Exercicis de camp elèctric — Física 2n Batxillerat

Q: Quina diferència hi ha entre el camp elèctric i el potencial?

El camp és una magnitud vectorial que indica la força per unitat de càrrega. El potencial és escalar i indica l'energia potencial per unitat de càrrega. Els potencials se sumen sense vectors.

Q: Un protó i un electró dins del mateix camp tenen la mateixa acceleració?

No. Tenen la mateixa força en mòdul però en sentit contrari, i com que l'electró té molta menys massa, la seva acceleració és molt més gran.

Aquest tema estudia les interaccions entre càrregues, i té molts paral·lelismes amb el gravitatori. Els exercicis et fan raonar per què la força elèctrica pot ser atractiva o repulsiva i aplicar la llei de Coulomb. Després calcules el camp i el potencial creats per diverses càrregues, per exemple en un punt de l'eix entre dues càrregues o al centre d'un triangle equilàter, sumant vectors. També treballes el teorema de Gauss i el moviment de càrregues dins d'un camp uniforme, com un protó i un electró dins d'un condensador de plaques. Les solucions fan el dibuix vectorial. Errors típics: oblidar el signe de les càrregues i confondre la força amb l'acceleració.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Per què la força elèctrica pot ser atractiva o repulsiva, però la gravitatòria sempre és atractiva?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

Perquè la càrrega té dos signes (iguals es repel·leixen, contraris s'atrauen), mentre que la massa és sempre positiva i la gravetat només pot atraure.

Resolució

Què es demana. Explicar per què la interacció elèctrica pot ser atractiva o repulsiva i la gravitatòria, en canvi, només atractiva.
Càrrega elèctrica. La càrrega pot ser positiva o negativa: dues càrregues del mateix signe es repel·leixen i dues de signe contrari s'atrauen.
Massa. La massa, en canvi, és sempre positiva: no existeix «massa negativa» que pugui fer repulsiva la interacció gravitatòria.
Conclusió. El doble signe de la càrrega permet els dos sentits de la força elèctrica; amb un sol signe de massa, la gravetat només pot atraure.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Què és el flux elèctric a través d'una superfície?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

És la mesura de quant camp elèctric travessa una superfície; per a un camp uniforme i una superfície plana,

\Phi = E\cdot S\cdot\cos\theta

Resolució

Idea. El flux elèctric mesura quant camp elèctric (quantes línies de camp) travessa una superfície.
Camp uniforme i superfície plana. És el producte del camp per l'àrea i pel cosinus de l'angle entre el camp i la normal a la superfície: $\Phi = E\cdot S\cdot\cos\theta$
Casos límit. Si el camp és perpendicular a la superfície (paral·lel a la normal, θ = 0°) el flux és màxim; si és paral·lel a la superfície (θ = 90°), cap línia la travessa i el flux és zero.
Unitats. S'expressa en $\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Un protó i un electró són dins del mateix camp elèctric uniforme. Noten la mateixa força? I la mateixa acceleració?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Força: el mateix mòdul però sentit contrari. Acceleració: no; la de l'electró és unes 1836 vegades més gran.

Resolució

Dades. El protó i l'electró tenen càrregues de mateix valor absolut, $e$ , però de signe contrari; la massa del protó és unes 1836 vegades la de l'electró.
Força elèctrica. $\vec F = q\cdot\vec E$ : com que $|q| = e$ per a tots dos, la força té el mateix mòdul, $F = e\cdot E$ , però sentit contrari (el protó cap on apunta el camp i l'electró al revés).
Segona llei de Newton. $a = \dfrac{F}{m}$ : amb la mateixa força i una massa unes 1836 vegades més petita, l'electró s'accelera unes 1836 vegades més que el protó.
Conclusió. Mateixa força en mòdul (sentits oposats), però acceleracions molt diferents.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Una càrrega puntual Q = +2 µC es troba a l'origen. Calcula el camp elèctric que crea en un punt situat a 30 cm i la força que notaria una càrrega q = -3 nC col·locada en aquest punt, indicant-ne el sentit. k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

E = 2\cdot10^{5}\ \text{N/C}

, radial cap enfora;

F = 6\cdot10^{-4}\ \text{N}

, dirigida cap a Q (atractiva).

