Exercicis de mètode científic en física — Física 2n Batxillerat

La física és una ciència experimental, i aquests exercicis t'ensenyen a raonar com al laboratori. Analitzes hipòtesis mal formulades, com la d'un alumne abans de la pràctica del pèndol, i identifiques la variable dependent, la independent i les controlades. Després treballes la mesura: per què convé cronometrar deu oscil·lacions en lloc d'una sola i per què cal fer rèpliques. Al final interpretes dades experimentals, com l'allargament d'una molla amb diferents masses, i discuteixes si un experiment pot demostrar una fórmula o només la pot recolzar. Les solucions expliquen cada criteri. Errors típics: confondre la variable dependent amb la independent i fiar-se d'una sola mesura.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Abans de la pràctica del pèndol, l'alumne escriu: «crec que el període serà més gran com més llarg sigui el fil». Què és aquesta frase i quina característica ha de tenir per ser útil?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

És una hipòtesi: una resposta provisional que, per ser útil, ha de ser comprovable amb mesures.

Resolució

Què és la frase. L'alumne fa una suposició sobre com es comportarà el pèndol abans d'experimentar: és una hipòtesi, una resposta provisional a una pregunta («de què depèn el període?»).
Característica clau. Una hipòtesi útil ha de ser comprovable: s'ha de poder posar a prova amb mesures i, segons els resultats, confirmar-la o descartar-la.
Aplicació al cas. Aquesta ho és: n'hi ha prou de mesurar el període per a diferents longituds del fil i veure si creix quan el fil és més llarg.
Conclusió. La frase és una hipòtesi comprovable, perquè fa una predicció concreta que l'experiment pot confirmar o refutar.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

En la frase «volem veure com la longitud del pèndol afecta el seu període», quina és la variable independent i quina la dependent?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

Variable independent: la longitud del pèndol. Variable dependent: el període.

Resolució

Què es demana. Identificar quina magnitud canvies tu (independent) i quina mesures per veure com respon (dependent).
Variable independent. La longitud del pèndol: és la que es canvia a propòsit.
Variable dependent. El període: és el que es mesura i el que depèn de la longitud.
Truc. La independent és la «causa» que manipules; la dependent és l'«efecte» que observes.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Al llarg d'un dia calorós, un tècnic observa que, a mesura que passen les hores, un rail de tren es va allargant i, alhora, la temperatura de l'aire va pujant. Conclou que allargar el rail escalfa l'aire. On és l'error de raonament?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Confon correlació amb causalitat: les dues coses passen alhora perquè totes dues depenen de la calor del dia, i en tot cas és la temperatura la que allarga el rail, no al revés.

Resolució

Què observa. El rail s'allarga i l'aire s'escalfa alhora: les dues magnituds van juntes, hi ha una correlació.
On falla. El tècnic interpreta que l'allargament del rail és la causa de l'escalfament de l'aire, però el rail no escalfa l'aire: és al revés i per una tercera causa.
Explicació física. La calor del dia fa pujar la temperatura, i aquesta temperatura fa dilatar el metall del rail. La longitud del rail és un efecte de la temperatura, no la seva causa.
Conclusió. Correlació no és causa: que dues magnituds canviïn juntes no vol dir que una causi l'altra; cal buscar la variable que les explica.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Classifica cadascuna d'aquestes afirmacions com a observació, hipòtesi, llei o teoria, i justifica-ho en una frase: a) «La pilota ha trigat 0,64 s a arribar a terra.» b) «En el buit, tots els cossos cauen amb la mateixa acceleració.» c) «Si faig servir un fil de coure més gruixut, la seva resistència elèctrica disminuirà.» d) «La gravitació és una conseqüència de la curvatura de l'espai-temps provocada per la massa.»

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Apartat a)

Resultat

Observació: és una dada obtinguda directament amb una mesura.

Resolució

Criteri. Una observació és una dada mesurada o percebuda directament, sense interpretar-la.
Aplicació. «La pilota ha trigat 0,64 s» és el resultat concret d'una mesura amb un cronòmetre: és una observació.

Apartat b)

Resultat

Llei: regularitat comprovada experimentalment moltes vegades, que descriu què passa però no explica per què.

Resolució

Criteri. Una llei és una regularitat comprovada experimentalment moltes vegades, que descriu què passa (sovint amb una fórmula) però no explica per què.
Aplicació. Que tots els cossos caiguin amb la mateixa acceleració en el buit és un comportament general i ben comprovat: és una llei.

Apartat c)

Resultat

Hipòtesi: suposició provisional, formulada abans de l'experiment, que fa una predicció comprovable.

Resolució

Criteri. Una hipòtesi és una suposició provisional, formulada abans de l'experiment, que fa una predicció concreta i es pot posar a prova mesurant.
Aplicació. «Si faig servir un fil més gruixut, la resistència disminuirà» és una predicció en futur que encara s'ha de comprovar: és una hipòtesi.

Apartat d)

Resultat

Teoria: marc explicatiu general (la relativitat general) que explica per què es compleixen les lleis.

Resolució

Criteri. Una teoria és un marc explicatiu general que explica per què es compleixen les lleis i permet fer prediccions noves.
Aplicació. Explicar la gravitació com una curvatura de l'espai-temps és la relativitat general: és una teoria.
Error típic. Pensar que una teoria és «menys segura» que una llei. En ciència, una teoria és l'explicació més ben contrastada de què disposem, no una simple opinió.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Un cronòmetre digital marca 2,37 s en una mesura. a) Quina és la sensibilitat de l'instrument? b) Escriu el resultat de la mesura amb la seva incertesa absoluta. c) Calcula l'error relatiu de la mesura en tant per cent.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Apartat a)

Resultat

Sensibilitat:

0{,}01\ \text{s}

Resolució

Definició. La sensibilitat és la variació més petita que l'aparell pot apreciar.
Lectura. En un instrument digital correspon a una unitat de l'última xifra que mostra: el cronòmetre marca 2,37 s, de manera que aprecia centèsimes de segon, 0,01 s.

Apartat b)

Resultat

t = (2{,}37 \pm 0{,}01)\ \text{s}

Resolució

Criteri. Si només fem una mesura, prenem com a incertesa absoluta la sensibilitat de l'instrument.
Resultat. $t = (2{,}37 \pm 0{,}01)\ \text{s}$ .

Apartat c)

Resultat

\varepsilon \approx 0{,}42\ \%

Resolució

Error relatiu. És el quocient entre la incertesa absoluta i el valor mesurat: $\varepsilon = \dfrac{\Delta t}{t} = \dfrac{0{,}01}{2{,}37} = 0{,}0042$
En tant per cent. $\varepsilon = 0{,}42\ \%$ .
Comentari. A la pràctica, el temps de reacció de qui prem el botó (uns 0,2 s) és molt més gran que la sensibilitat del cronòmetre; per això convé repetir la mesura i fer la mitjana, o mesurar intervals llargs (per exemple, 10 oscil·lacions en lloc d'una).

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Indica quantes xifres significatives té cada mesura: 0,0520 m; 3,00· $10^{8}$ m/s; 1200 kg; 9,81 $\text{m/s}^{2}$ . Explica per què el cas de 1200 kg és ambigu i com l'escriuries si només en volguessis dues de significatives.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

0,0520 m: 3;

3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}

: 3; 1200 kg: ambigu (2, 3 o 4); 9,81 m/s²: 3. Amb dues xifres:

1{,}2\cdot10^{3}\ \text{kg}

Resolució

0,0520 m → 3 xifres. Els zeros de l'esquerra només situen la coma decimal; el zero final sí que compta, perquè indica que s'ha mesurat fins a la dècima de mil·límetre.
$3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ → 3 xifres. En notació científica, totes les xifres del coeficient són significatives. 9,81 m/s² → 3 xifres.
1200 kg és ambigu. En pot tenir 2, 3 o 4, perquè no sabem si els zeros són xifres mesurades o només indiquen l'ordre de magnitud.
Com evitar-ho. Amb notació científica: $1{,}2\cdot10^{3}\ \text{kg}$ té dues xifres significatives, $1{,}20\cdot10^{3}\ \text{kg}$ en tindria tres i $1{,}200\cdot10^{3}\ \text{kg}$ , quatre.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Tres grups mesuren quatre vegades l'acceleració de la gravetat (valor acceptat: 9,81 $\text{m/s}^{2}$ ) i obtenen, en $\text{m/s}^{2}$ : grup A: 9,21; 9,23; 9,22; 9,22. Grup B: 9,5; 10,3; 9,1; 10,4. Grup C: 9,79; 9,82; 9,80; 9,82. Classifica cada sèrie segons si és precisa i/o exacta, i digues quin tipus d'error hi domina.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

A: precís però no exacte (error sistemàtic). B: exacte de mitjana però poc precís (errors aleatoris). C: precís i exacte.

Resolució

Conceptes. Precisió: les mesures repetides s'assemblen entre elles (dispersió petita). Exactitud: la mitjana s'acosta al valor acceptat.
Grup A. Mitjana 9,22 m/s² i dispersió de només 0,02 m/s². És precís però no exacte (queda un 6 % per sota de 9,81): hi domina un error sistemàtic (instrument mal calibrat, longitud mal mesurada, etc.).
Grup B. Mitjana 9,8 m/s² però dispersió enorme (de 9,1 a 10,4). No és precís, però la mitjana coincideix amb el valor acceptat (9,81): és exacte de mitjana. Hi dominen els errors aleatoris.
Grup C. Mitjana 9,81 m/s² i dispersió de 0,03 m/s². És precís i exacte.
Idea clau. Fer la mitjana de moltes mesures redueix els errors aleatoris, però no els sistemàtics. Per això el grup A no milloraria el resultat repetint més vegades la mesura.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Comprova, mitjançant l'anàlisi dimensional, si aquestes dues expressions poden ser correctes: a) v = $\sqrt{2\cdot g\cdot h}$ per a la velocitat d'un cos que ha caigut una altura h; b) T = 2π· $\sqrt{\tfrac{m}{g}}$ per al període d'oscil·lació d'una massa m penjada d'una molla. Si alguna no ho és, digues quina magnitud hi hauria d'aparèixer en lloc de g.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Apartat a)

Resultat

Correcta dimensionalment:

\left[\sqrt{2gh}\right] = \text{L}\cdot\text{T}^{-1}

, dimensions de velocitat.

Resolució

Dimensions. $[g] = \text{L}\cdot\text{T}^{-2}$ i $[h] = \text{L}$ ; el 2 no té dimensions.
Càlcul. $[g\cdot h] = \text{L}\cdot\text{T}^{-2}\cdot\text{L} = \text{L}^{2}\cdot\text{T}^{-2}\quad\Rightarrow\quad \left[\sqrt{2gh}\right] = \text{L}\cdot\text{T}^{-1}$
Conclusió. Són les dimensions d'una velocitat: l'expressió és dimensionalment correcta.

Apartat b)

Resultat

Incorrecta:

\left[\sqrt{m/g}\right] = \text{M}^{1/2}\text{L}^{-1/2}\text{T}

, que no és un temps. Hi ha d'anar la constant elàstica

k

T = 2\pi\sqrt{m/k}

Resolució

Càlcul. $\left[\dfrac{m}{g}\right] = \dfrac{\text{M}}{\text{L}\cdot\text{T}^{-2}} = \text{M}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{T}^{2}\quad\Rightarrow\quad \left[\sqrt{\tfrac{m}{g}}\right] = \text{M}^{1/2}\cdot\text{L}^{-1/2}\cdot\text{T}$
Comparació. El resultat no té dimensions de temps (sobren massa i longitud): l'expressió és incorrecta.
Correcció. Hi ha d'aparèixer la constant elàstica $k$ , amb $[k] = \dfrac{[F]}{[x]} = \text{M}\cdot\text{T}^{-2}$ . Llavors $[m/k] = \text{T}^{2}$ i $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ sí que té dimensions de temps.
Recorda. L'anàlisi dimensional serveix per descartar fórmules incorrectes, però una fórmula dimensionalment correcta no és necessàriament certa: no detecta factors numèrics com el 2 o el 2π.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Raona si és cert o fals: «Perquè una hipòtesi sigui científica cal que es pugui dissenyar algun experiment el resultat del qual la pugui refutar.» Posa un exemple d'afirmació no refutable i un exemple d'hipòtesi refutable sobre la caiguda dels cossos.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

Cert (criteri de falsabilitat). No refutable: «els cossos cauen quan la natura vol». Refutable: «en el buit, una ploma i una bola d'acer arriben a terra al mateix temps».

Resolució

Raonament. Una hipòtesi científica ha de fer prediccions concretes que es puguin comparar amb mesures; si cap resultat imaginable la pot contradir, no afirma res comprovable i no es pot sotmetre al mètode científic. És el criteri de falsabilitat, i per tant l'afirmació és certa.
Exemple no refutable. «Els cossos cauen quan la natura vol que caiguin». Qualsevol resultat hi encaixa, així que no diu res.
Exemple refutable. «En el buit, una ploma i una bola d'acer deixades anar alhora arriben a terra al mateix temps». Si en un tub de buit arribessin en instants diferents, la hipòtesi quedaria refutada.
Matís important. Que un experiment confirmi la predicció no «demostra» la hipòtesi per sempre; només la fa més sòlida. En canvi, un sol resultat contrari ben comprovat la refuta.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Un alumne ha escrit aquests resultats al seu informe de laboratori: (12,345 ± 0,1) cm; (0,52 ± 0,015) kg; (9,8 ± 0,25) $\text{m/s}^{2}$ ; (1500 ± 100) m. Corregeix els que estiguin mal expressats i explica la regla que has aplicat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

(12,3 ± 0,1) cm; (0,52 ± 0,02) kg; (9,8 ± 0,3) m/s²; (1500 ± 100) m ja és correcte, millor

(1{,}5 \pm 0{,}1)\cdot10^{3}\ \text{m}

Resolució

Regla. La incertesa absoluta s'escriu amb una sola xifra significativa (se n'admeten dues si la primera és un 1) i el valor s'arrodoneix fins a la mateixa posició decimal que la incertesa.
(12,345 ± 0,1) cm → (12,3 ± 0,1) cm. No té sentit donar mil·lèsimes si ja dubtem de les dècimes.
(0,52 ± 0,015) kg → (0,52 ± 0,02) kg. La incertesa s'arrodoneix a una xifra i el valor ja té centèsimes. Com que 0,015 comença per 1, l'excepció també admetria (0,520 ± 0,015) kg, amb el valor donat fins a les mil·lèsimes; el que no és correcte és barrejar centèsimes al valor i mil·lèsimes a la incertesa.
(9,8 ± 0,25) m/s² → (9,8 ± 0,3) m/s². La incertesa passa a una xifra i el valor ja acaba a les dècimes.
(1500 ± 100) m. És correcte tal com està; en notació científica s'escriuria $(1{,}5 \pm 0{,}1)\cdot10^{3}\ \text{m}$ .
Error típic. Arrodonir el valor però deixar la incertesa amb dues o tres xifres (0,25; 0,015), que suggereixen una precisió que no tenim.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

En una pràctica es mesura el període T d'un pèndol per a diferents longituds L del fil, tot fent servir sempre el mateix pèndol i la mateixa amplitud petita. Identifica la variable independent, la dependent i digues quines magnituds es mantenen constants.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

Independent: la longitud L. Dependent: el període T. Constants: la massa, l'amplitud (petita) i el lloc (g).

