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

E = 3{,}74\cdot10^{-19}\ \text{J} = 2{,}34\ \text{eV}

;

N = 1{,}3\cdot10^{16}

fotons/s.

Resolució

Energia del fotó. $E = \dfrac{h c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{532\cdot10^{-9}} = 3{,}74\cdot10^{-19}\ \text{J}$
En eV. $\dfrac{3{,}74\cdot10^{-19}}{1{,}60\cdot10^{-19}} = 2{,}34\ \text{eV}$ .
Fotons per segon. La potència és l'energia emesa per segon (no confonguis W amb J): $N = \dfrac{P}{E} = \dfrac{5{,}0\cdot10^{-3}}{3{,}74\cdot10^{-19}} = 1{,}3\cdot10^{16}\ \text{fotons/s}$

Apartat b)

Resultat

I = 2{,}8\cdot10^{3}\ \text{W/m}^{2}

, gairebé el triple que la llum solar; el cristal·lí el concentra en un punt de la retina i la intensitat s'hi pot fer milers de vegades més gran.

Resolució

Àrea del feix. Amb el radi (0,75 mm), no el diàmetre: $\pi\cdot(0{,}75\cdot10^{-3})^{2} = 1{,}77\cdot10^{-6}\ \text{m}^{2}$ .
Intensitat. $I = \dfrac{P}{S} = \dfrac{5{,}0\cdot10^{-3}}{1{,}77\cdot10^{-6}} = 2{,}8\cdot10^{3}\ \text{W/m}^{2}$ gairebé el triple que la llum solar directa ( $1{,}0\cdot10^{3}\ \text{W/m}^{2}$ ).
Per què és perillós. El feix d'un làser és pràcticament paral·lel i el cristal·lí el focalitza en un punt de la retina d'unes poques micres: la intensitat sobre la retina pot ser milers de vegades més gran i cremar-la en una fracció de segon, abans que el reflex de parpelleig actuï.

Apartat c)

Resultat

v = 2{,}26\cdot10^{8}\ \text{m/s}

;

\lambda = 400\ \text{nm}

;

f = 5{,}64\cdot10^{14}\ \text{Hz}

. L'energia de cada fotó no canvia.

Resolució

Velocitat. $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3{,}00\cdot10^{8}}{1{,}33} = 2{,}26\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ .
Longitud d'ona i freqüència. $\lambda = \dfrac{532}{1{,}33} = 400\ \text{nm}$ ; $f = \dfrac{c}{\lambda_{0}} = 5{,}64\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ (la mateixa que a l'aire).
Energia del fotó. $E = h\cdot f$ no canvia, perquè la freqüència no canvia: un detector submergit continuaria rebent fotons de 2,34 eV (llum verda), tot i que la longitud d'ona a l'aigua sigui de 400 nm. Error típic: calcular-la amb h·c/400 nm, com si el color canviés.

Apartat d)

Resultat

El làser vermell emet més fotons per segon.

Resolució

Energia del fotó vermell. Un fotó vermell (λ més llarga, f més petita) té menys energia que un de verd.
Mateixa potència. Com que $N = P/E$ , el làser vermell ha d'emetre més fotons per segon: per exemple, a 650 nm, $650/532 \approx 1{,}2$ vegades més.

Errors típics

Calcular l'energia del fotó amb la longitud d'ona dins de l'aigua (h·c/400 nm), com si el color canviés.
Confondre la potència (W) amb l'energia (J) en calcular el nombre de fotons.
Fer servir el diàmetre com a radi en calcular l'àrea del feix.

Conceptes treballats: energia del fotó, espectre electromagnètic, potència i nombre de fotons, intensitat, refracció i conservació de la freqüència, seguretat amb làsers.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

L'objectiu de la càmera d'un mòbil es pot modelitzar com una lent convergent prima de 4,00 mm de distància focal. El sensor fa 4,8 mm d'alt. Criteri DIN: 1/s' − 1/s = 1/f', β = s'/s.
a) On s'ha de situar el sensor per enfocar objectes molt llunyans? Calcula quant s'ha de desplaçar la lent respecte al sensor per enfocar una persona situada a 2,00 m.
b) Quina alçada té al sensor la imatge d'una persona d'1,70 m situada a 2,00 m? Hi cap sencera en vertical?
c) En mode macro es vol enfocar una flor a 10,0 cm. Quant s'ha de desplaçar ara la lent respecte a la posició d'infinit? Interpreta per què per enfocar objectes llunyans gairebé no cal moure res i, en canvi, per als propers sí.
d) Raona per què la càmera no pot formar mai al sensor una imatge nítida d'un objecte situat a 3 mm de la lent.

Pista 1

Un objecte a l'infinit forma la imatge al focus imatge.

Pista 2

Treballa amb mil·límetres o amb prou xifres significatives: els desplaçaments són de micres.