Resolució

Dades. $Q = +2\ \mu\text{C} = 2\cdot10^{-6}\ \text{C}$ , $r = 0{,}30\ \text{m}$ , $q = -3\ \text{nC} = -3\cdot10^{-9}\ \text{C}$ , $k = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$ .
Camp d'una càrrega puntual. $E = k\,\dfrac{Q}{r^{2}} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}}{0{,}30^{2}} = \dfrac{1{,}8\cdot10^{4}}{0{,}09} = 2\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ Com que Q és positiva, el camp és radial i apunta cap enfora.
Força sobre q. $F = |q|\cdot E = 3\cdot10^{-9}\cdot2\cdot10^{5} = 6\cdot10^{-4}\ \text{N}$ . Com que q és negativa, la força té sentit contrari al camp: apunta cap a Q (les càrregues de signe contrari s'atrauen).
Comprovació (llei de Coulomb). $F = k\,\dfrac{|Q\cdot q|}{r^{2}} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}\cdot3\cdot10^{-9}}{0{,}09} = 6\cdot10^{-4}\ \text{N}$
Recorda. El camp en un punt existeix encara que no hi posem cap càrrega de prova; només depèn de Q i de la distància.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Raona si és certa o falsa cada afirmació: a) «Si en un punt el camp elèctric és nul, el potencial elèctric també ho és.» b) «Si en un punt el potencial elèctric és nul, el camp elèctric també ho és.»

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Apartat a)

Resultat

Falsa. Al punt mitjà entre dues càrregues positives iguals,

E = 0

però

V = 2kq/d \neq 0

Resolució

Contraexemple. Considera dues càrregues positives iguals q i el punt mitjà entre elles, a una distància d de cadascuna.
Camp (vector). Els dos camps tenen el mateix mòdul i sentits oposats: el camp total és zero.
Potencial (escalar). És la suma de dos termes positius: $V = 2\cdot\dfrac{k\,q}{d} \neq 0$ .
Conclusió. Camp nul no implica potencial nul: l'afirmació és falsa.

Apartat b)

Resultat

Falsa. Al punt mitjà entre +q i −q,

V = 0

però els dos camps se sumen i

E \neq 0

Resolució

Contraexemple. Considera un dipol, +q i −q, i el punt mitjà entre totes dues càrregues.
Potencial. Els dos potencials són iguals i de signe contrari i es cancel·len: $V = 0$ .
Camp. Tots dos camps apunten en el mateix sentit (de la positiva cap a la negativa) i se sumen: el camp no és zero.
Idea clau. El camp és un vector que indica com varia el potencial (apunta cap on el potencial disminueix), no quant val. El potencial pot ser gran i constant en una regió on el camp és nul (com dins d'un conductor), i pot valer zero en un punt on el camp és màxim, com el punt mitjà del dipol.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Un electró, inicialment en repòs, és accelerat per una diferència de potencial de 500 V. Calcula l'energia cinètica que adquireix, en joules i en electronvolts, i la seva velocitat final. Dades: e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

E_{c} = 8{,}0\cdot10^{-17}\ \text{J} = 500\ \text{eV}

;

v = 1{,}33\cdot10^{7}\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $\Delta V = 500\ \text{V}$ , $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , $m_{e} = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ ; l'electró parteix del repòs.
Treball i energia cinètica. El treball del camp es converteix en energia cinètica: $E_{c} = |q|\cdot\Delta V = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot500 = 8{,}0\cdot10^{-17}\ \text{J}$
En electronvolts. És immediat: un electró accelerat per 500 V guanya $E_{c} = 500\ \text{eV}$ (1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J).
Velocitat. $\tfrac{1}{2}\,m\,v^{2} = E_{c}\ \Rightarrow\ v = \sqrt{\dfrac{2\cdot8{,}0\cdot10^{-17}}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = \sqrt{1{,}76\cdot10^{14}} = 1{,}33\cdot10^{7}\ \text{m/s}$
Comprovació. És un 4 % de la velocitat de la llum, així que encara podem fer servir la mecànica clàssica. Fixa't que l'electró, negatiu, s'accelera cap al punt de potencial més alt.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Descriu les línies de camp elèctric creades per una càrrega puntual negativa i raona com varia el potencial elèctric quan ens acostem a la càrrega seguint una línia de camp.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

Línies radials que acaben a la càrrega (hi apunten des de totes direccions); acostant-nos-hi, el potencial disminueix (és negatiu i cada cop més negatiu).

Resolució

Línies de camp. Són radials i acaben a la càrrega: apunten cap a ella des de totes direccions (una càrrega positiva de prova hi seria atreta). Són més denses a prop de la càrrega, on el camp és més intens, i no es tallen mai.
Camp i potencial. El camp apunta sempre cap on el potencial disminueix. Com que a prop de la càrrega negativa les línies hi entren, el potencial va baixant a mesura que ens hi acostem.
Numèricament. $V = k\,\dfrac{Q}{r}$ amb $Q \lt 0$ : el potencial és negatiu i cada cop més negatiu (més petit) quan r disminueix; tendeix a zero quan ens n'allunyem.
Equipotencials. Les superfícies equipotencials són esferes concèntriques amb la càrrega, perpendiculars a les línies de camp.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

A l'àtom d'hidrogen, l'electró i el protó estan separats uns 5,3· $10^{-11}$ m. Calcula la força elèctrica i la força gravitatòria entre ells i compara-les. Dades: k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ ; G = 6,67· $10^{-11}$ N· $\text{m}^{2}$ /kg²; e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