Resolució

Variable independent. La longitud L del fil, que és el que es canvia a propòsit a cada mesura.
Variable dependent. El període T, que és el que es mesura per veure com respon.
Variables controlades. Es mantenen constants la massa que penja, l'angle inicial (sempre petit) i el lloc, és a dir, la gravetat g.
Conclusió. Així el canvi del període es pot atribuir només a la longitud.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Per mesurar el període d'un pèndol, un alumne cronometra una sola oscil·lació i obté T = 1,9 s. Un altre cronometra 10 oscil·lacions, obté 19,6 s i divideix per 10. Per què és millor el segon mètode? Quin paper hi fan les rèpliques?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

El segon mètode dona

T = 1{,}96\ \text{s}

i reparteix l'error de cronometratge entre 10 oscil·lacions (pesa 10 vegades menys); les rèpliques redueixen l'efecte dels errors a l'atzar.

Resolució

Plantejament. L'error principal ve dels reflexos: posar en marxa i aturar el cronòmetre introdueix el mateix error tant si cronometres una oscil·lació com si en cronometres deu.
Càlcul. $T = \dfrac{19{,}6\ \text{s}}{10} = 1{,}96\ \text{s}$ . En dividir per 10, l'error de cronometratge també es divideix per 10.
Per què el primer és pitjor. Amb una sola oscil·lació, un petit retard a prémer el botó falseja molt el resultat (per això surt 1,9 s en lloc de 1,96 s).
Paper de les rèpliques. Convé repetir la mesura diverses vegades i fer-ne la mitjana, perquè una mesura puntual pot sortir rara per casualitat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

En una pràctica es mesura el període d'un pèndol per a quatre longituds. Dades: L = 0,25 m: T = 1,00 s · L = 0,50 m: T = 1,42 s · L = 0,75 m: T = 1,74 s · L = 1,00 m: T = 2,01 s. Digues quina és la variable independent, quina la dependent, i quina conclusió sostenen les dades.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

Independent: L; dependent: T. Les dades mostren que T creix amb L: en quadruplicar L, T es duplica, d'acord amb

T \propto \sqrt{L}

Resolució

Variables. Independent: la longitud L (el que es canvia). Dependent: el període T (el que es mesura).
Tendència. Mirant la taula, quan la longitud augmenta, el període també augmenta.
Proporció. De L = 0,25 m a L = 1,00 m (quatre vegades més llarg) el període passa de 1,00 s a 2,01 s (aproximadament el doble). Fixa't que $T/\sqrt{L}$ val pràcticament el mateix per a les quatre mesures (2,00; 2,01; 2,01; 2,01 $\text{s}/\sqrt{\text{m}}$ ).
Conclusió. Les dades sostenen que el període creix quan creix la longitud; com que la longitud es multiplica per 4 i el període per 2, s'intueix que T depèn de l'arrel quadrada de L, d'acord amb $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

En estirar una molla amb diferents masses es mesura l'allargament. Dades: massa = 50 g: allargament = 2,0 cm · massa = 100 g: allargament = 4,0 cm · massa = 150 g: allargament = 6,0 cm · massa = 200 g: allargament = 8,0 cm. Quina relació hi ha entre la massa penjada i l'allargament? Quina conclusió sostenen les dades?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

L'allargament és proporcional a la massa (0,040 cm per gram): la molla segueix la llei de Hooke, dins del rang mesurat.

Resolució

Increments. Cada cop que la massa augmenta 50 g, l'allargament augmenta 2,0 cm.
Proporcionalitat. Quan la massa es duplica (de 50 g a 100 g, o de 100 g a 200 g), l'allargament també es duplica (de 2,0 a 4,0 cm, o de 4,0 a 8,0 cm). El quocient allargament/massa és constant: 0,040 cm/g.
Llei de Hooke. Com que el pes és proporcional a la massa, l'allargament és proporcional a la força que estira: la molla segueix la llei de Hooke.
Límits de la conclusió. Les dades sostenen aquesta proporcionalitat, però no diuen res de què passaria amb masses molt grans, on la molla es podria deformar.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Per determinar g, un grup deixa caure una bola des d'una altura h = (2,00 ± 0,01) m i mesura cinc vegades el temps de caiguda amb una fotoporta: 0,64 s; 0,62 s; 0,65 s; 0,63 s; 0,66 s. a) Calcula el valor mitjà del temps i expressa'l amb la seva incertesa absoluta (pren com a incertesa la desviació màxima respecte de la mitjana). b) Calcula g a partir de h = ( $\tfrac{1}{2}$ )·g· $t^{2}$ i l'error relatiu respecte del valor acceptat, 9,81 $\text{m/s}^{2}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Apartat a)

Resultat

t = (0{,}64 \pm 0{,}02)\ \text{s}

Resolució

Mitjana. $\bar t = \dfrac{0{,}64 + 0{,}62 + 0{,}65 + 0{,}63 + 0{,}66}{5} = \dfrac{3{,}20}{5} = 0{,}640\ \text{s}$
Desviacions. Respecte de la mitjana: 0,00; 0,02; 0,01; 0,01; 0,02 s. La màxima és 0,02 s, més gran que la sensibilitat (0,01 s), així que és la que prenem com a incertesa.
Resultat. $t = (0{,}64 \pm 0{,}02)\ \text{s}$ .

Apartat b)

Resultat

g = 9{,}77\ \text{m/s}^{2}

; error relatiu

\approx 0{,}5\ \%

(amb incertesa,

g = (9{,}8 \pm 0{,}7)\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Aïllem g. De $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$ : $g = \dfrac{2h}{t^{2}} = \dfrac{2\cdot 2{,}00}{0{,}64^{2}} = \dfrac{4{,}00}{0{,}4096} = 9{,}77\ \text{m/s}^{2}$
Error relatiu. $\varepsilon = \dfrac{|9{,}81 - 9{,}77|}{9{,}81} = 0{,}0045 \approx 0{,}5\ \%$
Incertesa de g. La incertesa relativa de g és aproximadament $\dfrac{2\,\Delta t}{t} + \dfrac{\Delta h}{h} = \dfrac{2\cdot 0{,}02}{0{,}64} + \dfrac{0{,}01}{2{,}00} = 0{,}068\ (7\ \%)$
Conclusió. Aquest 7 % és molt més gran que la discrepància del 0,5 %: el valor acceptat queda dins del marge experimental, $g = (9{,}8 \pm 0{,}7)\ \text{m/s}^{2}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

En un experiment de caiguda lliure s'han obtingut aquestes dades: h = 0,50 m, t = 0,32 s; h = 1,00 m, t = 0,45 s; h = 1,50 m, t = 0,55 s; h = 2,00 m, t = 0,64 s. a) Si representes h en funció de t no surt una recta. Quines magnituds has de representar perquè els punts s'alineïn? b) Calcula el pendent d'aquesta recta amb els punts extrems i dedueix-ne el valor de g.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Apartat a)

Resultat

Cal representar

h

en funció de

t^{2}

: recta per l'origen de pendent

g/2

Resolució

Model. En caiguda lliure des del repòs, $h = \tfrac{1}{2}g\,t^{2}$ : h no és proporcional a t, sinó a t², i per això la gràfica h–t és una paràbola.
Linealització. Si fem el canvi de variable $x = t^{2}$ , la gràfica h–t² ha de ser una recta que passa per l'origen amb pendent $g/2$ .
Valors de t². 0,1024; 0,2025; 0,3025; 0,4096 s².

Apartat b)

Resultat

Pendent

\approx 4{,}88\ \text{m/s}^{2}

;

g \approx 9{,}77\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Pendent entre els punts extrems. $m = \dfrac{2{,}00 - 0{,}50}{0{,}4096 - 0{,}1024} = \dfrac{1{,}50}{0{,}3072} = 4{,}88\ \text{m/s}^{2}$
Càlcul de g. Com que el pendent és $g/2$ : $g = 2\cdot 4{,}88 = 9{,}77\ \text{m/s}^{2}$ . Un ajust per mínims quadrats amb els quatre punts dona pendent 4,89 m/s² i $g = 9{,}79\ \text{m/s}^{2}$ .
Comprovació. L'ordenada a l'origen surt pràcticament zero (0,006 m), tal com prediu el model, i els quocients h/t² valen 4,88; 4,94; 4,96 i 4,88 m/s², tots molt semblants.
Error típic. Calcular el pendent sobre la gràfica h–t (que és una paràbola) o oblidar el factor 2 en passar del pendent a g.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Per determinar el valor d'una resistència, un grup mesura el corrent I que la travessa per a diferents tensions V: V = 2,0 V, I = 0,10 A; V = 4,0 V, I = 0,21 A; V = 6,0 V, I = 0,30 A; V = 8,0 V, I = 0,52 A; V = 10,0 V, I = 0,50 A. a) Quina és la variable independent i quina la dependent? b) Hi ha alguna dada sospitosa? Què cal fer-ne? c) Determina R a partir del pendent de la recta V–I.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Apartat a)

Resultat

Independent: la tensió V; dependent: el corrent I.

Resolució

Independent. La tensió V, que fixa qui experimenta amb la font d'alimentació.
Dependent. El corrent I, que es mesura amb l'amperímetre per a cada tensió.

Apartat b)

Resultat

Sí: el punt (8,0 V; 0,52 A) és anòmal (V/I = 15 Ω davant de 20 Ω). S'ha d'indicar, repetir la mesura i, si es confirma l'error, excloure'l de l'ajust.

Resolució

Quocients. V/I val 20; 19; 20; 15 i 20 Ω.
Dada sospitosa. El punt (8,0 V; 0,52 A) es desvia molt de la tendència dels altres: hi hauria de correspondre un corrent d'uns 0,40 A. És una dada anòmala, segurament un error de lectura o de transcripció.
Què cal fer-ne. En un informe no s'esborra sense més: s'indica, es repeteix la mesura i, si es confirma l'error, s'exclou de l'ajust.

Apartat c)

Resultat

R \approx 20\ \Omega

Resolució

Model. Per la llei d'Ohm, $V = R\cdot I$ : la gràfica V–I és una recta per l'origen de pendent R. Fem servir els quatre punts restants.
Pendent entre extrems. $R = \dfrac{10{,}0 - 2{,}0}{0{,}50 - 0{,}10} = \dfrac{8{,}0}{0{,}40} = 20\ \Omega$ L'ajust per mínims quadrats dona 20,2 Ω.
Conclusió. $R \approx 20\ \Omega$ . Si el punt anòmal s'hagués inclòs a l'ajust, el valor de R hauria sortit clarament més baix (uns 17 Ω).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

En un laboratori de Vic es vol identificar el metall d'un cilindre. Se'n mesura la massa amb una balança, m = (120,0 ± 0,1) g, i el volum per desplaçament d'aigua en una proveta, V = (44,5 ± 0,5) cm³. a) Calcula la densitat amb la seva incertesa absoluta, sabent que en un quocient les incerteses relatives se sumen. b) De quin metall es tracta, si l'alumini té 2,70 g/cm³, el zinc 7,14 g/cm³ i el ferro 7,87 g/cm³? Quina de les dues mesures convindria millorar?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Apartat a)

Resultat

\rho = (2{,}70 \pm 0{,}03)\ \text{g/cm}^{3}

Resolució

Densitat. $\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{120{,}0}{44{,}5} = 2{,}697\ \text{g/cm}^{3}$
Incertesa relativa (quocient). Se sumen les incerteses relatives: $\dfrac{\Delta\rho}{\rho} = \dfrac{0{,}1}{120{,}0} + \dfrac{0{,}5}{44{,}5} = 0{,}0008 + 0{,}0112 = 0{,}0120\ (1{,}2\ \%)$
Incertesa absoluta. $\Delta\rho = 0{,}0120\cdot 2{,}697 = 0{,}03\ \text{g/cm}^{3}$ . Resultat: $\rho = (2{,}70 \pm 0{,}03)\ \text{g/cm}^{3}$ .

Apartat b)

Resultat

És alumini; convé millorar la mesura del volum.

Resolució

Identificació. 2,70 g/cm³ queda dins de l'interval [2,67; 2,73] g/cm³, i el zinc i el ferro en són molt lluny: és alumini.
Quina mesura millorar. El volum aporta gairebé tota la incertesa (1,1 % davant del 0,08 % de la massa): és la que convindria millorar.
Com. Amb una proveta més estreta, o calculant el volum a partir del diàmetre i l'altura mesurats amb un peu de rei.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Vols determinar l'índex de refracció d'un bloc de vidre semicircular amb un làser i un transportador, fent incidir el raig des de l'aire sobre el centre de la cara plana. Has obtingut: i = 30°, r = 19,5°; i = 45°, r = 28,1°; i = 60°, r = 35,3°. a) Quina és la variable independent i quina la dependent? b) Quina gràfica has de representar perquè surti una recta, i què en representa el pendent? c) Calcula n.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Apartat a)

Resultat

Independent: l'angle d'incidència i; dependent: l'angle de refracció r.

Resolució

Independent. L'angle d'incidència i, que tries tu girant el bloc.
Dependent. L'angle de refracció r, que mesures amb el transportador.
Controlades. Es mantenen constants el bloc, el làser i el punt d'incidència.

Apartat b)

Resultat

Cal representar

\sin i

en funció de

\sin r

: recta per l'origen de pendent

n

Resolució

Llei de Snell. $n_{\text{aire}}\sin i = n\sin r$ i, amb $n_{\text{aire}} = 1$ : $\sin i = n\sin r$ .
Gràfica. Representant $\sin i$ en funció de $\sin r$ s'obté una recta que passa per l'origen amb pendent n.

Apartat c)

Resultat

n = 1{,}50

Resolució

Sinus. $\sin i$ : 0,500; 0,707; 0,866. $\sin r$ : 0,334; 0,471; 0,578. Els quocients $\sin i/\sin r$ valen 1,50; 1,50 i 1,50.
Pendent entre extrems. $n = \dfrac{0{,}866 - 0{,}500}{0{,}578 - 0{,}334} = \dfrac{0{,}366}{0{,}244} = 1{,}50$
Error típic. Representar i en funció de r directament; la relació entre els angles no és lineal, només ho és entre els seus sinus.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Classifica cada font d'error com a sistemàtica o aleatòria i proposa com reduir-la: a) una balança que marca 0,2 g quan no hi ha res al plat; b) el temps de reacció en prémer el cronòmetre; c) llegir el nivell d'una proveta sempre des de dalt, de manera que la paral·laxi fa veure un volum més gran; d) petites corrents d'aire que fan oscil·lar la lectura d'una balança sensible; e) un regle de plàstic que s'ha dilatat amb la calor.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Apartat a)

Resultat

Sistemàtica (error de zero): es corregeix tarant la balança.