Pista 3

Compara la distància objecte amb la distància focal per saber si la imatge pot ser real.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

Sensor al focus, a

4{,}00\ \text{mm}

de la lent; per enfocar a 2,00 m la lent s'ha d'allunyar del sensor

8\ \mu\text{m}

(

s' = 4{,}008\ \text{mm}

Resolució

Objecte a l'infinit. Per a $s \to -\infty$ , $s' = f' = 4{,}00\ \text{mm}$ : el sensor ha d'estar al pla focal.
Persona a 2,00 m. Treballant en metres (sense barrejar-los amb mil·límetres): $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{s} = 250 - 0{,}500 = 249{,}5\ \text{m}^{-1} \;\Rightarrow\; s' = 4{,}008\ \text{mm}$
Desplaçament. La lent s'ha d'allunyar del sensor 0,008 mm = 8 µm. Fixa't: per enfocar objectes més propers cal allunyar la lent, no acostar-la.

Apartat b)

Resultat

La imatge fa

3{,}4\ \text{mm}

(invertida): hi cap sencera al sensor de 4,8 mm.

Resolució

Augment. $\beta = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{4{,}008\cdot10^{-3}}{-2{,}00} = -2{,}00\cdot10^{-3}$
Alçada de la imatge. $1{,}70\cdot2{,}00\cdot10^{-3} = 3{,}4\cdot10^{-3}\ \text{m} = 3{,}4\ \text{mm}$ , invertida (és real; el programari del mòbil la gira).
Conclusió. Com que el sensor fa 4,8 mm, hi cap sencera.

Apartat c)

Resultat

Desplaçament de

0{,}167\ \text{mm}

(

s' = 4{,}167\ \text{mm}

), unes 20 vegades més que per a la persona a 2 m.

Resolució

Flor a 10,0 cm. $\dfrac{1}{s'} = 250 - 10{,}0 = 240\ \text{m}^{-1} \;\Rightarrow\; s' = 4{,}167\ \text{mm}$
Desplaçament. $4{,}167 - 4{,}000 = 0{,}167\ \text{mm}$ , unes 20 vegades més que per a la persona a 2 m.
Interpretació. Com que $\tfrac{1}{s'} = \tfrac{1}{f'} + \tfrac{1}{s}$ i $1/s$ és molt petit quan l'objecte és lluny, s' gairebé no canvia per a objectes llunyans (pocs µm); quan |s| s'acosta a f', el terme 1/s pesa molt i la imatge s'allunya ràpidament.
Conclusió. Per això els mòbils necessiten un mode macro i tenen una distància mínima d'enfocament.

Apartat d)

Resultat

Amb

|s| = 3\ \text{mm} \lt f'

, la imatge és virtual i no es pot recollir en cap sensor.

Resolució

Objecte dins de la focal. $|s| = 3\ \text{mm} \lt f' = 4\ \text{mm}$ .
Equació de les lents. $\dfrac{1}{s'} = 250 - 333 \lt 0\ \text{m}^{-1}$ : $s' \lt 0$ , imatge virtual (al mateix costat que l'objecte).
Conclusió. Una imatge virtual no es pot recollir en cap sensor.

Errors típics

Pensar que per enfocar objectes més propers cal acostar la lent al sensor: cal allunyar-la.
Barrejar mil·límetres i metres a l'equació de les lents.
Dir que la imatge al sensor és dreta: és real i, per tant, invertida (el programari del mòbil la gira).

Conceptes treballats: lents primes convergents, equació de les lents, augment lateral, enfocament, imatges reals i virtuals, càmera fotogràfica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Al laboratori de l'institut es vol mesurar la distància focal d'una lent convergent amb un banc òptic. Es fixen un objecte lluminós i una pantalla separats una distància D = 1,00 m, i es mou la lent entre ells: s'obtenen imatges nítides en dues posicions de la lent separades d = 0,40 m. Criteri DIN: 1/s' − 1/s = 1/f'.
a) Raona, amb la reversibilitat dels camins de la llum, per què hi ha dues posicions de la lent que donen imatge nítida i per què són simètriques respecte del punt mitjà entre objecte i pantalla.
b) Demostra que f' = (D² − d²)/(4D) i calcula la distància focal de la lent.
c) Calcula l'augment lateral a cada posició i comprova que el producte dels dos augments és 1.
d) Demostra que, si D < 4f', no hi ha cap posició amb imatge nítida. Interpreta-ho.
e) Per què aquest mètode és més precís que mesurar directament la distància de la lent a l'objecte i a la imatge?

Pista 1

Si l'objecte és a una distància a de la lent i la imatge a una distància b, intercanviar a i b també compleix l'equació de les lents.

Pista 2

Escriu |s| = (D + d)/2 i s' = (D − d)/2 (o al revés) i substitueix-ho a l'equació de les lents.