F_{e} = 8{,}2\cdot10^{-8}\ \text{N}

;

F_{g} = 3{,}6\cdot10^{-47}\ \text{N}

(totes dues atractives);

F_{e}/F_{g} \approx 2\cdot10^{39}

Resolució

Dades. $r = 5{,}3\cdot10^{-11}\ \text{m}$ , de manera que $r^{2} = 2{,}81\cdot10^{-21}\ \text{m}^{2}$ ; càrregues $\pm e$ i masses $m_{p}$ i $m_{e}$ .
Llei de Coulomb. $F_{e} = k\,\dfrac{e^{2}}{r^{2}} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{(1{,}6\cdot10^{-19})^{2}}{(5{,}3\cdot10^{-11})^{2}} = \dfrac{2{,}30\cdot10^{-28}}{2{,}81\cdot10^{-21}} = 8{,}2\cdot10^{-8}\ \text{N}$ Atractiva (càrregues de signe contrari).
Llei de gravitació universal. $F_{g} = G\,\dfrac{m_{p}\,m_{e}}{r^{2}} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}67\cdot10^{-27}\cdot9{,}11\cdot10^{-31}}{2{,}81\cdot10^{-21}} = 3{,}6\cdot10^{-47}\ \text{N}$ També atractiva.
Quocient. $\dfrac{F_{e}}{F_{g}} = \dfrac{8{,}2\cdot10^{-8}}{3{,}6\cdot10^{-47}} \approx 2\cdot10^{39}$
Conclusió. La força elèctrica és 39 ordres de magnitud més gran: a escala atòmica la gravetat és totalment negligible, i és la interacció elèctrica la que manté l'àtom unit. El quocient no depèn de la distància, perquè totes dues forces van amb $1/r^{2}$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

En una regió hi ha un camp elèctric uniforme de 500 N/C dirigit en el sentit positiu de l'eix X. Calcula la diferència de potencial $V_{A}$ - $V_{B}$ entre els punts A(0; 0) i B(0,4; 0) (coordenades en metres) i raona quin dels dos punts té el potencial més alt. Quin treball fa el camp quan un protó va d'A a B? (e = 1,6· $10^{-19}$ C.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

V_{A} - V_{B} = 200\ \text{V}

: A té el potencial més alt;

W_{A\to B} = 3{,}2\cdot10^{-17}\ \text{J}

(positiu).

Resolució

Dades. $E = 500\ \text{N/C}$ en el sentit +X; A(0; 0) i B(0,4; 0), separats $d = 0{,}4\ \text{m}$ al llarg de les línies de camp.
Camp uniforme. La diferència de potencial entre dos punts separats d al llarg del camp és $V_{A} - V_{B} = E\cdot d = 500\cdot0{,}4 = 200\ \text{V}$
Quin és més alt. El camp apunta d'A cap a B, i el potencial sempre disminueix en el sentit del camp: A té el potencial més alt ( $V_{A}$ és 200 V més gran que $V_{B}$ ).
Treball sobre el protó. $W = q\,(V_{A} - V_{B}) = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot200 = 3{,}2\cdot10^{-17}\ \text{J}$ És positiu: el protó és empès en el sentit del camp i guanya energia cinètica (200 eV).
Comprovació. $W = F\cdot d = q\,E\,d = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot500\cdot0{,}4 = 3{,}2\cdot10^{-17}\ \text{J}$ . Si fos un electró, el treball seria negatiu.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Una esfera conductora de 10 cm de radi té una càrrega de +4 nC repartida per la seva superfície. Calcula el camp elèctric en un punt situat a 5 cm del centre i en un altre situat a 20 cm. k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

A 5 cm:

E = 0

; a 20 cm:

E = 900\ \text{N/C}

, radial cap enfora.

Resolució

Dades. Esfera conductora de radi $R = 0{,}10\ \text{m}$ amb $Q = +4\cdot10^{-9}\ \text{C}$ a la superfície; punts a 0,05 m (interior) i a 0,20 m (exterior).
Teorema de Gauss (interior). Una superfície esfèrica de 5 cm de radi no tanca cap càrrega (tota és a la superfície de l'esfera), així que el flux és zero i $E = 0$ a l'interior, com passa dins de qualsevol conductor en equilibri electrostàtic.
Exterior. Per simetria, el camp és el mateix que crearia tota la càrrega concentrada al centre: $E = k\,\dfrac{Q}{r^{2}} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{4\cdot10^{-9}}{0{,}20^{2}} = \dfrac{36}{0{,}04} = 900\ \text{N/C}$ radial cap enfora.
Observació. Just a la superfície (r = 10 cm) el camp val 3600 N/C, el màxim; a partir d'allà decreix amb $1/r^{2}$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Calcula la força entre dues càrregues de 1·10⁻⁶ C separades 3 cm. Dada: k = 9· $10^{9}$ (SI).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

F = 10\ \text{N}

(repulsiva, perquè les dues càrregues tenen el mateix signe).