Resolució

Tipus. Sistemàtica (error de zero): afegeix sempre 0,2 g a totes les lectures.
Com reduir-la. Tarant la balança o restant 0,2 g a totes les lectures.

Apartat b)

Resultat

Aleatòria: es redueix repetint i fent la mitjana, mesurant intervals llargs o amb fotoportes.

Resolució

Tipus. Aleatòria: unes vegades t'avances i d'altres t'endarrereixes.
Com reduir-la. Repetint la mesura i fent la mitjana, mesurant intervals llargs (10 oscil·lacions en lloc d'una) o usant fotoportes.

Apartat c)

Resultat

Sistemàtica: es corregeix posant l'ull a l'altura del menisc.

Resolució

Tipus. Sistemàtica: la paral·laxi fa que l'error vagi sempre en el mateix sentit (volum més gran).
Com reduir-la. Posant l'ull a l'altura del menisc.

Apartat d)

Resultat

Aleatòria: es redueix protegint la balança dels corrents d'aire i fent la mitjana.

Resolució

Tipus. Aleatòria: la lectura fluctua al voltant del valor real.
Com reduir-la. Tancant portes i finestres, protegint la balança i fent la mitjana de diverses lectures.

Apartat e)

Resultat

Sistemàtica: es corregeix amb un instrument calibrat o un factor de correcció.

Resolució

Tipus. Sistemàtica: com que les divisions del regle s'han allargat, totes les longituds surten més curtes del compte.
Com reduir-la. Amb un instrument calibrat o aplicant un factor de correcció.
Idea clau. La mitjana de moltes mesures redueix els errors aleatoris, però no els sistemàtics; aquests només es detecten comparant amb un patró o amb un altre mètode.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Un grup fa girar un cos de 0,200 kg lligat a un fil de 0,50 m en un pla horitzontal i mesura la tensió del fil F per a diferents velocitats v. En representar F en funció de $v^{2}$ obté una recta que passa per l'origen amb pendent 0,42 kg/m. a) Quin significat físic té el pendent? b) Quin valor teòric hauria de tenir i quin error relatiu ha comès el grup? c) Per què convé representar F en funció de $v^{2}$ i no de v?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Apartat a)

Resultat

El pendent és

m/r

, el quocient entre la massa i el radi (en kg/m).

Resolució

Força centrípeta. La tensió del fil fa de força centrípeta: $F = \dfrac{m\,v^{2}}{r} = \left(\dfrac{m}{r}\right)v^{2}$
Interpretació. La gràfica F–v² és una recta per l'origen de pendent $m/r$ , en kg/m.
Comprovació d'unitats. $(\text{kg/m})\cdot(\text{m/s})^{2} = \text{kg}\cdot\text{m/s}^{2} = \text{N}$ , les unitats d'una força.

Apartat b)

Resultat

Valor teòric

0{,}40\ \text{kg/m}

; error relatiu del

5\ \%

Resolució

Valor teòric. $\dfrac{m}{r} = \dfrac{0{,}200}{0{,}50} = 0{,}40\ \text{kg/m}$ .
Error relatiu. $\varepsilon = \dfrac{|0{,}42 - 0{,}40|}{0{,}40} = 0{,}05 = 5\ \%$

Apartat c)

Resultat

Perquè F és proporcional a

v^{2}

: la gràfica F–v seria una paràbola, i linealitzar permet comprovar el model i treure la constant del pendent.

Resolució

Motiu. F és proporcional a v², no a v: la gràfica F–v seria una paràbola, de la qual és difícil extreure res amb precisió.
Avantatge de linealitzar. Permet comprovar el model (els punts s'alineen i la recta passa per l'origen) i obtenir la constant física a partir del pendent.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Un grup vol saber de què depèn el període d'un pèndol, i proposa tres hipòtesis: que depèn de la massa, de la longitud del fil o de l'amplitud de l'oscil·lació. (a) Descriu com posaries a prova cada hipòtesi: què canviaries, què mesuraries i què mantindries igual. (b) Si de fet el període només depèn de la longitud, quins resultats esperaries en cada cas?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Apartat a)

Resultat

Es posa a prova cada hipòtesi canviant només una variable (massa, longitud o amplitud) i mantenint les altres dues constants, mesurant el període amb 10 oscil·lacions i repetint.

Resolució

Principi. Per saber si una variable influeix, només se'n canvia una cada vegada i les altres es mantenen iguals; així qualsevol canvi del període es pot atribuir a aquella variable.
Massa. Canviar la massa penjada (per exemple, 50, 100 i 200 g), amb la mateixa longitud i la mateixa amplitud petita.
Longitud. Canviar la llargada del fil (0,25, 0,50, 0,75 i 1,00 m), amb la mateixa massa i amplitud.
Amplitud. Deixar anar el pèndol des d'angles diferents però petits (5°, 10° i 15°), amb la mateixa massa i longitud.
Mesura. En tots els casos es mesura el període cronometrant 10 oscil·lacions, i es repeteix cada mesura.

Apartat b)

Resultat

En canviar la massa o l'amplitud (petita), el període no varia més enllà de l'error; en canviar la longitud, augmenta (si L es quadruplica, T es duplica).

Resolució

Massa i amplitud. Si el període només depèn de la longitud, en canviar la massa o l'amplitud (sempre petita) el període no ha de variar més enllà de l'error de mesura.
Longitud. En canviar la longitud, el període ha d'augmentar. Segons $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ , si es quadruplica la longitud, el període es duplica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Un alumne vol demostrar la fórmula del període del pèndol. Fa una sola mesura, per a una sola longitud (L = 1 m), sense repetir-la, i conclou que la fórmula T = 2·π· $\sqrt{\tfrac{L}{g}}$ és correcta. Digues tres defectes d'aquest disseny i com el milloraries.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

Defectes: una sola longitud, una sola mesura sense repetir i no controla les altres variables. Millora: diverses longituds, rèpliques i condicions constants.

Resolució

Primer defecte. Fa servir un sol valor de la variable independent: amb una sola longitud no pot veure com varia el període amb L, que és justament el que vol comprovar.
Segon defecte. Fa una sola mesura sense repetir-la: un error de cronòmetre la pot falsejar.
Tercer defecte. No controla ni indica la resta de condicions (amplitud petita, mateix lloc).
Millores. Mesurar el període per a diverses longituds diferents, repetir cada mesura unes quantes vegades i fer-ne la mitjana, i mantenir constants l'amplitud i les altres condicions.
Matís. Fixa't que tampoc es pot «demostrar» una fórmula amb un experiment: com a molt, les dades hi són compatibles dins de l'error.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Vols comprovar si la massa que penges d'un pèndol afecta el seu període. Explica com dissenyaries l'experiment: què canviaries, què mesuraries i quines variables mantindries constants.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

Canviaria només la massa (independent), mesuraria el període (dependent) i mantindria constants la longitud, l'amplitud petita i el lloc.

Resolució

Variable independent. La massa que penjo: és l'única que canvio.
Variable dependent. El període, que mesuro per a cada massa (millor cronometrant diverses oscil·lacions i repetint).
Variables constants. Partiria d'una massa i n'aniria provant d'altres, comparant sempre amb la mateixa longitud de fil i la mateixa amplitud petita, al mateix lloc.
Conclusió esperada. Si el període surt igual per a totes les masses, la massa no afecta el període, com diu la teoria: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ no conté la massa.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Per determinar la constant elàstica d'una molla, es pengen diferents masses m, es fa oscil·lar el sistema i es mesura el període T: m = 0,050 kg, T = 0,344 s; m = 0,100 kg, T = 0,466 s; m = 0,150 kg, T = 0,562 s; m = 0,200 kg, T = 0,644 s; m = 0,250 kg, T = 0,716 s. El model teòric és T = 2π· $\sqrt{\tfrac{m + m_{0}}{k}}$ , on $m_{0}$ és la massa efectiva de la molla.
a) Linealitza el model i digues quina gràfica cal representar.
b) Calcula el pendent i l'ordenada a l'origen (amb els punts extrems n'hi ha prou) i obtén k i $m_{0}$ .
c) Per què seria un error forçar que la recta passés per l'origen?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{k}\,m + \dfrac{4\pi^{2}m_{0}}{k}

: cal representar

T^{2}

en funció de

m

Resolució

Model. $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m + m_{0}}{k}}$ no és lineal en m.
Linealització. Elevant al quadrat: $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{k}\,m + \dfrac{4\pi^{2}m_{0}}{k}$
Gràfica. Si representem T² en funció de m obtenim una recta de pendent $4\pi^{2}/k$ i ordenada a l'origen $4\pi^{2}m_{0}/k$ .

Apartat b)

Resultat

Pendent

1{,}972\ \text{s}^{2}/\text{kg}

, ordenada

0{,}0197\ \text{s}^{2}

;

k = 20{,}0\ \text{N/m}

m_{0} = 0{,}0100\ \text{kg} = 10\ \text{g}

Resolució

Valors de T². 0,1183; 0,2172; 0,3158; 0,4147; 0,5127 s².
Pendent. $p = \dfrac{0{,}5127 - 0{,}1183}{0{,}250 - 0{,}050} = \dfrac{0{,}3944}{0{,}200} = 1{,}972\ \text{s}^{2}/\text{kg}\quad\Rightarrow\quad k = \dfrac{4\pi^{2}}{1{,}972} = \dfrac{39{,}48}{1{,}972} = 20{,}0\ \text{N/m}$
Ordenada a l'origen. $b = 0{,}1183 - 1{,}972\cdot 0{,}050 = 0{,}0197\ \text{s}^{2}\quad\Rightarrow\quad m_{0} = \dfrac{b\,k}{4\pi^{2}} = \dfrac{b}{p} = \dfrac{0{,}0197}{1{,}972} = 0{,}0100\ \text{kg} = 10\ \text{g}$
Comprovació. Amb k = 20 N/m i m + m₀ = 0,110 kg: $T = 2\pi\sqrt{0{,}110/20} = 0{,}466\ \text{s}$ , que coincideix amb la mesura.

Apartat c)

Resultat

Perquè la molla té massa pròpia que també oscil·la: l'ordenada no és zero, i forçar l'origen faria sortir el pendent més gran i k més petita del que és.

Resolució

Origen físic. La molla té massa pròpia i també oscil·la: la recta no passa per l'origen (b ≠ 0).
Efecte de forçar l'origen. Si forcem el pas per l'origen, el pendent surt més gran i k, més petita del que és (amb aquestes dades, uns 19 N/m en lloc de 20 N/m).
Conclusió. Una ordenada diferent de zero no és un «error», sinó informació física: aquí, uns 10 g de massa efectiva.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Es vol mesurar el volum d'una bola d'acer per dos mètodes. Mètode A: amb un peu de rei se'n mesura el diàmetre, D = (20,00 ± 0,05) mm, i es calcula V = ( $\tfrac{\pi}{6}$ )· $D^{3}$ . Mètode B: se submergeix en una proveta i es llegeix el volum d'aigua desplaçat, V = (4,2 ± 0,1) cm³.
a) Calcula el volum pel mètode A amb la seva incertesa absoluta (en una potència, la incertesa relativa es multiplica per l'exponent).
b) Són compatibles els dos resultats? Quin mètode és més precís, i quantes vegades?
c) Si la massa de la bola és (32,9 ± 0,1) g, quina densitat s'obté amb el mètode més precís?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

V = (4{,}19 \pm 0{,}03)\ \text{cm}^{3}

Resolució

Volum. Treballem en cm (D = 2,000 cm): $V = \dfrac{\pi}{6}D^{3} = \dfrac{\pi}{6}\cdot 2{,}000^{3} = 4{,}189\ \text{cm}^{3}$
Incertesa relativa (potència). Es multiplica per l'exponent: $\dfrac{\Delta V}{V} = 3\,\dfrac{\Delta D}{D} = 3\cdot\dfrac{0{,}05}{20{,}00} = 0{,}0075\ (0{,}75\ \%)$
Incertesa absoluta. $\Delta V = 0{,}0075\cdot 4{,}189 = 0{,}03\ \text{cm}^{3}$ . Resultat: $V = (4{,}19 \pm 0{,}03)\ \text{cm}^{3}$ .

Apartat b)

Resultat

Sí, són compatibles (els intervals se solapen); el mètode A és unes 3 vegades més precís.

Resolució

Precisió del mètode B. Incertesa relativa $0{,}1/4{,}2 = 0{,}024$ (un 2,4 %).
Compatibilitat. Els intervals [4,16; 4,22] cm³ i [4,1; 4,3] cm³ se solapen: els resultats són compatibles.
Comparació. $2{,}4/0{,}75 \approx 3{,}2$ : el mètode A és unes 3 vegades més precís.
Observació. Encara que el peu de rei sembli molt precís, el fet d'elevar al cub triplica la incertesa relativa; tot i així continua sent millor que la proveta.

Apartat c)

Resultat

\rho = (7{,}85 \pm 0{,}08)\ \text{g/cm}^{3}

, coherent amb l'acer.

Resolució

Densitat. Amb el mètode A: $\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{32{,}9}{4{,}189} = 7{,}85\ \text{g/cm}^{3}$ .
Incertesa relativa (quocient). $\dfrac{0{,}1}{32{,}9} + 0{,}0075 = 0{,}0030 + 0{,}0075 = 0{,}0105$ , de manera que $\Delta\rho = 0{,}0105\cdot 7{,}85 = 0{,}08\ \text{g/cm}^{3}$ .
Conclusió. $\rho = (7{,}85 \pm 0{,}08)\ \text{g/cm}^{3}$ , un valor coherent amb el de l'acer.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Es mesura l'activitat A d'una mostra radioactiva en funció del temps: t = 0 dies, A = 800 Bq; t = 2 dies, A = 566 Bq; t = 4 dies, A = 400 Bq; t = 6 dies, A = 283 Bq; t = 8 dies, A = 200 Bq. El model teòric és A = $A_{0}$ · $e^{-λt}$ .
a) Quina gràfica cal representar perquè els punts s'alineïn? Quin significat tenen el pendent i l'ordenada a l'origen?
b) Calcula λ a partir del pendent i dedueix-ne el període de semidesintegració.
c) Comprova el resultat directament amb la taula.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

Cal representar

\ln A

en funció de

t

: pendent

-\lambda

i ordenada a l'origen

\ln A_{0}

Resolució

Linealització. Prenent logaritmes neperians a $A = A_{0}e^{-\lambda t}$ : $\ln A = \ln A_{0} - \lambda t$
Gràfica. Representant ln A en funció de t s'obté una recta de pendent $-\lambda$ i ordenada a l'origen $\ln A_{0}$ .