Pista 3

Escriu s' = D − |s| a l'equació de les lents i obtindràs una equació de segon grau en |s|: estudia'n el discriminant.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

Per la reversibilitat dels camins de la llum, si

(a, b)

dona imatge nítida,

(b, a)

també: dues posicions simètriques respecte del punt mitjà.

Resolució

Reversibilitat. Si amb l'objecte a una distància a i la imatge a b la imatge és nítida, invertint el sentit dels raigs l'objecte a b dona la imatge a a (intercanviar a i b també compleix l'equació de les lents).
Dues posicions. Si una posició de la lent compleix a + b = D, la posició amb les distàncies intercanviades també el compleix.
Conclusió. Són les dues posicions, simètriques respecte del punt mitjà entre objecte i pantalla.

Apartat b)

Resultat

f' = \dfrac{D^{2} - d^{2}}{4D} = 0{,}21\ \text{m} = 21\ \text{cm}

Resolució

Distàncies. Les dues posicions estan separades $d = a - b$ , i $a + b = D$ : $a = \dfrac{D + d}{2}$ , $b = \dfrac{D - d}{2}$ .
Equació de les lents (DIN). Amb $s = -a$ i $s' = b$ (error típic: prendre s positiva i obtenir 1/b − 1/a): $\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a} = \dfrac{a + b}{a\,b} = \dfrac{D}{(D^{2} - d^{2})/4} \;\Rightarrow\; f' = \dfrac{D^{2} - d^{2}}{4D}$
Càlcul. $f' = \dfrac{1{,}00^{2} - 0{,}40^{2}}{4\cdot1{,}00} = \dfrac{0{,}84}{4} = 0{,}21\ \text{m} = 21\ \text{cm}$

Apartat c)

Resultat

\beta_{1} = -0{,}43

;

\beta_{2} = -2{,}3

;

\beta_{1}\cdot\beta_{2} = 1

Resolució

Distàncies. $a = 0{,}70\ \text{m}$ , $b = 0{,}30\ \text{m}$ .
Primera posició (lent a 0,70 m de l'objecte): $\beta_{1} = \dfrac{s'}{s} = \dfrac{0{,}30}{-0{,}70} = -0{,}43$ , imatge invertida i reduïda.
Segona posició (lent a 0,30 m de l'objecte): $\beta_{2} = \dfrac{0{,}70}{-0{,}30} = -2{,}3$ , invertida i ampliada.
Producte. $\beta_{1}\cdot\beta_{2} = \dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{a}{b} = 1$ .

Apartat d)

Resultat

Cal

D \ge 4f'

: si

D \lt 4f'

, el discriminant és negatiu i no hi ha cap posició amb imatge nítida (4f' és la distància mínima objecte-imatge real).

Resolució

Equació. Amb $|s| = x$ i $s' = D - x$ : $\dfrac{1}{D - x} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{f'} \;\Rightarrow\; x^{2} - D\,x + D\,f' = 0$
Discriminant. Només hi ha solucions reals si $D^{2} - 4D f' \ge 0$ , és a dir, $D \ge 4f'$ .
Interpretació. La distància mínima entre un objecte i la seva imatge real és 4f' (quan a = b = 2f', d = 0). Si la pantalla és més a prop, cap posició de la lent hi forma la imatge: no sempre es pot trobar una imatge nítida.

Apartat e)

Resultat

Perquè no cal saber on és exactament el centre òptic de la lent: només es mesuren D i el desplaçament d.

Resolució

Problema del mètode directe. Per mesurar s i s' cal saber on és exactament el centre òptic de la lent, que en una lent gruixuda o muntada en un suport no se sap bé.
Avantatge. Amb aquest mètode només es mesuren D, que es pot fixar amb precisió, i el desplaçament d de la lent, que no depèn de l'origen que es triï al suport (no confonguis d amb la distància de la lent a l'objecte).

Errors típics

Fer servir s positiva per a l'objecte i obtenir 1/f' = 1/b − 1/a.
Confondre d (desplaçament entre les dues posicions de la lent) amb la distància de la lent a l'objecte.
Pensar que sempre es pot trobar una imatge nítida, sigui quina sigui la distància entre l'objecte i la pantalla.

Conceptes treballats: lents primes convergents, equació de les lents, reversibilitat dels camins òptics, augment lateral, mètode experimental de mesura de la distància focal, discriminant d'una equació de segon grau.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què demostra l'experiment de la doble escletxa de Young?

Que la llum té comportament ondulatori: en passar per dues escletxes es formen franges brillants i fosques per interferència, cosa que només fan les ones.

Per què els retrovisors dels cotxes són convexos?

Perquè els miralls convexos donen imatges virtuals, dretes i més petites, i així cap més camp de visió en el mateix mirall.

Tornar a Física