Resolució

Dades. $q_{1} = q_{2} = 1\cdot10^{-6}\ \text{C}$ , $r = 3\ \text{cm} = 0{,}03\ \text{m}$ , $k = 9\cdot10^{9}$ (SI).
Llei de Coulomb. $F = k\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{r^{2}}$
Càlcul. $F = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot1\cdot10^{-6}\cdot1\cdot10^{-6}}{(0{,}03)^{2}} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot10^{-12}}{9\cdot10^{-4}} = \dfrac{9\cdot10^{-3}}{9\cdot10^{-4}} = 10\ \text{N}$
Conclusió. La força val 10 N; com que les dues càrregues són del mateix signe, és repulsiva. Fixa't que cal passar la distància a metres abans de substituir.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Tenim dues càrregues sobre l'eix X: una de +4·10⁻⁶ C a l'origen (0,0) i una altra de −4·10⁻⁶ C al punt (0,6; 0) m (les distàncies en metres). Calcula el camp elèctric (mòdul i sentit) i el potencial al punt mitjà P = (0,3; 0) m. Dada: k = 9· $10^{9}$ (SI).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

E = 8\cdot10^{5}\ \text{N/C}

, cap a la dreta (sentit +x, de la càrrega + cap a la −);

V = 0\ \text{V}

Resolució

Dades. El punt P és a $r_{1} = r_{2} = 0{,}3\ \text{m}$ de cada càrrega; $q_{1} = +4\cdot10^{-6}\ \text{C}$ a l'origen i $q_{2} = -4\cdot10^{-6}\ \text{C}$ a (0,6; 0) m.
Camp de cada càrrega. El camp és un vector i cal sumar-lo vectorialment. $E_{1} = k\,\dfrac{|q_{1}|}{r_{1}^{2}} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot4\cdot10^{-6}}{(0{,}3)^{2}} = \dfrac{3{,}6\cdot10^{4}}{0{,}09} = 4\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ i, igualment, $E_{2} = 4\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ .
Sentits. $\vec E_{1}$ surt de la càrrega positiva: cap a la dreta (+x). $\vec E_{2}$ entra cap a la càrrega negativa, que és a la dreta: també cap a la dreta (+x). Com que van en el mateix sentit, se sumen: $E = E_{1} + E_{2} = 8\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ , cap a la dreta (de la càrrega + cap a la −).
Potencial. El potencial és un escalar: se sumen els valors amb el seu signe. $V = k\,\dfrac{q_{1}}{r_{1}} + k\,\dfrac{q_{2}}{r_{2}} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot4\cdot10^{-6}}{0{,}3} + \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot(-4\cdot10^{-6})}{0{,}3} = 1{,}2\cdot10^{5} - 1{,}2\cdot10^{5} = 0\ \text{V}$
Compte amb el parany. Al punt mitjà d'un dipol el camp no és zero ( $8\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ ), però el potencial sí que és zero. Són magnituds diferents: una es cancel·la i l'altra no.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Una càrrega puntual de +4·10⁻⁶ C es troba dins d'una superfície tancada de forma qualsevol. Calcula el flux elèctric total que travessa la superfície. Dada: permitivitat del buit $ε_{0}$ = 8,85·10⁻¹² (SI).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

\Phi = 4{,}52\cdot10^{5}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}

Resolució

Dades. Càrrega interior $Q_{\text{int}} = +4\cdot10^{-6}\ \text{C}$ ; $\varepsilon_{0} = 8{,}85\cdot10^{-12}$ (SI). La forma de la superfície no s'especifica.
Teorema de Gauss. El flux net a través d'una superfície tancada només depèn de la càrrega interior: $\Phi = \dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}$
Càlcul. $\Phi = \dfrac{4\cdot10^{-6}}{8{,}85\cdot10^{-12}} = 4{,}52\cdot10^{5}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}$
Conclusió. Fixa't que no ha calgut saber ni la forma ni la mida de la superfície: mentre la càrrega tancada sigui la mateixa, el flux és el mateix. Si dins hi hagués diverses càrregues, es faria servir la càrrega neta (la suma amb signes).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Un condensador de plaques planes i paral·leles té una diferència de potencial de 200 V i les plaques estan separades 2 cm. a) Calcula el camp elèctric entre les plaques. b) Quina força nota una càrrega de +5·10⁻⁶ C dins d'aquest camp? c) Quin treball fa el camp per portar aquesta càrrega d'una placa a l'altra?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Apartat a)