Apartat b)

Resultat

\lambda = 0{,}173\ \text{dies}^{-1}

;

T_{1/2} = 4{,}0\ \text{dies}

Resolució

Valors de ln A. 6,685; 6,339; 5,991; 5,645; 5,298.
Pendent entre extrems. $p = \dfrac{5{,}298 - 6{,}685}{8 - 0} = \dfrac{-1{,}387}{8} = -0{,}173\ \text{dies}^{-1}\quad\Rightarrow\quad \lambda = 0{,}173\ \text{dies}^{-1}$
Ordenada. 6,685, de manera que $A_{0} = e^{6{,}685} = 800\ \text{Bq}$ , coherent amb la primera dada.
Període de semidesintegració. $T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} = \dfrac{0{,}693}{0{,}173} = 4{,}0\ \text{dies}$

Apartat c)

Resultat

A la taula l'activitat es redueix a la meitat cada 4 dies (800 → 400 → 200 Bq).

Resolució

Comprovació directa. L'activitat passa de 800 a 400 Bq en 4 dies, i de 400 a 200 Bq en 4 dies més: cada 4 dies es redueix a la meitat, tal com hem obtingut.
Error típic. Intentar ajustar una recta a la gràfica A–t, que és una exponencial, o fer servir logaritmes decimals i oblidar el factor ln 10 = 2,303 en passar del pendent a λ.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Disposes d'un bloc de fusta amb un ganxo, un dinamòmetre, un joc de masses i una balança, i vols determinar el coeficient de fregament dinàmic μ entre el bloc i la taula del laboratori.
a) Descriu el procediment: què mesuraràs, quina variable canviaràs, quines mantindràs constants i quina gràfica faràs.
b) Amb aquestes dades (N és el pes total del bloc amb les masses i F la força necessària per arrossegar-lo a velocitat constant): N = 2,0 N, F = 0,61 N; N = 3,0 N, F = 0,89 N; N = 4,0 N, F = 1,22 N; N = 5,0 N, F = 1,49 N, obtén μ.
c) Per què cal arrossegar el bloc a velocitat constant?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

Variar la normal N afegint masses, mesurar amb el dinamòmetre la força F per arrossegar el bloc a velocitat constant i representar F en funció de N: recta per l'origen de pendent μ.

Resolució

Procediment. Es pesa el bloc, s'hi col·loquen masses conegudes i s'arrossega horitzontalment amb el dinamòmetre a velocitat constant, anotant la força F.
Variables. Independent: la normal $N = (m_{\text{bloc}} + m)\,g$ , que canviem afegint masses. Dependent: F.
Variables controlades. La superfície (mateixa zona de la taula, neta i seca), la cara del bloc en contacte, l'horitzontalitat del dinamòmetre i la velocitat (lenta i uniforme). Cada mesura es repeteix tres vegades i se'n fa la mitjana.
Gràfica. Com que $F_{f} = \mu N$ , la gràfica F–N ha de ser una recta per l'origen de pendent μ.

Apartat b)

Resultat

\mu \approx 0{,}30

(sense unitats).

Resolució

Quocients. F/N val 0,305; 0,297; 0,305; 0,298: els punts s'alineen.
Pendent entre extrems. $\mu = \dfrac{1{,}49 - 0{,}61}{5{,}0 - 2{,}0} = \dfrac{0{,}88}{3{,}0} = 0{,}29$
Ajust. L'ajust per mínims quadrats dona pendent 0,30 i ordenada 0,01 N (pràcticament zero, com prediu el model).
Resultat. $\mu \approx 0{,}30$ , sense unitats.

Apartat c)

Resultat

Perquè només amb acceleració zero la força del dinamòmetre és igual a la força de fregament dinàmic.

Resolució

Segona llei de Newton. Si el bloc va a velocitat constant, $a = 0$ i $F - F_{f} = 0$ : el dinamòmetre marca exactament la força de fregament.
Si accelerés. $F = F_{f} + m\,a$ i el pendent sortiria massa gran.
Si estigués aturat. Mesuraríem el fregament estàtic, no el dinàmic.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Dos grups determinen g al laboratori. El grup A obté g = (9,6 ± 0,3) $\text{m/s}^{2}$ i el grup B, g = (10,4 ± 0,2) $\text{m/s}^{2}$ . El valor acceptat és 9,81 $\text{m/s}^{2}$ .
a) Raona si cada resultat és compatible amb el valor acceptat i si els dos resultats són compatibles entre ells.
b) Quin grup ha comès molt probablement un error sistemàtic? Per què repetir més vegades la mesura no l'ajudaria?
c) Redacta, en tres o quatre frases, la conclusió que el grup A hauria d'escriure al seu informe.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

A és compatible amb 9,81; B no ho és; A i B són incompatibles entre ells.

Resolució

Criteri. Dos valors són compatibles si els seus intervals d'incertesa se solapen.
Grup A. [9,3; 9,9] m/s² conté 9,81: compatible amb el valor acceptat.
Grup B. [10,2; 10,6] m/s² no conté 9,81: incompatible.
Entre ells. [9,3; 9,9] i [10,2; 10,6] no se solapen: els dos resultats són incompatibles.

Apartat b)

Resultat

El grup B: és precís però s'allunya un 6 % (tres vegades la seva incertesa). Repetir no ajuda perquè un error sistemàtic desplaça totes les mesures en el mateix sentit.

Resolució

Diagnòstic. El resultat de B és precís (incertesa petita, un 2 %) però inexacte: una desviació del 6 % respecte del valor acceptat, unes tres vegades més gran que la seva incertesa, indica un error sistemàtic (per exemple, una longitud mal mesurada o un cronòmetre descalibrat).
Per què repetir no ajuda. Repetir mesures redueix la dispersió (errors aleatoris), però un error sistemàtic desplaça totes les mesures en el mateix sentit i la mitjana no el corregeix.

Apartat c)

Resultat

«Hem obtingut

g = (9{,}6 \pm 0{,}3)\ \text{m/s}^{2}

(3 %), compatible amb 9,81 m/s²; la principal font d'incertesa ha estat la mesura del temps.»

Resolució

Què ha de contenir. El resultat amb la incertesa, la comparació amb el valor acceptat, la font principal d'incertesa i una proposta de millora.
Model de conclusió. «Hem obtingut $g = (9{,}6 \pm 0{,}3)\ \text{m/s}^{2}$ , amb una incertesa relativa del 3 %. El valor acceptat, 9,81 m/s², queda dins del nostre interval, de manera que el resultat és compatible amb la teoria. La principal font d'incertesa ha estat la mesura del temps; per reduir-la caldria mesurar intervals més llargs o utilitzar una fotoporta. No hem detectat cap error sistemàtic apreciable.»

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

La velocitat v amb què es propaga una pertorbació per una corda tensa depèn només de la tensió de la corda, F (en N), i de la seva densitat lineal, μ (massa per unitat de longitud, en kg/m): v = C· $F^{a}$ · $μ^{b}$ , on C és una constant sense dimensions.
a) Determina els exponents a i b per anàlisi dimensional.
b) Calcula v per a una corda amb F = 50 N i μ = 0,0050 kg/m, suposant C = 1.
c) Explica quin experiment faries per comprovar que l'exponent de F és correcte i quina gràfica representaries.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

a = \tfrac{1}{2}

b = -\tfrac{1}{2}

v = C\sqrt{F/\mu}

Resolució

Dimensions. $[v] = \text{L}\,\text{T}^{-1}$ ; $[F] = \text{M}\,\text{L}\,\text{T}^{-2}$ (és una força); $[\mu] = \text{M}\,\text{L}^{-1}$ .
Homogeneïtat. $\text{L}\,\text{T}^{-1} = (\text{M}\,\text{L}\,\text{T}^{-2})^{a}(\text{M}\,\text{L}^{-1})^{b} = \text{M}^{a+b}\,\text{L}^{a-b}\,\text{T}^{-2a}$
Sistema. M: $a + b = 0$ ; L: $a - b = 1$ ; T: $-2a = -1$ . Solució: $a = 1/2$ i $b = -1/2$ .
Conclusió. $v = C\sqrt{F/\mu}$ .

Apartat b)

Resultat

v = 100\ \text{m/s}

Resolució

Càlcul. $v = \sqrt{\dfrac{50}{0{,}0050}} = \sqrt{10\,000} = 100\ \text{m/s}$
Unitats. $\sqrt{\text{N}/(\text{kg/m})} = \sqrt{\text{m}^{2}/\text{s}^{2}} = \text{m/s}$ .

Apartat c)

Resultat

Mantenir la mateixa corda (μ fixa), variar la tensió penjant masses (

F = mg

), mesurar v i representar

v^{2}

en funció de F: ha de ser una recta per l'origen.

Resolució

Disseny. Mantindria la mateixa corda (μ fixa) i canviaria la tensió penjant masses diferents d'un extrem ( $F = m\,g$ ), mesurant v per a cada tensió (per exemple, a partir de la freqüència i la longitud d'ona d'una ona estacionària, $v = \lambda f$ ).
Gràfica. Representant v² en funció de F hauria de sortir una recta per l'origen; si l'exponent no fos 1/2, els punts no s'alinearien.
Observació. L'anàlisi dimensional no pot determinar C, però l'experiment sí: el pendent de la recta val $C^{2}/\mu$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

En una pràctica al laboratori d'un institut de Vic s'il·lumina el càtode d'una cèl·lula fotoelèctrica amb la llum de diversos LED i filtres, i per a cada freqüència es mesura el potencial de frenada $V_{0}$ :
f (· $10^{14}$ Hz): 5,49 · 6,88 · 7,41 · 8,20 · 9,60
$V_{0}$ (V): 0,14 · 0,71 · 0,92 · 1,25 · 1,82
a) A partir de l'equació d'Einstein de l'efecte fotoelèctric, escriu la relació teòrica entre $V_{0}$ i f. Explica quina gràfica cal fer perquè surti una recta i què representen el pendent i l'ordenada a l'origen.
b) Calcula el pendent i l'ordenada a l'origen (per mínims quadrats o amb dos punts ben triats) i obtén la constant de Planck, el treball d'extracció del metall (en eV), la freqüència llindar i la longitud d'ona llindar.
c) Calcula l'error relatiu de h respecte del valor acceptat i raona, amb la taula de dades, de quin metall és més probable que sigui el càtode.
d) Un company proposa repetir l'experiment amb una làmpada molt més intensa «per obtenir potencials de frenada més grans i reduir l'error». Raona si la proposta té sentit.
Dades: e = 1,602· $10^{-19}$ C; $h_{\mathrm{acceptat}}$ = 6,626· $10^{-34}$ J·s; c = 3,00· $10^{8}$ m/s. Treballs d'extracció: cesi 2,14 eV; potassi 2,29 eV; sodi 2,36 eV; calci 2,87 eV.

Pista 1

Escriu l'energia cinètica màxima dels fotoelectrons de dues maneres: amb el balanç energètic del fotó i amb el treball que fa el camp elèctric que els frena.

Pista 2

Aïlla $V_{0}$ i compara l'expressió amb y = m·x + b: quina magnitud fa de x i quina de y?

Pista 3

El pendent té unitats de V/Hz = V·s: per passar-lo a J·s cal multiplicar-lo per la càrrega de l'electró. La freqüència llindar és on la recta talla l'eix de les freqüències.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

V_{0} = \dfrac{h}{e}\,f - \dfrac{W_{0}}{e}

: cal representar

V_{0}

en funció de

f

; pendent

h/e

, ordenada

-W_{0}/e

, i el tall amb l'eix f és la freqüència llindar.

Resolució

Equació d'Einstein. Un fotó d'energia $h f$ arrenca un electró i li deixa com a màxim $E_{c,\text{màx}} = h f - W_{0}$ .
Potencial de frenada. És el que atura justament aquests electrons: $e V_{0} = E_{c,\text{màx}}$ . Per tant: $V_{0} = \dfrac{h}{e}\,f - \dfrac{W_{0}}{e}$
Gràfica. Si representem V₀ (eix y) en funció de f (eix x) hem d'obtenir una recta de pendent $h/e$ i ordenada a l'origen $-W_{0}/e$ .
Freqüència llindar. La recta talla l'eix x a $f_{0} = W_{0}/h$ .

Apartat b)

Resultat

Pendent

4{,}09\cdot10^{-15}\ \text{V}\cdot\text{s}

, ordenada

-2{,}10\ \text{V}

;

h = 6{,}55\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}

;

W_{0} = 2{,}10\ \text{eV}

;

f_{0} = 5{,}15\cdot10^{14}\ \text{Hz}

;

\lambda_{0} = 583\ \text{nm}

Resolució

Regressió. Amb les cinc parelles: pendent $m = 4{,}09\cdot10^{-15}\ \text{V}\cdot\text{s}$ i ordenada $b = -2{,}10\ \text{V}$ , amb coeficient de correlació r = 0,99999 (la recta és excel·lent). Amb els dos punts extrems s'obté pràcticament el mateix pendent: $m = \dfrac{1{,}82 - 0{,}14}{(9{,}60 - 5{,}49)\cdot10^{14}} = 4{,}09\cdot10^{-15}\ \text{V}\cdot\text{s}$
Constant de Planck. El pendent és $h/e$ , així que cal multiplicar per la càrrega de l'electró: $h = e\,m = 1{,}602\cdot10^{-19}\cdot 4{,}09\cdot10^{-15} = 6{,}55\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$
Treball d'extracció. $W_{0} = -e\,b$ ; en electronvolts, $W_{0} = 2{,}10\ \text{eV}$ .
Freqüència i longitud d'ona llindar. $f_{0} = -\dfrac{b}{m} = \dfrac{2{,}105}{4{,}089\cdot10^{-15}} = 5{,}15\cdot10^{14}\ \text{Hz},\qquad \lambda_{0} = \dfrac{c}{f_{0}} = \dfrac{3{,}00\cdot10^{8}}{5{,}15\cdot10^{14}} = 5{,}83\cdot10^{-7}\ \text{m} = 583\ \text{nm}$
Interpretació. 583 nm és llum groga-taronja: amb llum vermella no hi hauria efecte fotoelèctric.

Apartat c)

Resultat

Error relatiu

\approx 1{,}1\ \%

; el càtode és molt probablement de cesi (2,14 eV).

Resolució

Error relatiu. $\varepsilon = \dfrac{|6{,}55 - 6{,}626|}{6{,}626} = 0{,}011 = 1{,}1\ \%$ molt bo per a una pràctica escolar.
Identificació del metall. El treball d'extracció obtingut, 2,10 eV, és el més proper al del cesi (2,14 eV); el potassi i el sodi queden més lluny i el calci (2,87 eV) queda descartat.
Comentari. Els fotocàtodes de cesi (o d'aliatges de cesi) són justament els que s'utilitzen perquè responen a la llum visible.

Apartat d)

Resultat

No té sentit:

V_{0}

depèn només de la freqüència i del metall, no de la intensitat; una llum més intensa només augmenta el corrent.