Resultat

E = 1\cdot10^{4}\ \text{N/C}

Resolució

Dades. $\Delta V = 200\ \text{V}$ , $d = 2\ \text{cm} = 0{,}02\ \text{m}$ .
Camp entre plaques. Entre dues plaques planes el camp és uniforme i val $E = \dfrac{\Delta V}{d}$ .
Càlcul. $E = \dfrac{200}{0{,}02} = 1\cdot10^{4}\ \text{N/C}$

Apartat b)

Resultat

F = 5\cdot10^{-2}\ \text{N} = 0{,}05\ \text{N}

Resolució

Força sobre una càrrega. $F = q\cdot E$ , amb $q = 5\cdot10^{-6}\ \text{C}$ .
Càlcul. $F = 5\cdot10^{-6}\cdot1\cdot10^{4} = 5\cdot10^{-2}\ \text{N} = 0{,}05\ \text{N}$ , en el sentit del camp (càrrega positiva).

Apartat c)

Resultat

W = 1\cdot10^{-3}\ \text{J}

Resolució

Treball del camp. En portar la càrrega positiva de la placa positiva a la negativa, $W = q\cdot\Delta V$ .
Càlcul. $W = 5\cdot10^{-6}\cdot200 = 1\cdot10^{-3}\ \text{J}$ .
Comprovació. També $W = F\cdot d = 0{,}05\cdot0{,}02 = 1\cdot10^{-3}\ \text{J}$ . Coincideix, com ha de ser, perquè el camp és uniforme.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Una càrrega puntual Q = -5 nC és a l'origen. a) Calcula el potencial elèctric als punts A i B, situats a 10 cm i 20 cm de Q. b) Calcula el treball que fa el camp quan una càrrega q = +2 nC es trasllada d'A a B i interpreta'n el signe. k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Apartat a)

Resultat

V_{A} = -450\ \text{V}

;

V_{B} = -225\ \text{V}

Resolució

Dades. $Q = -5\cdot10^{-9}\ \text{C}$ , $r_{A} = 0{,}10\ \text{m}$ , $r_{B} = 0{,}20\ \text{m}$ .
Potencial d'una càrrega puntual. $V = k\,\dfrac{Q}{r}$ , amb el signe de Q.
Càlcul. $V_{A} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-5\cdot10^{-9}}{0{,}10} = -450\ \text{V};\qquad V_{B} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-5\cdot10^{-9}}{0{,}20} = -225\ \text{V}$
Interpretació. El potencial és negatiu i augmenta (es fa menys negatiu) en allunyar-nos de la càrrega negativa. Error típic: oblidar el signe de Q en calcular el potencial.

Apartat b)

Resultat

W_{A\to B} = -4{,}5\cdot10^{-7}\ \text{J}

: el camp s'oposa al desplaçament (cal un treball extern de

+4{,}5\cdot10^{-7}\ \text{J}

Resolució

Treball del camp. $W_{A\to B} = q\,(V_{A} - V_{B})$ , amb $q = +2\cdot10^{-9}\ \text{C}$ .
Càlcul. $W_{A\to B} = 2\cdot10^{-9}\cdot\big(-450 - (-225)\big) = 2\cdot10^{-9}\cdot(-225) = -4{,}5\cdot10^{-7}\ \text{J}$
Interpretació del signe. El treball del camp és negatiu: la càrrega positiva q és atreta per Q, de manera que allunyar-la va en contra del camp.
Balanç d'energia. Qui l'aparti ha de fer un treball extern de $+4{,}5\cdot10^{-7}\ \text{J}$ , que queda emmagatzemat com a energia potencial: $E_{p}$ passa de $-9\cdot10^{-7}\ \text{J}$ a $-4{,}5\cdot10^{-7}\ \text{J}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Dues càrregues de +3 µC estan situades als punts (-0,2; 0) i (0,2; 0) (coordenades en metres). Calcula el vector camp elèctric i el potencial elèctric al punt P(0; 0,15). k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

\vec E = (0;\ 5{,}18\cdot10^{5})\ \text{N/C}

(cap a +Y);

V = 2{,}16\cdot10^{5}\ \text{V}

Resolució

Distància. Cada càrrega és a $d = \sqrt{0{,}2^{2} + 0{,}15^{2}} = 0{,}25\ \text{m}$ de P.
Camp de cada càrrega. $E_{1} = k\,\dfrac{q}{d^{2}} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot3\cdot10^{-6}}{0{,}25^{2}} = 4{,}32\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ dirigit de la càrrega cap a P (càrregues positives).
Principi de superposició. Per simetria, les components horitzontals són iguals i oposades i es cancel·len; les verticals se sumen, amb $\cos\alpha = 0{,}15/0{,}25 = 0{,}6$ : $E_{y} = 2\,E_{1}\cos\alpha = 2\cdot4{,}32\cdot10^{5}\cdot0{,}6 = 5{,}18\cdot10^{5}\ \text{N/C}$
Camp total. $\vec E = (0;\ 5{,}18\cdot10^{5})\ \text{N/C}$ , dirigit cap a +Y, allunyant-se del segment que uneix les càrregues.
Potencial. És escalar, sense components: $V = 2\,k\,\dfrac{q}{d} = \dfrac{2\cdot9\cdot10^{9}\cdot3\cdot10^{-6}}{0{,}25} = 2{,}16\cdot10^{5}\ \text{V}$

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Un protó, inicialment en repòs, es deixa anar en un camp elèctric uniforme de 2000 N/C. Calcula la seva acceleració, la velocitat que té després de recórrer 5 cm i el temps que triga a fer-ho. Dades: e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg; g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ . Justifica que es pot negligir el pes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

a = 1{,}92\cdot10^{11}\ \text{m/s}^{2}

;

v = 1{,}38\cdot10^{5}\ \text{m/s}

;

t = 7{,}2\cdot10^{-7}\ \text{s}

. El pes és unes

10^{10}

vegades més petit que la força elèctrica.

Resolució

Dades. $E = 2000\ \text{N/C}$ , $d = 0{,}05\ \text{m}$ , protó en repòs: $q = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , $m_{p} = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ .
Segona llei de Newton. $a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{q\,E}{m} = \dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2000}{1{,}67\cdot10^{-27}} = 1{,}92\cdot10^{11}\ \text{m/s}^{2}$ en el sentit del camp (càrrega positiva).
MRUA des del repòs. $v^{2} = 2\,a\,d\ \Rightarrow\ v = \sqrt{2\cdot1{,}92\cdot10^{11}\cdot0{,}05} = 1{,}38\cdot10^{5}\ \text{m/s}$ i el temps: $t = \dfrac{v}{a} = \dfrac{1{,}38\cdot10^{5}}{1{,}92\cdot10^{11}} = 7{,}2\cdot10^{-7}\ \text{s}$ .
Comprovació energètica. $E_{c} = q\,E\,d = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2000\cdot0{,}05 = 1{,}6\cdot10^{-17}\ \text{J}$ , i $\tfrac{1}{2}\cdot1{,}67\cdot10^{-27}\cdot(1{,}38\cdot10^{5})^{2} = 1{,}6\cdot10^{-17}\ \text{J}$ .
El pes es pot negligir. $m\,g = 1{,}6\cdot10^{-26}\ \text{N}$ , unes $10^{10}$ vegades més petit que la força elèctrica, $q\,E = 3{,}2\cdot10^{-16}\ \text{N}$ : es pot negligir sense cap problema.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Entre dues plaques horitzontals hi ha un camp elèctric uniforme vertical de 1,0· $10^{5}$ N/C. Una gota d'oli de 4,9· $10^{-15}$ kg, carregada negativament, es manté en repòs entre les plaques. a) Raona quin sentit ha de tenir el camp. b) Calcula la càrrega de la gota i quants electrons en excés té. Dades: g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ; e = 1,6· $10^{-19}$ C.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Apartat a)

Resultat

El camp ha d'apuntar cap avall (la placa superior és la positiva).

Resolució

Equilibri. Perquè la gota estigui en repòs, la força elèctrica ha de ser cap amunt per compensar el pes.
Càrrega negativa. Sobre una càrrega negativa la força té sentit contrari al camp.
Conclusió. El camp ha d'apuntar cap avall: la placa superior és la positiva.

Apartat b)

Resultat

|q| = 4{,}8\cdot10^{-19}\ \text{C}

(

q = -4{,}8\cdot10^{-19}\ \text{C}

): 3 electrons en excés.

Resolució

Dades. $m = 4{,}9\cdot10^{-15}\ \text{kg}$ , $E = 1{,}0\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ , $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .
Condició d'equilibri. $|q|\,E = m\,g\ \Rightarrow\ |q| = \dfrac{m\,g}{E} = \dfrac{4{,}9\cdot10^{-15}\cdot9{,}8}{1{,}0\cdot10^{5}} = 4{,}8\cdot10^{-19}\ \text{C}$
Nombre d'electrons. $n = \dfrac{|q|}{e} = \dfrac{4{,}8\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 3$ electrons en excés.
Idea clau. La càrrega sempre surt un múltiple enter d'e. Aquest és el fonament de l'experiment de Millikan, que va permetre mesurar la càrrega de l'electró.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Dues càrregues puntuals, +2 µC i -2 µC, estan separades 10 cm. Un alumne afirma: «Com que les càrregues s'atrauen, per separar-les fins a 20 cm cal fer un treball negatiu.» Corregeix-lo calculant l'energia potencial del sistema en les dues situacions i el treball que ha de fer un agent extern. k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

E_{p1} = -0{,}36\ \text{J}

;

E_{p2} = -0{,}18\ \text{J}

;

W_{\text{ext}} = +0{,}18\ \text{J}

: l'alumne s'equivoca (el treball extern és positiu).