Resolució

Equació d'Einstein. $V_{0} = (h f - W_{0})/e$ depèn només de la freqüència de la llum i del metall, no de la intensitat.
Què fa la intensitat. Una làmpada més intensa envia més fotons per segon i, per tant, augmenta el corrent fotoelèctric (cosa que pot ajudar a detectar millor el punt on s'anul·la), però no canvia el potencial de frenada.
Com reduir l'error. Per exemple, mesurant més freqüències ben repartides o millorant la determinació del punt on el corrent s'anul·la.

Errors típics

Prendre el pendent de la recta directament com a h, sense multiplicar per e (s'obtindria un valor 10¹⁹ vegades massa gran).
Barrejar unitats: comparar W₀ en joules amb una taula en electronvolts.
Pensar que la intensitat de la llum augmenta l'energia cinètica màxima dels electrons (és la idea clàssica que l'efecte fotoelèctric va refutar).
Donar h amb més xifres significatives de les que permeten les dades (tres xifres és el màxim raonable).

Conceptes treballats: efecte fotoelèctric i equació d'Einstein, potencial de frenada, freqüència i longitud d'ona llindar, linealització i regressió lineal, error relatiu.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

A la unitat de medicina nuclear d'un hospital es vol comprovar quin isòtop conté un vial de radiofàrmac per a PET. Es col·loca una mostra davant d'un detector de radiació i s'obtenen aquestes taxes de recompte R (comptes per minut, cpm):
t (min): 0 · 30 · 60 · 90 · 120 · 180 · 240
R (cpm): 2440 · 2032 · 1680 · 1398 · 1170 · 808 · 572
Sense la mostra, el comptador registra un fons de 40 cpm (radiació ambiental i còsmica).
a) Raona per què la gràfica de ln R en funció de t hauria de ser una recta i què en representa el pendent.
b) Un alumne fa la regressió de ln R en funció de t amb les dades tal com surten del comptador. Quin període de semidesintegració obté?
c) Repeteix-ho restant abans el fons a cada mesura. Quin dels dos valors és el correcte? Explica per què l'altre surt sistemàticament més gran.
d) Identifica l'isòtop amb la taula. Si a un pacient se li injecten 370 MBq a les 8:00 i l'exploració es fa a les 9:00, quina activitat queda a l'hora de l'exploració (sense tenir en compte l'eliminació biològica)? Quant de temps ha de passar perquè quedi menys de l'1 % de l'activitat injectada?
Dades: períodes de semidesintegració: carboni-11, 20,4 min; nitrogen-13, 9,97 min; oxigen-15, 2,04 min; fluor-18, 109,8 min.

Pista 1

La taxa de recompte deguda a la mostra és proporcional a la seva activitat. Pensa què passa si prens logaritmes a la llei de desintegració exponencial.

Pista 2

El comptador suma dues contribucions: la de la mostra, que decau, i la del fons, que és constant. Quina de les dues pesa més a les mesures finals?

Pista 3

Del pendent de la recta en treus la constant de desintegració λ, i T_{$\tfrac{1}{2}$} = $\tfrac{\ln 2}{\lambda}$ . Per a l'apartat d), l'1 % vol dir $\tfrac{A}{A_{0}} = 0{,}01$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

Com que

R_{\text{net}} \propto A = A_{0}e^{-\lambda t}

\ln R_{\text{net}} = \ln R_{0} - \lambda t

: una recta de pendent

-\lambda

Resolució

Llei de desintegració. L'activitat segueix $A = A_{0}e^{-\lambda t}$ , i el recompte net és proporcional a l'activitat (el comptador detecta sempre la mateixa fracció de les desintegracions).
Linealització. Prenent logaritmes: $\ln R_{\text{net}} = \ln R_{0} - \lambda t$ una recta de pendent $-\lambda$ .
Període. El període de semidesintegració s'obté amb $T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ .

Apartat b)

Resultat

T_{1/2} \approx 114\ \text{min}

(pendent

-6{,}06\cdot10^{-3}\ \text{min}^{-1}

Resolució

Regressió amb les dades brutes. La regressió de ln R en funció de t dona un pendent de $-6{,}06\cdot10^{-3}\ \text{min}^{-1}$ .
Període. $T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{6{,}06\cdot10^{-3}} = 114\ \text{min}$

Apartat c)

Resultat

Restant el fons:

T_{1/2} \approx 110\ \text{min}

, que és el correcte. Sense restar-lo surt més gran perquè el fons constant pesa cada cop més i fa que la mostra sembli decaure més a poc a poc.

Resolució

Dades netes. Restant 40 cpm a cada mesura: 2400, 1992, 1640, 1358, 1130, 768 i 532 cpm.
Regressió. El pendent passa a ser $-6{,}29\cdot10^{-3}\ \text{min}^{-1}$ i $T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{6{,}29\cdot10^{-3}} = 110\ \text{min}$
Quin és el correcte. Aquest: la llei exponencial només la compleix la part del recompte que prové de la mostra.
Per què l'altre surt més gran. El fons és una quantitat constant que a les mesures inicials és insignificant (40 de 2440, un 1,6 %) però a les finals ja és el 7 % (40 de 572). Les últimes mesures semblen més altes del que haurien de ser, la mostra sembla decaure més lentament i el període surt sistemàticament més gran. A més, sense corregir, ln R no és exactament una recta (es corba cap amunt a temps llargs).
Tipus d'error. És un error sistemàtic: repetir les mesures no l'elimina, cal corregir-lo.

Apartat d)

Resultat

És fluor-18; a les 9:00 queden

\approx 254\ \text{MBq}

; per quedar menys de l'1 % calen

\approx 732\ \text{min} \approx 12{,}2\ \text{h}

Resolució

Identificació. El valor de 110 min coincideix amb el fluor-18 (109,8 min), l'isòtop de la fluorodesoxiglucosa que s'utilitza en la majoria d'exploracions PET.
Activitat al cap d'1 h. $A = 370\cdot e^{-6{,}29\cdot10^{-3}\cdot 60} = 370\cdot 0{,}686 = 254\ \text{MBq}$
Temps per quedar l'1 %. $e^{-\lambda t} = 0{,}01\ \Rightarrow\ t = \dfrac{\ln 100}{\lambda} = \dfrac{4{,}605}{6{,}29\cdot10^{-3}} = 732\ \text{min} \approx 12{,}2\ \text{h}$
Interpretació. Són unes 6,6 vegades el període de semidesintegració ( $\log_{2}100 = 6{,}64$ ): l'endemà al matí l'activitat residual del pacient és pràcticament nul·la, una de les raons per les quals aquests isòtops de vida curta són adequats per al diagnòstic.

Errors típics

No restar el fons de radiació, que introdueix un error sistemàtic que creix a mesura que la mostra decau.
Restar el fons després de prendre logaritmes (ln R − ln 40), que no té cap sentit físic.
Confondre λ amb T_1/2 o oblidar el factor ln 2.
Fer servir només dos punts quan es tenen set mesures: la regressió aprofita totes les dades i redueix l'efecte dels errors aleatoris.

Conceptes treballats: llei de desintegració radioactiva, constant de desintegració i període de semidesintegració, linealització logarítmica, errors sistemàtics (fons de radiació), aplicacions mèdiques (PET).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Una sonda espacial ha mesurat el radi de l'òrbita (gairebé circular) i el període de quatre llunes de Saturn:
Tetis: r = 2,95· $10^{8}$ m, T = 1,888 dies
Dione: r = 3,77· $10^{8}$ m, T = 2,737 dies
Rea: r = 5,27· $10^{8}$ m, T = 4,518 dies
Tità: r = 1,222· $10^{9}$ m, T = 15,95 dies
a) A partir de la llei de gravitació universal i de la dinàmica del moviment circular uniforme, dedueix la relació entre T i r. Raona per què la massa de cada lluna no hi apareix.
b) Per comprovar que les dades compleixen la tercera llei de Kepler sense suposar-ne la forma, representa log T en funció de log r. Quin pendent esperes? Quin n'obtens?
c) Representa $T^{2}$ en funció de $r^{3}$ , calcula'n el pendent i obtén la massa de Saturn.
d) Una altra lluna, Hiperió, orbita a 1,48· $10^{9}$ m. Prediu-ne el període en dies.
e) Raona per què no convé representar directament T en funció de r per obtenir la massa.
Dades: G = 6,67· $10^{-11}$ N· $\text{m}^{2}$ /kg²; 1 dia = 86 400 s.

Pista 1

Per a una òrbita circular, la força gravitatòria és la força centrípeta. Escriu la velocitat en funció del període.

Pista 2

Si T = K· $r^{n}$ , aleshores log T = log K + n·log r: el pendent de la gràfica logarítmica és l'exponent.

Pista 3

Abans de calcular el pendent de $T^{2}$ vs $r^{3}$ , passa els períodes a segons. El pendent val 4π²/(G·M).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{G M}\,r^{3}

; la massa de la lluna s'anul·la perquè apareix com a massa gravitatòria i com a massa inercial.

Resolució

Dinàmica. La força gravitatòria fa de força centrípeta: $\dfrac{G M m}{r^{2}} = m\,\dfrac{v^{2}}{r},\qquad v = \dfrac{2\pi r}{T}$
Simplificació. $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{G M}\,r^{3}$
Per què no hi és m. La massa de la lluna apareix als dos costats (com a massa gravitatòria a la força de Newton i com a massa inercial a la segona llei) i es cancel·la: totes les llunes, grans o petites, obeeixen la mateixa relació, que només depèn de la massa del planeta central.

Apartat b)

Resultat

S'espera pendent 1,5; s'obté

\approx 1{,}501

Resolució

Plantejament. Si $T = K r^{n}$ , aleshores $\log T = \log K + n\log r$ : el pendent de la gràfica log–log és l'exponent. Si $T \propto r^{3/2}$ , ha de ser una recta de pendent 1,5.
Dades. log r = 8,470; 8,576; 8,722; 9,087 i log T (T en segons) = 5,213; 5,374; 5,591; 6,139.
Regressió. Pendent d'1,501, amb un coeficient de correlació de 0,999999.
Conclusió. Les dades confirmen la tercera llei de Kepler sense haver-ne suposat la forma.

Apartat c)

Resultat

Pendent

k = 1{,}041\cdot10^{-15}\ \text{s}^{2}/\text{m}^{3}

;

M = 5{,}69\cdot10^{26}\ \text{kg}

(unes 95 masses terrestres).

Resolució

Unitats. Passem els períodes a segons. Per exemple, per a Tità: $T = 15{,}95\cdot 86\,400 = 1{,}378\cdot10^{6}\ \text{s}$ , $T^{2} = 1{,}899\cdot10^{12}\ \text{s}^{2}$ i $r^{3} = 1{,}825\cdot10^{27}\ \text{m}^{3}$ .
Regressió. La recta T²–r³ té pendent $k = 1{,}041\cdot10^{-15}\ \text{s}^{2}/\text{m}^{3}$ , amb ordenada pràcticament nul·la, com s'espera.
Massa de Saturn. $M = \dfrac{4\pi^{2}}{G\,k} = \dfrac{4\pi^{2}}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 1{,}041\cdot10^{-15}} = 5{,}69\cdot10^{26}\ \text{kg}$ unes 95 vegades la massa de la Terra.

Apartat d)

Resultat

T \approx 1{,}84\cdot10^{6}\ \text{s} = 21{,}3\ \text{dies}

Resolució

Tercera llei de Kepler. $T = \sqrt{k\,r^{3}} = \sqrt{1{,}041\cdot10^{-15}\cdot(1{,}48\cdot10^{9})^{3}} = 1{,}84\cdot10^{6}\ \text{s}$
En dies. $1{,}84\cdot10^{6}/86\,400 = 21{,}3$ dies.
Comprovació. El període real d'Hiperió és de 21,3 dies: el model funciona.

Apartat e)

Resultat

Perquè la relació T–r no és lineal: la gràfica T–r és una corba de la qual no es pot treure directament cap paràmetre.

Resolució

Problema. T és proporcional a $r^{3/2}$ : una gràfica de T vs r és una corba i no se'n pot treure directament cap paràmetre.
Avantatge de linealitzar. Representar T² vs r³ (o log–log) converteix la llei en una recta, permet comprovar visualment si les dades la compleixen (alineació, ordenada nul·la) i el pendent dona directament la magnitud física buscada aprofitant totes les mesures alhora.

Errors típics

Treballar amb els períodes en dies i el radi en metres: el pendent surt en unitats barrejades i la massa és errònia per un factor $86\,400^{2}$ .
Fer servir el radi del planeta, o l'altura sobre la superfície, en lloc del radi de l'òrbita mesurat des del centre de Saturn.
Pensar que les llunes més massives haurien de tenir períodes diferents a la mateixa distància.
Confondre el pendent de la gràfica logarítmica (adimensional, 1,5) amb el de $T^{2}$ vs $r^{3}$ .

Conceptes treballats: llei de gravitació universal, satèl·lits en òrbita circular, tercera llei de Kepler, linealització ( $T^{2}$ – $r^{3}$ i log–log), determinació de masses planetàries.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Per mesurar la component horitzontal del camp magnètic terrestre, $B_{h}$ , uns alumnes col·loquen una brúixola sobre una taula horitzontal a 4,0 cm d'un fil conductor vertical i molt llarg. Sense corrent, l'agulla assenyala el nord; la brúixola s'ha col·locat de manera que el camp creat pel fil, al lloc de la brúixola, sigui horitzontal i perpendicular a la direcció nord–sud. Fan circular diversos corrents I pel fil i mesuren l'angle θ que es desvia l'agulla:
I (A): 0,5 · 1,0 · 2,0 · 3,0 · 4,0 · 5,0
θ (°): 6 · 12 · 23 · 33 · 40 · 47
a) Fes un esquema dels camps i raona per què tg θ = $\tfrac{B_{\mathrm{fil}}}{B_{h}}$ . Per què és important que el camp del fil sigui perpendicular a la direcció nord–sud?
b) Un alumne representa θ en funció de I i diu que «no surt una recta». Té raó? Quina gràfica s'ha de fer?
c) Fes la regressió adequada i calcula $B_{h}$ amb la seva incertesa.
d) A Vic, el camp magnètic terrestre forma un angle de 55° amb l'horitzontal (inclinació magnètica). Calcula el mòdul del camp total i raona per què la brúixola no detecta la component vertical.
e) Indica dues fonts d'error sistemàtic que podrien afectar l'experiment i com les evitaries.
Dades: $μ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A.

Pista 1

L'agulla s'alinea amb el camp total al seu lloc, que és la suma vectorial de dos camps perpendiculars.

Pista 2

Si $B_{\mathrm{fil}}$ és proporcional a I, quina funció de l'angle és proporcional a I?

Pista 3

El pendent de la gràfica tg θ – I val $\tfrac{\mu_{0}}{(2\pi \cdot d\cdot B_{h})}$ . Fixa't si l'ordenada a l'origen surt pràcticament nul·la.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

L'agulla s'alinea amb el camp total

\vec B_{h} + \vec B_{\text{fil}}

; com que són perpendiculars,

\operatorname{tg}\theta = B_{\text{fil}}/B_{h}

. Si no fossin perpendiculars, part del camp del fil se sumaria o restaria a

B_{h}

Resolució

Esquema. L'agulla s'orienta segons el camp total horitzontal, $\vec B_{h} + \vec B_{\text{fil}}$ : $\vec B_{h}$ apunta al nord i $\vec B_{\text{fil}}$ , cap a l'est o l'oest.
Triangle rectangle. Com que els dos vectors són perpendiculars, el costat adjacent a θ (mesurat des del nord) és $B_{h}$ i l'oposat és $B_{\text{fil}}$ : $\operatorname{tg}\theta = \dfrac{B_{\text{fil}}}{B_{h}},\qquad B_{\text{fil}} = \dfrac{\mu_{0} I}{2\pi d}$
Per què perpendicular. Si el camp del fil no fos perpendicular al nord–sud, una part se sumaria o restaria a $B_{h}$ i la relació deixaria de ser tan simple (fins i tot l'agulla podria no desviar-se, si el camp del fil fos paral·lel a $B_{h}$ ).

Apartat b)

Resultat

Té raó: θ no és proporcional a I, ho és

\operatorname{tg}\theta

. Cal representar

\operatorname{tg}\theta

en funció de I.

Resolució

Model. $\operatorname{tg}\theta = \dfrac{\mu_{0}}{2\pi d B_{h}}\,I$ : el que és proporcional a I és tg θ, no θ.
Dades. Per a corrents petits tg θ ≈ θ i sembla lineal, però a 5 A ja es nota: θ/I passa de 12 °/A a 9,4 °/A. No és cap problema de les dades.
Gràfica correcta. tg θ en funció de I, que ha de ser una recta per l'origen de pendent $\mu_{0}/(2\pi d B_{h})$ .

Apartat c)

Resultat

B_{h} = (2{,}34 \pm 0{,}03)\cdot10^{-5}\ \text{T}

Resolució

Valors de tg θ. 0,105; 0,213; 0,424; 0,649; 0,839; 1,072.
Regressió. Pendent $m = 0{,}2136\ \text{A}^{-1}$ (incertesa del pendent 0,0023 A⁻¹) i ordenada −0,001, compatible amb zero, com s'espera.
Càlcul de B_h. $B_{h} = \dfrac{\mu_{0}}{2\pi d\,m} = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}}{2\pi\cdot 0{,}040\cdot 0{,}2136} = 2{,}34\cdot10^{-5}\ \text{T}$
Incertesa. La incertesa relativa del pendent (0,0023/0,2136 = 1,1 %) es transmet a $B_{h}$ : $\Delta B_{h} = 0{,}03\cdot10^{-5}\ \text{T}$ . Resultat: $B_{h} = (2{,}34 \pm 0{,}03)\cdot10^{-5}\ \text{T}$ .

Apartat d)

Resultat

B = B_{h}/\cos 55^{\circ} = 4{,}08\cdot10^{-5}\ \text{T}

; la brúixola només gira en un pla horitzontal, i la component vertical només tendeix a inclinar-la.

Resolució

Camp total. La component horitzontal és $B\cos 55^{\circ}$ : $B = \dfrac{B_{h}}{\cos 55^{\circ}} = \dfrac{2{,}34\cdot10^{-5}}{0{,}574} = 4{,}08\cdot10^{-5}\ \text{T}$
Per què no veu la component vertical. Una brúixola només pot girar en un pla horitzontal (el seu eix és vertical): el parell que la fa girar el produeix només la component del camp en aquest pla. La component vertical tendeix a inclinar l'agulla, cosa que el suport impedeix.

Apartat e)

Resultat

Per exemple: camps dels cables d'alimentació i objectes de ferro o aparells propers; també errors en d o en el zero de l'escala.

Resolució

Cables d'alimentació. Si passen a prop de la brúixola, hi creen un camp addicional: cal allunyar-los i fer-los anar junts, perquè els seus camps s'anul·lin.
Objectes magnètics. Ferro, imants, mòbils o altres corrents a prop alteren el camp local: cal treballar lluny de taules metàl·liques i aparells.
Geometria i zero. Un error en la distància d o en el zero de l'escala angular: es pot invertir el sentit del corrent i fer la mitjana de les dues desviacions.

Errors típics

Representar θ en comptes de tg θ i obtenir un pendent que depèn del rang de corrents utilitzat.
Fer servir el diàmetre de la brúixola o una distància en cm sense passar-la a metres a B = μ₀ $\tfrac{I}{(2\pi d)}$ .
Calcular B_h amb la calculadora en radians quan els angles són en graus.
Confondre la component horitzontal amb el camp total: la brúixola només en mesura la component horitzontal.

Conceptes treballats: camp magnètic creat per un fil rectilini, superposició vectorial de camps, camp magnètic terrestre i inclinació, linealització (tg θ vs I), incertesa del pendent, errors sistemàtics.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Un celler del Bages vol saber el contingut de sucre del most a partir del seu índex de refracció. Primer es calibra el mètode amb dissolucions de sacarosa de concentració coneguda (c, en % en massa):
c (%): 0 · 10 · 20 · 30
n: 1,3330 · 1,3478 · 1,3639 · 1,3811
a) Ajusta les dades a una recta n = n₀ + k·c i interpreta el significat de n₀.
b) Es posa most en un recipient semicircular transparent de paret prima i s'hi fa incidir un làser des de l'aire per la cara plana, amb un angle d'incidència de 50,0°. L'angle de refracció mesurat amb un transportador és de 34,1° (±0,5°). Calcula l'índex de refracció del most i la seva concentració de sucre.
c) Demostra que la incertesa de n deguda a l'angle de refracció és Δn = n·Δr/tg r (Δr en radians) i calcula-la, juntament amb la incertesa de la concentració. Considera només la incertesa de r. És un mètode útil per al celler?
d) Els refractòmetres comercials mesuren l'angle límit entre un prisma de vidre d'índex 1,720 i la mostra, amb una precisió de 0,1°. Calcula l'angle límit per a aquest most i la incertesa de la concentració que s'obtindria. Per què aquest mètode és molt millor?

Pista 1

Per a l'apartat b), aplica la llei de Snell amb n_aire = 1; després, inverteix la recta de calibratge per trobar c.

Pista 2

Deriva n = sin i/sin r respecte de r. Compara la incertesa de n amb el que canvia n quan la concentració augmenta un 1 %.

Pista 3

Hi ha reflexió total quan la llum passa del prisma (més refringent) a la mostra: sin θ_L = n_most/n_prisma. Propaga Δθ_L a n.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

n = 1{,}3324 + 1{,}604\cdot10^{-3}\,c

;

n_{0}

és l'índex de l'aigua pura.

Resolució

Regressió. Els quatre punts estan molt ben alineats. L'ajust dona $k = 1{,}604\cdot10^{-3}$ per cada 1 % i $n_{0} = 1{,}3324$ .
Interpretació. L'ordenada $n_{0}$ és l'índex de l'aigua pura (concentració zero), i coincideix pràcticament amb el valor mesurat, 1,3330.
Matís. Si s'hi afegís un punt del 40 % es veuria que la relació real es corba lleugerament; per això el calibratge s'ha de fer al rang de concentracions que interessa.

Apartat b)

Resultat

n = 1{,}366

;

c \approx 21\ \%

Resolució

Llei de Snell. $1\cdot\sin 50{,}0^{\circ} = n\sin 34{,}1^{\circ}\ \Rightarrow\ n = \dfrac{0{,}7660}{0{,}5606} = 1{,}366$
Concentració. Invertint la recta de calibratge: $c = \dfrac{n - n_{0}}{k} = \dfrac{1{,}3664 - 1{,}3324}{1{,}604\cdot10^{-3}} = 21\ \%$ un valor típic d'un most madur.

Apartat c)

Resultat

\Delta n \approx 0{,}018

\Delta c \approx 11\ \%

c = (21 \pm 11)\ \%

. El mètode no serveix per al celler.

Resolució

Derivada. De $n = \sin i/\sin r$ : $\left|\dfrac{dn}{dr}\right| = \dfrac{\sin i\,\cos r}{\sin^{2} r} = \dfrac{n}{\operatorname{tg} r}\ \Rightarrow\ \Delta n = \dfrac{n\,\Delta r}{\operatorname{tg} r}$
Càlcul. Amb $\Delta r = 0{,}5^{\circ} = 8{,}73\cdot10^{-3}\ \text{rad}$ : $\Delta n = \dfrac{1{,}366\cdot 8{,}73\cdot10^{-3}}{\operatorname{tg} 34{,}1^{\circ}} = \dfrac{1{,}366\cdot 8{,}73\cdot10^{-3}}{0{,}677} = 0{,}018$
Incertesa de c. $\Delta c = \Delta n/k = 0{,}018/1{,}604\cdot10^{-3} \approx 11\ \%$ . El resultat seria $c = (21 \pm 11)\ \%$ : la incertesa és de l'ordre de la mateixa mesura.
Valoració. Per al celler no serveix, perquè el que vol és distingir diferències d'un o dos punts de sucre. L'índex només canvia 0,0016 per cada 1 % de sucre, mentre que un error de mig grau al transportador ja produeix un canvi d'n deu vegades més gran.

Apartat d)

Resultat

\theta_{L} = 52{,}6^{\circ}

;

\Delta n \approx 1{,}8\cdot10^{-3}

\Delta c \approx 1\ \%

: unes deu vegades millor.

Resolució

Angle límit. La llum va del prisma (més refringent) cap al most: $\sin\theta_{L} = \dfrac{1{,}366}{1{,}720} = 0{,}7944\ \Rightarrow\ \theta_{L} = 52{,}6^{\circ}$
Propagació. Com que $n = 1{,}720\sin\theta_{L}$ : $\Delta n = 1{,}720\cos\theta_{L}\,\Delta\theta_{L} = 1{,}720\cdot 0{,}607\cdot 1{,}75\cdot10^{-3} = 1{,}8\cdot10^{-3}$
Incertesa de c. $\Delta c = 1{,}8\cdot10^{-3}/1{,}604\cdot10^{-3} \approx 1\ \%$ .
Per què és molt millor. La precisió millora unes deu vegades: l'angle límit es detecta com una frontera neta entre zona clara i fosca (que es pot mesurar amb molta precisió) i, a més, el factor $\cos\theta_{L}$ és petit. Per això tots els refractòmetres de laboratori i de vinya funcionen per reflexió total.

Errors típics

Expressar la incertesa de l'angle en graus en lloc de radians en propagar-la amb la derivada.
Donar n amb cinc decimals sense adonar-se que la incertesa ja afecta el segon.
Aplicar la condició d'angle límit en el sentit equivocat: només hi ha reflexió total quan la llum va del medi de més índex (el prisma) al de menys (el most).
Extrapolar la recta de calibratge fora del rang mesurat.

Conceptes treballats: refracció i llei de Snell, reflexió total i angle límit, recta de calibratge, propagació d'incerteses amb derivades, criteri d'idoneïtat d'un mètode de mesura.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Per mesurar la velocitat del so, s'introdueix verticalment un tub de vidre de 4,0 cm de diàmetre interior dins d'una proveta llarga plena d'aigua, de manera que la columna d'aire del tub queda tancada per la superfície de l'aigua. Per a cada diapasó, es puja el tub des de l'aigua fins a trobar la primera ressonància (el so es reforça clarament) i es mesura la longitud L de la columna d'aire:
f (Hz): 256 · 320 · 384 · 480 · 512
L (cm): 32,6 · 25,8 · 21,3 · 16,8 · 15,7
a) Raona per què, en la primera ressonància, la longitud d'ona compleix aproximadament λ = 4L. En realitat, el ventre de l'extrem obert es forma una mica fora del tub, a una distància e (correcció d'extrem): escriu la relació corregida.
b) Un alumne calcula v = 4·f·L per a cada diapasó. Fes-ho i interpreta la tendència que observes. És un error aleatori o sistemàtic?
c) Fes la gràfica adequada per obtenir alhora la velocitat del so i la correcció d'extrem. Compara e amb el valor teòric aproximat e ≈ 0,6·r (r, radi del tub).
d) Estima la temperatura del laboratori.
e) A quina longitud de columna s'hauria de trobar la segona ressonància amb el diapasó de 512 Hz?
Dades: velocitat del so en l'aire: v = 331,3· $\sqrt{\tfrac{T}{273{,}15}}$ m/s, amb T en kelvins.

Pista 1

En un tub tancat per un extrem hi ha d'haver un node a l'extrem tancat i un ventre a l'obert. Quina és la distància mínima entre un node i un ventre?

Pista 2

Amb la correcció, L + e = $\tfrac{\lambda}{4} = \tfrac{v}{4f}$ . Si e és constant, quina variable has de posar a l'eix x perquè L sigui lineal?

Pista 3

El pendent de L en funció de $\tfrac{1}{f}$ val $\tfrac{v}{4}$ i l'ordenada a l'origen, −e. Per a l'apartat e), el segon mode d'un tub tancat correspon a 3λ/4.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

Node a la superfície de l'aigua i ventre a la boca:

L = \lambda/4

, és a dir,

\lambda = 4L

. Amb la correcció d'extrem:

L + e = \dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{v}{4f}

Resolució

Extrem tancat. A la superfície de l'aigua l'aire no es pot desplaçar: hi ha un node de desplaçament.
Extrem obert. A la boca del tub l'aire vibra lliurement: hi ha un ventre.
Primera ressonància. El cas més senzill és el d'un sol node i un sol ventre, separats $\lambda/4$ ; per tant, $\lambda = 4L$ .
Correcció d'extrem. Com que el ventre es forma una distància e fora del tub, la longitud efectiva és L + e: $L + e = \dfrac{\lambda}{4} = \dfrac{v}{4f}$

Apartat b)

Resultat

4fL

= 334 · 330 · 327 · 323 · 322 m/s: baixa de manera regular amb f, cosa que indica un error sistemàtic (ignorar e).

Resolució

Càlcul. $v = 4fL$ : 334 · 330 · 327 · 323 · 322 m/s.
Tendència. Els valors disminueixen de manera clara i regular quan augmenta la freqüència: no és una dispersió a l'atzar sinó una tendència, signe d'un error sistemàtic.
Causa. Es deu a ignorar e: com que $L = \dfrac{v}{4f} - e$ , la correcció és la mateixa en tots els casos però pesa més en relatiu com més curt és el tub (freqüències altes), i 4fL surt més petit que v.
Error típic. Fer la mitjana dels valors de 4fL: quan l'error és sistemàtic, fer la mitjana no el corregeix.