Resolució

Energia potencial de dues càrregues. $E_{p} = k\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{r}$ , amb els signes de les càrregues.
Càlcul. $E_{p1} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}\cdot(-2\cdot10^{-6})}{0{,}10} = -0{,}36\ \text{J};\qquad E_{p2} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{-4\cdot10^{-12}}{0{,}20} = -0{,}18\ \text{J}$
Treball extern. Si l'energia cinètica no varia, el treball de l'agent extern és igual a l'augment d'energia potencial: $W_{\text{ext}} = E_{p2} - E_{p1} = -0{,}18 - (-0{,}36) = +0{,}18\ \text{J}$
Correcció de l'alumne. Precisament perquè s'atrauen, separar-les costa energia i el treball extern és positiu. El que és negatiu és el treball que fa el camp ( $W_{\text{camp}} = -0{,}18\ \text{J}$ ), que s'oposa a la separació.
Conclusió. Fixa't que l'energia potencial és negativa en els dos casos (sistema lligat) i augmenta en separar les càrregues.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Un camp elèctric uniforme de 200 N/C travessa una superfície quadrada de 0,5 m de costat. Calcula el flux elèctric quan la normal a la superfície forma 0°, 60° i 90° amb el camp. Raona quin seria el flux a través d'una superfície tancada situada en aquest camp uniforme.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

\Phi(0^\circ) = 50\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}

;

\Phi(60^\circ) = 25\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}

;

\Phi(90^\circ) = 0

. A través d'una superfície tancada,

\Phi = 0

Resolució

Flux d'un camp uniforme. $\Phi = E\cdot S\cdot\cos\theta$ , amb $S = 0{,}5^{2} = 0{,}25\ \text{m}^{2}$ i θ l'angle entre el camp i la normal.
θ = 0°. $\Phi = 200\cdot0{,}25\cdot1 = 50\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}$ : les línies travessen la superfície perpendicularment (flux màxim).
θ = 60° i θ = 90°. $\Phi = 200\cdot0{,}25\cdot0{,}5 = 25\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}$ ; amb 90°, $\Phi = 0$ : el camp és paral·lel a la superfície i cap línia la travessa.
Superfície tancada (teorema de Gauss). El flux total és $\Phi = Q_{\text{interior}}/\varepsilon_{0}$ ; en un camp uniforme no hi ha càrregues a dins, així que $\Phi = 0$ . Intuïtivament, totes les línies que entren per una banda surten per l'altra.
Error típic. Fer servir l'angle entre el camp i la superfície en lloc de l'angle amb la normal.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Sobre l'eix X hi ha una càrrega de +4 µC a l'origen i una de -1 µC a x = 0,3 m. a) Raona en quina zona de l'eix pot ser nul el camp elèctric i troba el punt. b) Calcula el potencial elèctric en aquest punt. k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Apartat a)

Resultat

Només a la dreta de −1 µC: el camp és nul a

x = 0{,}6\ \text{m}

Resolució

Zones de l'eix. Entre les dues càrregues els dos camps apunten en el mateix sentit (de la positiva cap a la negativa) i no es poden anul·lar. A l'esquerra de +4 µC, la càrrega gran és la més propera i el seu camp sempre guanya. Només pot ser nul a la dreta de −1 µC ( $x > 0{,}3\ \text{m}$ ), on la càrrega petita és la més propera i pot compensar la gran.
Condició. $k\,\dfrac{4\cdot10^{-6}}{x^{2}} = k\,\dfrac{1\cdot10^{-6}}{(x - 0{,}3)^{2}}\ \Rightarrow\ 4\,(x - 0{,}3)^{2} = x^{2}\ \Rightarrow\ 2\,(x - 0{,}3) = x\ \Rightarrow\ x = 0{,}6\ \text{m}$
Solució descartada. L'altra arrel, $2\,(x - 0{,}3) = -x \Rightarrow x = 0{,}2\ \text{m}$ , cau entre les càrregues, on ja sabem que no s'anul·la: allà els mòduls són iguals però els sentits coincideixen.