Apartat c)

Resultat

Gràfica L–(1/f): pendent

86{,}55\ \text{m/s}

, ordenada

-0{,}0123\ \text{m}

;

v = 346\ \text{m/s}

e = 1{,}2\ \text{cm}

, igual que

0{,}6\,r = 1{,}2\ \text{cm}

Resolució

Linealització. Representem L en funció de 1/f: $L = \dfrac{v}{4}\cdot\dfrac{1}{f} - e$ una recta de pendent $v/4$ i ordenada $-e$ .
Regressió. Pendent $86{,}55\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ i ordenada $-0{,}0123\ \text{m}$ .
Resultats. $v = 4\cdot 86{,}55 = 346\ \text{m/s}$ i $e = 1{,}2\ \text{cm}$ (la correcció d'extrem ha de sortir positiva: compte amb el signe de l'ordenada).
Comparació. Valor teòric: $e \approx 0{,}6\cdot 2{,}0\ \text{cm} = 1{,}2\ \text{cm}$ . Coincideixen, cosa que confirma que la tendència de l'apartat b) era deguda a la correcció d'extrem.

Apartat d)

Resultat

T \approx 298\ \text{K}

, és a dir, uns

25\ ^{\circ}\text{C}

Resolució

Fórmula. Aïllant T de $v = 331{,}3\sqrt{T/273{,}15}$ : $T = 273{,}15\left(\dfrac{v}{331{,}3}\right)^{2} = 273{,}15\left(\dfrac{346}{331{,}3}\right)^{2} \approx 298\ \text{K}$
Interpretació. Uns 25 °C, una temperatura raonable per a un laboratori a l'estiu o amb calefacció.

Apartat e)

Resultat

L_{2} \approx 0{,}495\ \text{m} = 49{,}5\ \text{cm}

Resolució

Segon mode. La segona ressonància d'un tub tancat correspon a $L_{2} + e = 3\lambda/4$ .
Càlcul. $L_{2} = \dfrac{3\cdot 346}{4\cdot 512} - 0{,}012 = 0{,}507 - 0{,}012 = 0{,}495\ \text{m} \approx 49{,}5\ \text{cm}$
Comentari. La diferència entre les dues ressonàncies, $L_{2} - L_{1} = \lambda/2$ , no depèn de e: és una altra manera d'eliminar l'error sistemàtic.

Errors típics

Suposar que en un tub tancat per un extrem la primera ressonància és a L = $\tfrac{\lambda}{2}$ (seria un tub obert pels dos extrems).
Fer la mitjana dels valors de 4fL: quan l'error és sistemàtic, fer la mitjana no el corregeix.
Representar L en funció de f (una hipèrbola) i intentar treure'n un pendent.
Oblidar el canvi de signe: l'ordenada a l'origen és −e, i la correcció d'extrem ha de sortir positiva.

Conceptes treballats: ones estacionàries en tubs, nodes i ventres, velocitat del so i temperatura, linealització (L vs $\tfrac{1}{f}$ ), detecció i correcció d'errors sistemàtics.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

En un tub de raig filiforme, els electrons s'acceleren des del repòs amb una diferència de potencial V i entren perpendicularment en el camp magnètic uniforme creat per unes bobines de Helmholtz, B = (8,0 ± 0,2)·10⁻⁴ T. El gas que conté el tub fa visible la trajectòria circular dels electrons, i se'n mesura el radi r:
V (V): 150 · 200 · 250 · 300 · 350
r (cm): 5,20 · 6,05 · 6,71 · 7,38 · 7,96
a) Combinant la conservació de l'energia al camp elèctric i la força de Lorentz, demostra que r² = (2/((e/m)·B²))·V.
b) Fes la gràfica adequada i, a partir del pendent, calcula la relació e/m de l'electró.
c) Estima la incertesa de e/m tenint en compte la incertesa del pendent (aproximadament l'1 %) i la de B. Quina de les dues domina? És compatible amb el valor acceptat?
d) Comprova que no cal tenir en compte la relativitat: calcula la velocitat dels electrons per a V = 250 V.
e) Raona què passaria amb la trajectòria si s'invertís el sentit del corrent de les bobines, i si els electrons no entressin perpendicularment al camp.
Dades: e/m acceptat = 1,759·10¹¹ C/kg; c = 3,00·10⁸ m/s.

Pista 1

L'energia cinètica que guanya l'electró és e·V. Dins del camp magnètic, la força de Lorentz fa de força centrípeta.

Pista 2

Elimina la velocitat entre les dues equacions. La gràfica lineal és r² en funció de V.

Pista 3

Com que e/m = 2/(pendent·B²), l'error relatiu de B compta dues vegades.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

r^{2} = \dfrac{2}{(e/m)\,B^{2}}\,V

Resolució

Acceleració (conservació de l'energia). $e V = \tfrac{1}{2}m v^{2}\ \Rightarrow\ v = \sqrt{2\,(e/m)\,V}$
Força de Lorentz com a força centrípeta. Com que és perpendicular a la velocitat: $e v B = \dfrac{m v^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r = \dfrac{v}{(e/m)\,B}$
Eliminem v. Elevant al quadrat i substituint v²: $r^{2} = \dfrac{2\,(e/m)\,V}{(e/m)^{2}B^{2}} = \dfrac{2}{(e/m)\,B^{2}}\,V$

Apartat b)

Resultat

Gràfica r²–V: pendent

1{,}810\cdot10^{-5}\ \text{m}^{2}/\text{V}

;

e/m = 1{,}73\cdot10^{11}\ \text{C/kg}

Resolució

Valors de r². $2{,}704\cdot10^{-3}$ ; $3{,}660\cdot10^{-3}$ ; $4{,}502\cdot10^{-3}$ ; $5{,}446\cdot10^{-3}$ ; $6{,}336\cdot10^{-3}\ \text{m}^{2}$ (compte: el radi en metres, no el diàmetre).
Regressió. Pendent $1{,}810\cdot10^{-5}\ \text{m}^{2}/\text{V}$ , amb una ordenada molt petita ( $5\cdot10^{-6}\ \text{m}^{2}$ ), compatible amb zero.
Càrrega específica. $\dfrac{e}{m} = \dfrac{2}{p\,B^{2}} = \dfrac{2}{1{,}810\cdot10^{-5}\cdot(8{,}0\cdot10^{-4})^{2}} = 1{,}73\cdot10^{11}\ \text{C/kg}$

Apartat c)

Resultat

e/m = (1{,}73 \pm 0{,}10)\cdot10^{11}\ \text{C/kg}

; domina la incertesa de B; és compatible amb el valor acceptat.

Resolució

Error relatiu. Com que B surt al quadrat, el seu error relatiu compta dues vegades: $\varepsilon(e/m) = \varepsilon(p) + 2\,\varepsilon(B) = 0{,}01 + 2\cdot\dfrac{0{,}2}{8{,}0} = 0{,}01 + 0{,}05 = 0{,}06$
Incertesa absoluta. $\Delta(e/m) = 0{,}06\cdot 1{,}73\cdot10^{11} \approx 0{,}10\cdot10^{11}\ \text{C/kg}$ . Resultat: $e/m = (1{,}73 \pm 0{,}10)\cdot10^{11}\ \text{C/kg}$ .
Quina domina. Clarament la del camp magnètic (5 % davant de l'1 %), perquè hi apareix al quadrat. Per millorar l'experiment caldria, sobretot, mesurar B amb més precisió.
Compatibilitat. L'interval [1,63; 1,83]·10¹¹ C/kg conté el valor acceptat (1,759·10¹¹ C/kg): el resultat és compatible.

Apartat d)

Resultat

v \approx 9{,}4\cdot10^{6}\ \text{m/s}

, un 3 % de c: els efectes relativistes (

\sim 0{,}1\ \%

) són negligibles.

Resolució

Velocitat. $v = \sqrt{2\cdot 1{,}759\cdot10^{11}\cdot 250} = 9{,}4\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ un 3 % de la velocitat de la llum.
Conclusió. Els efectes relativistes són de l'ordre de $v^{2}/c^{2} \approx 0{,}1\ \%$ , molt per sota de la incertesa experimental (6 %): la mecànica clàssica és adequada.

Apartat e)

Resultat

Invertint el corrent, el feix descriu un cercle del mateix radi però girant en sentit contrari; si la velocitat no és perpendicular a B, la trajectòria és una hèlice i e/m sortiria erroni.

Resolució

Corrent invertit. S'inverteix B i, amb ell, el sentit de la força de Lorentz: el feix descriu un cercle del mateix radi però girant en sentit contrari (cap a l'altre costat del tub).
Entrada no perpendicular. La component de la velocitat paral·lela a B no es veu afectada i la trajectòria és una hèlice; el radi mesurat correspondria només a la component perpendicular de la velocitat i el valor de e/m sortiria erroni.

Errors típics

Mesurar el diàmetre del cercle i fer servir aquest valor com a radi.
Representar r en funció de V (no és lineal) o r en funció de √V sense comprovar que l'ordenada sigui nul·la.
Oblidar que, com que B surt al quadrat, el seu error relatiu es duplica en el resultat.
Fer servir la massa del protó o la càrrega amb el signe i obtenir radis o sentits de gir incorrectes.

Conceptes treballats: moviment de càrregues en camps elèctrics i magnètics, força de Lorentz, conservació de l'energia, linealització, propagació d'errors relatius, límit clàssic de la relativitat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Per comprovar la llei de l'invers del quadrat, uns alumnes surten al camp de futbol (on gairebé no hi ha reflexions) amb un altaveu petit que emet un to constant i un sonòmetre. Mesuren el nivell d'intensitat sonora β a diferents distàncies d, mesurades des de la reixeta frontal de l'altaveu:
d (m): 0,20 · 0,40 · 0,80 · 1,60 · 3,20
β (dB): 96,5 · 92,0 · 87,0 · 81,3 · 75,5
a) Si l'altaveu es comporta com una font puntual, quants decibels hauria de baixar el nivell cada vegada que es duplica la distància? Compara-ho amb les dades i interpreta el que observes.
b) Un alumne suggereix que la font efectiva és una distància $d_{0}$ per darrere de la reixeta. Demostra que, en aquest cas, $\tfrac{1}{\sqrt{I}}$ = $\sqrt{\tfrac{4\pi}{P}}$ ·(d + $d_{0}$ ), on P és la potència sonora. Fes la gràfica corresponent i calcula $d_{0}$ i P.
c) Raona per què l'error en l'origen de distàncies afecta molt les mesures properes i gairebé gens les llunyanes.
d) A quina distància de l'altaveu el nivell seria de 60 dB? Indica quina hipòtesi fas.
Dades: $I_{0}$ = 1,0· $10^{-12}$ $\text{W/m}^{2}$ .

Pista 1

Si I ∝ $\tfrac{1}{d^{2}}$ , duplicar la distància divideix la intensitat per 4. Quants dB són 10·log 4?

Pista 2

Passa cada nivell a intensitat amb I = $I_{0}$ ·10^{$\tfrac{\beta}{10}$}. Si I = P/(4π· $(d + d_{0})^{2}$ ), aïlla d + $d_{0}$ .

Pista 3

A la gràfica $\tfrac{1}{\sqrt{I}}$ vs d, el pendent és $\sqrt{\tfrac{4\pi}{P}}$ i l'ordenada a l'origen és el pendent multiplicat per $d_{0}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

Hauria de baixar

10\log 4 = 6{,}0\ \text{dB}

; les dades baixen 4,5; 5,0; 5,7 i 5,8 dB: s'acosten a 6 dB lluny, però a prop la discrepància és sistemàtica.

Resolució

Font puntual. $I = \dfrac{P}{4\pi d^{2}}$ : si d es duplica, I es divideix per 4 i el nivell baixa $\Delta\beta = 10\log 4 = 6{,}0\ \text{dB}$
Dades. Les baixades successives són 4,5; 5,0; 5,7 i 5,8 dB: s'acosten a 6 dB a distàncies grans però són clarament més petites a prop de l'altaveu.
Interpretació. Les dades no compleixen exactament la llei si mesurem d des de la reixeta. Com que la discrepància és sistemàtica (sempre del mateix signe i més gran a prop), no és un error aleatori del sonòmetre.

Apartat b)

Resultat

Recta

1/\sqrt{I}

–d: pendent

51{,}0

, ordenada

4{,}47

;

d_{0} \approx 0{,}088\ \text{m} \approx 9\ \text{cm}

P \approx 4{,}8\cdot10^{-3}\ \text{W}

Resolució

Demostració. Si la distància real a la font és d + d₀: $I = \dfrac{P}{4\pi(d + d_{0})^{2}}\ \Rightarrow\ (d + d_{0})^{2} = \dfrac{P}{4\pi I}\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{\sqrt{I}} = \sqrt{\dfrac{4\pi}{P}}\,(d + d_{0})$ una recta en funció de d.
Intensitats. Amb $I = I_{0}\cdot10^{\beta/10}$ : $4{,}47\cdot10^{-3}$ ; $1{,}58\cdot10^{-3}$ ; $5{,}01\cdot10^{-4}$ ; $1{,}35\cdot10^{-4}$ ; $3{,}55\cdot10^{-5}\ \text{W/m}^{2}$ , i $1/\sqrt{I}$ = 15,0; 25,1; 44,7; 86,1; 167,9 $(\text{W/m}^{2})^{-1/2}$ .
Regressió. Pendent $m = 51{,}0\ (\text{W/m}^{2})^{-1/2}\,\text{m}^{-1}$ i ordenada $b = 4{,}47\ (\text{W/m}^{2})^{-1/2}$ , amb r = 0,99998.
Distància d₀. L'ordenada és el pendent multiplicat per d₀: $d_{0} = b/m = 0{,}088\ \text{m} \approx 9\ \text{cm}$ . La membrana de l'altaveu és uns centímetres per darrere de la reixeta, cosa raonable.
Potència. $P = \dfrac{4\pi}{m^{2}} = \dfrac{4\pi}{51{,}0^{2}} = 4{,}8\cdot10^{-3}\ \text{W}$ Un altaveu petit converteix en so només uns mil·liwatts.

Apartat c)

Resultat

L'error relatiu de distància és

d_{0}/d

: a 0,20 m és gairebé un 45 %, i a 3,20 m menys del 3 %; com que I depèn del quadrat de la distància, a prop l'efecte és enorme.

Resolució

Error relatiu. Mesurar des de la reixeta deixa fora d₀, i l'error relatiu de distància és $d_{0}/d$ : a 0,20 m, 9 cm és gairebé un 45 % de la distància, mentre que a 3,20 m és menys del 3 %.
Efecte sobre la intensitat. Com que la intensitat depèn del quadrat de la distància, a prop l'efecte és enorme i lluny és gairebé inapreciable.
Conclusió. Per això, si es mesura des de la reixeta, el nivell baixa menys del previst a curta distància.

Apartat d)

Resultat

d \approx 20\ \text{m}

, suposant camp lliure, sense absorció ni reflexions i emissió isòtropa.

Resolució

Intensitat a 60 dB. $I = 10^{-12}\cdot10^{6} = 1{,}0\cdot10^{-6}\ \text{W/m}^{2}$ .
Distància. $d = \sqrt{\dfrac{P}{4\pi I}} = \sqrt{\dfrac{4{,}8\cdot10^{-3}}{4\pi\cdot 1{,}0\cdot10^{-6}}} \approx 20\ \text{m}$ (a aquesta distància, els 9 cm de d₀ ja són negligibles).
Hipòtesis. Propagació en camp lliure, sense absorció de l'aire ni reflexions, i emissió isòtropa. En realitat un altaveu és direccional i hi ha soroll de fons, de manera que la distància real seria diferent.

Errors típics

Pensar que el nivell en dB és inversament proporcional a $d^{2}$ : el que ho és és la intensitat; el nivell baixa 6 dB per cada duplicació.
Sumar o fer mitjanes de decibels directament com si fossin intensitats.
Atribuir la desviació a errors aleatoris del sonòmetre quan és sistemàtica.
Oblidar passar les intensitats de dB a $\text{W/m}^{2}$ abans de linealitzar.

Conceptes treballats: intensitat i nivell d'intensitat sonora, llei de l'invers del quadrat, linealització amb canvi de variable, error sistemàtic en l'origen de mesura, potència d'una font.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Per estudiar la llei de Faraday, uns alumnes deixen caure un imant petit, sempre amb la mateixa orientació, des de diferents altures h per sobre de la boca d'una bobina vertical de 400 espires connectada a un sensor de tensió. Mesuren el pic de força electromotriu $ε_{\mathrm{màx}}$ quan l'imant entra a la bobina:
h (m): 0,05 · 0,10 · 0,20 · 0,40 · 0,80
$ε_{\mathrm{màx}}$ (V): 0,21 · 0,29 · 0,42 · 0,59 · 0,84
a) Formulen la hipòtesi que $ε_{\mathrm{màx}}$ és proporcional a la velocitat de l'imant en entrar a la bobina. Justifica-la amb la llei de Faraday i dedueix quina dependència amb h hauria de tenir $ε_{\mathrm{màx}}$ (sense fregament).
b) Comprova la hipòtesi representant log $ε_{\mathrm{màx}}$ en funció de log h. Quin pendent obtens?
c) Calcula la velocitat d'entrada per a cada altura i obtén la constant k de la relació $ε_{\mathrm{màx}}$ = k·v. Prediu $ε_{\mathrm{màx}}$ si l'imant es deixa anar des de 1,25 m.
d) El registre mostra un segon pic quan l'imant surt per sota de la bobina, de signe contrari i més gran en valor absolut. Raona les dues coses.
e) Si es tanquen els extrems de la bobina amb una resistència molt petita, l'imant tarda més a travessar-la? Raona-ho energèticament.
Dades: g = 9,81 $\text{m/s}^{2}$ .

Pista 1

La força electromotriu és la rapidesa amb què canvia el flux. Si l'imant passa el doble de ràpid per la mateixa posició, com canvia dΦ/dt?

Pista 2

En caiguda lliure v = $\sqrt{2gh}$ . Per tant, si ε ∝ v, quin exponent de h esperes?

Pista 3

Pensa en el sentit del canvi de flux quan l'imant s'acosta i quan s'allunya, i en la velocitat de l'imant a la sortida.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

Per Faraday,

\varepsilon = -N\,\dfrac{d\Phi}{dx}\,v

: al pic,

d\Phi/dx

és sempre el mateix i

\varepsilon_{\text{màx}} \propto v = \sqrt{2gh}

, és a dir,

\varepsilon_{\text{màx}} \propto h^{1/2}

Resolució

Llei de Faraday. $\varepsilon = -N\,\dfrac{d\Phi}{dt}$ . El flux a través de la bobina depèn de la posició x de l'imant, Φ(x), de manera que $\dfrac{d\Phi}{dt} = \dfrac{d\Phi}{dx}\cdot v$
Proporcionalitat amb v. En una posició determinada (la del pic), dΦ/dx és sempre el mateix (mateix imant, mateixa orientació, mateixa bobina) i, per tant, $\varepsilon_{\text{màx}}$ és proporcional a v.
Dependència amb h. En caiguda lliure $v = \sqrt{2gh}$ , així que s'espera $\varepsilon_{\text{màx}} \propto h^{1/2}$ .

Apartat b)

Resultat

Pendent

\approx 0{,}50

: exactament l'exponent 1/2 previst.

Resolució

Plantejament. Si $\varepsilon = K h^{n}$ , $\log\varepsilon = \log K + n\log h$ : el pendent de la gràfica log–log és l'exponent.
Dades. log h = −1,301; −1,000; −0,699; −0,398; −0,097 i log ε = −0,678; −0,538; −0,377; −0,229; −0,076.
Regressió. Pendent de 0,50, amb r = 0,9998: exactament l'exponent 1/2 previst. La hipòtesi es confirma (no és una relació lineal amb h).

Apartat c)

Resultat

v = 0,99; 1,40; 1,98; 2,80; 3,96 m/s;

k \approx 0{,}21\ \text{V}\cdot\text{s/m}

; per a 1,25 m,

\varepsilon_{\text{màx}} \approx 1{,}05\ \text{V}

Resolució

Velocitats d'entrada. $v = \sqrt{2gh}$ = 0,99; 1,40; 1,98; 2,80; 3,96 m/s.
Constant k. La recta ε–v passa per l'origen (els quocients ε/v valen 0,21 en tots els casos) i el pendent, amb ajust per l'origen, és $k = 0{,}21\ \text{V}\cdot\text{s/m}$ .
Predicció. Per a h = 1,25 m: $v = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 1{,}25} = 4{,}95\ \text{m/s},\qquad \varepsilon_{\text{màx}} = 0{,}21\cdot 4{,}95 \approx 1{,}05\ \text{V}$

Apartat d)

Resultat

Signe contrari perquè el flux disminueix en sortir (llei de Lenz); més gran perquè l'imant surt més de pressa del que ha entrat.

Resolució

Signe. Quan l'imant entra, el flux a través de la bobina augmenta; quan surt, disminueix. dΦ/dt canvia de signe i, segons la llei de Lenz, el corrent induït circula en sentit contrari: el pic té signe oposat (no és cap error del sensor).
Valor. Mentre travessa la bobina, l'imant continua accelerant per la gravetat, de manera que surt més de pressa que no ha entrat; amb el mateix dΦ/dx i més velocitat, la f.e.m. és més gran.

Apartat e)

Resultat

Sí: el corrent induït frena l'imant (Lenz) i part de l'energia mecànica es dissipa per efecte Joule.

Resolució

Circuit obert. No circula corrent i no hi ha cap força magnètica sobre l'imant.
Circuit tancat amb R petita. Circula un corrent induït apreciable que, segons la llei de Lenz, crea un camp que s'oposa al moviment de l'imant: el frena en entrar i l'estira cap amunt en sortir.
Balanç energètic. Una part de l'energia potencial gravitatòria es transforma en energia elèctrica, que es dissipa per efecte Joule a la bobina, de manera que l'energia cinètica de l'imant és menor que en caiguda lliure i tarda més a travessar-la. L'energia elèctrica no «surt del no-res»: prové de l'energia mecànica de l'imant.
Aplicació. És el principi dels frens electromagnètics de trens i atraccions.

Errors típics

Pensar que la f.e.m. depèn de la posició de l'imant i no de la rapidesa amb què varia el flux.
Suposar que $ε_{\mathrm{màx}}$ ∝ h (lineal) sense fer la gràfica logarítmica.
Atribuir el signe contrari del segon pic a un error del sensor en lloc de la llei de Lenz.
Creure que l'energia elèctrica induïda «surt del no-res»: prové de l'energia mecànica de l'imant, que és frenat.

Conceptes treballats: llei de Faraday i llei de Lenz, flux magnètic, caiguda lliure i conservació de l'energia, linealització log–log, formulació i contrast d'hipòtesis, frenada electromagnètica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

A classe es vol trobar de quines magnituds depèn el període T d'un satèl·lit en òrbita circular sense fer servir la dinàmica, només amb l'anàlisi dimensional, i comprovar-ho després amb dades reals.
a) Suposa que T = C· $G^{a}$ · $M^{b}$ · $r^{c}$ , on C és una constant adimensional, M la massa de la Terra i r el radi de l'òrbita. Troba els exponents a, b i c.
b) Un alumne hi vol afegir la massa m del satèl·lit: T = C· $G^{a}$ · $M^{b}$ · $r^{c}$ · $m^{d}$ . Demostra que l'anàlisi dimensional no pot decidir si T depèn de m i explica quin argument físic ho resol.
c) L'Estació Espacial Internacional orbita amb r = (6,79 ± 0,005)· $10^{6}$ m i T = (92,8 ± 0,1) min. Calcula C amb la seva incertesa i comprova si és compatible amb el valor que prediu la teoria de Newton.
d) Fes servir el resultat per calcular l'altura sobre la superfície terrestre d'un satèl·lit geostacionari, el període del qual és d'un dia sideri.
Dades: unitats de G: $\text{m}^{3}$ ·kg⁻¹· $\text{s}^{-2}$ ; G· $M_{T}$ = 3,986· $10^{14}$ $\tfrac{m^{3}}{s^{2}}$ (conegut amb molta precisió); $R_{T}$ = 6,37· $10^{6}$ m; dia sideri = 86 164 s.

Pista 1

Escriu les dimensions de cada factor en funció de M (massa), L (longitud) i T (temps) i iguala els exponents dels dos costats.

Pista 2

Amb m, tens quatre incògnites i només tres equacions (una per cada dimensió). Pensa en el principi d'equivalència: com cau un objecte en un camp gravitatori segons la seva massa?

Pista 3

Per a l'apartat c), aïlla C = T· $\sqrt{\tfrac{G\cdot M}{r^{3}}}$ i suma els errors relatius (el de r compta $\tfrac{3}{2}$ vegades).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

a = -\tfrac{1}{2}

b = -\tfrac{1}{2}

c = \tfrac{3}{2}

T = C\,\dfrac{r^{3/2}}{\sqrt{G M}}

Resolució

Dimensions. [T] = s; [G] = m³·kg⁻¹·s⁻²; [M] = kg; [r] = m.
Igualem exponents. s: $1 = -2a \Rightarrow a = -1/2$ . m: $0 = 3a + c \Rightarrow c = 3/2$ . kg: $0 = -a + b \Rightarrow b = -1/2$ .
Resultat. $T = C\,\dfrac{r^{3/2}}{\sqrt{G M}}$ L'anàlisi dimensional ja reprodueix la tercera llei de Kepler ( $T^{2} \propto r^{3}$ ), però no pot donar el valor de C.

Apartat b)

Resultat

Amb m només s'obté

b + d = -\tfrac{1}{2}

(M i m tenen les mateixes dimensions); el principi d'equivalència fixa

d = 0

Resolució

Sistema. Amb la massa del satèl·lit, l'equació dels quilograms passa a ser $0 = -a + b + d$ , mentre que les dels segons i els metres no canvien. Queden $a = -1/2$ i $c = 3/2$ , però només $b + d = -1/2$ : quatre incògnites i tres equacions.
Per què no decideix. Qualsevol repartiment entre M i m és dimensionalment correcte (per exemple, $b = -1/2$ i $d = 0$ , o $b = 0$ i $d = -1/2$ ), perquè M i m tenen les mateixes dimensions.
Argument físic. El principi d'equivalència (igualtat de la massa inercial i la gravitatòria): l'acceleració d'un cos en un camp gravitatori no depèn de la seva massa, de manera que tots els satèl·lits a la mateixa distància tenen el mateix període i $d = 0$ .
Error típic. Concloure de l'anàlisi dimensional que «T no depèn de m»: l'anàlisi no ho pot decidir; ho decideix la física.

Apartat c)

Resultat

C = 6{,}28 \pm 0{,}01

, compatible amb el valor de Newton

C = 2\pi = 6{,}283

Resolució

Període en segons. $T = 92{,}8\cdot 60 = 5568\ \text{s}$ .
Càlcul de C. $C = T\sqrt{\dfrac{G M}{r^{3}}} = 5568\cdot\sqrt{\dfrac{3{,}986\cdot10^{14}}{(6{,}79\cdot10^{6})^{3}}} = 6{,}28$
Incertesa. L'error relatiu de r compta 3/2 vegades: $\varepsilon(C) = \varepsilon(T) + \tfrac{3}{2}\varepsilon(r) = \dfrac{0{,}1}{92{,}8} + 1{,}5\cdot\dfrac{0{,}005}{6{,}79} = 0{,}0011 + 0{,}0011 = 0{,}0022\ \Rightarrow\ \Delta C = 0{,}01$
Comparació amb Newton. Igualant força gravitatòria i força centrípeta, $T = 2\pi\sqrt{r^{3}/(G M)}$ , és a dir, $C = 2\pi = 6{,}283$ . El valor experimental, $C = 6{,}28 \pm 0{,}01$ , és perfectament compatible.

Apartat d)

Resultat

r = 4{,}22\cdot10^{7}\ \text{m}

; altura

h = 3{,}58\cdot10^{7}\ \text{m} \approx 35\,800\ \text{km}

Resolució

Radi de l'òrbita. Aïllant r de $T = C\,r^{3/2}/\sqrt{G M}$ : $r = \left(\dfrac{T\sqrt{G M}}{C}\right)^{2/3} = \left(\dfrac{86\,164\cdot\sqrt{3{,}986\cdot10^{14}}}{6{,}28}\right)^{2/3} = 4{,}22\cdot10^{7}\ \text{m}$
Altura sobre la superfície. $h = r - R_{T} = 4{,}22\cdot10^{7} - 6{,}37\cdot10^{6} = 3{,}58\cdot10^{7}\ \text{m} \approx 35\,800\ \text{km}$ .
Per què el dia sideri. Cal fer servir el dia sideri (el temps que tarda la Terra a girar 360° respecte de les estrelles), no les 24 h del dia solar.

Errors típics

Oblidar la dimensió de temps a G (s⁻²) i obtenir un sistema incompatible.
Concloure de l'anàlisi dimensional que «T no depèn de m»: l'anàlisi no ho pot decidir; ho decideix la física.
Fer servir l'altura de l'ISS (uns 420 km) en lloc del radi de l'òrbita mesurat des del centre de la Terra.
Propagar l'error de r amb coeficient 1 en lloc de 3/2.

Conceptes treballats: anàlisi dimensional, tercera llei de Kepler, principi d'equivalència, satèl·lits i òrbita geostacionària, propagació d'errors relatius, compatibilitat amb un valor teòric.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Per què es cronometren diverses oscil·lacions d'un pèndol en lloc d'una?

Perquè l'error de reacció en prémer el cronòmetre es reparteix entre totes les oscil·lacions. Dividint el temps total, el període surt molt més precís.

Un experiment pot demostrar una llei física?

No de manera definitiva. Pot confirmar-ne les prediccions dins de l'error experimental, però sempre podria aparèixer un cas que no la compleixi.

Tornar a Física