Apartat b)

Resultat

V = 3\cdot10^{4}\ \text{V}

Resolució

Potencial (escalar). Al punt x = 0,6 m, a 0,6 m de +4 µC i a 0,3 m de −1 µC: $V = k\left(\dfrac{4\cdot10^{-6}}{0{,}6} - \dfrac{1\cdot10^{-6}}{0{,}3}\right) = 9\cdot10^{9}\,(6{,}67\cdot10^{-6} - 3{,}33\cdot10^{-6}) = 3\cdot10^{4}\ \text{V}$
Conclusió. El camp és nul en aquest punt, però el potencial no.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Sobre l'eix X hi ha dues càrregues positives: $q_{1}$ = +1·10⁻⁶ C a l'origen (0,0) i $q_{2}$ = +4·10⁻⁶ C al punt (0,9; 0) m. a) Troba el punt de la recta que uneix les dues càrregues on el camp elèctric és zero. b) Calcula el potencial en aquest punt. c) Si hi col·loquem una càrrega $q_{3}$ = −2·10⁻⁶ C, quina força nota i quina energia potencial té? Dada: k = 9· $10^{9}$ (SI).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Apartat a)

Resultat

El camp és nul a

x = 0{,}3\ \text{m}

(a 0,3 m de

q_{1}

i a 0,6 m de

q_{2}

Resolució

On pot ser nul. Com que totes dues càrregues són positives, els seus camps només apunten en sentits oposats entre elles: el punt on es cancel·len ha d'estar entremig. Sigui x la distància des de $q_{1}$ ; la distància des de $q_{2}$ és $0{,}9 - x$ .
Condició. Els mòduls s'han d'igualar: $k\,\dfrac{q_{1}}{x^{2}} = k\,\dfrac{q_{2}}{(0{,}9 - x)^{2}}\ \Rightarrow\ \dfrac{(0{,}9 - x)^{2}}{x^{2}} = \dfrac{q_{2}}{q_{1}} = 4$
Càlcul. Fent l'arrel quadrada: $\dfrac{0{,}9 - x}{x} = 2 \Rightarrow 0{,}9 - x = 2x \Rightarrow x = 0{,}3\ \text{m}$ .
Comprovació. $E_{1} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot1\cdot10^{-6}}{0{,}3^{2}} = 1\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ i $E_{2} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot4\cdot10^{-6}}{0{,}6^{2}} = 1\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ : iguals i oposats, es cancel·len.

Apartat b)

Resultat

V = 9\cdot10^{4}\ \text{V}

Resolució

Potencial (escalar). No es cancel·la: se sumen les contribucions amb el seu signe.
Càlcul. $V = k\,\dfrac{q_{1}}{0{,}3} + k\,\dfrac{q_{2}}{0{,}6} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot1\cdot10^{-6}}{0{,}3} + \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot4\cdot10^{-6}}{0{,}6} = 3\cdot10^{4} + 6\cdot10^{4} = 9\cdot10^{4}\ \text{V}$

Apartat c)

Resultat

F = 0\ \text{N}

;

E_{p} = -0{,}18\ \text{J}

Resolució

Força. $F = q_{3}\cdot E = q_{3}\cdot0 = 0\ \text{N}$ : en aquest punt el camp és nul, així que qualsevol càrrega hi nota força zero.
Energia potencial. $E_{p} = q_{3}\cdot V = -2\cdot10^{-6}\cdot9\cdot10^{4} = -0{,}18\ \text{J}$ .
Parany clau. Al punt on E = 0 la força és zero, però el potencial no és zero, així que l'energia potencial tampoc ho és. Camp nul no vol dir potencial nul.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Als tres vèrtexs d'un triangle equilàter de costat 0,3 m hi col·loquem tres càrregues: $q_{1}$ = +2·10⁻⁶ C, $q_{2}$ = +2·10⁻⁶ C i $q_{3}$ = −3·10⁻⁶ C. Calcula l'energia potencial total del sistema i el treball necessari per muntar-lo. Dada: k = 9· $10^{9}$ (SI).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

E_{p} = -0{,}24\ \text{J}

; el treball per muntar el sistema és

W = -0{,}24\ \text{J}

Resolució

Plantejament. L'energia potencial d'un sistema de càrregues és la suma de l'energia de cada parell: $E_{p} = E_{12} + E_{13} + E_{23}$ . Com que el triangle és equilàter, totes les distàncies valen $r = 0{,}3\ \text{m}$ .
Parell 1-2. $E_{12} = k\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{r} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot2\cdot10^{-6}\cdot2\cdot10^{-6}}{0{,}3} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot4\cdot10^{-12}}{0{,}3} = 0{,}12\ \text{J}$
Parells 1-3 i 2-3. $E_{13} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot2\cdot10^{-6}\cdot(-3\cdot10^{-6})}{0{,}3} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot(-6\cdot10^{-12})}{0{,}3} = -0{,}18\ \text{J}$ i, per simetria, $E_{23} = -0{,}18\ \text{J}$ .
Suma. $E_{p} = 0{,}12 - 0{,}18 - 0{,}18 = -0{,}24\ \text{J}$ . El treball per muntar el sistema des de l'infinit és $W = E_{p} = -0{,}24\ \text{J}$ .
Interpretació. És negatiu: en conjunt guanyen les atraccions (les dues parelles de signe contrari) sobre la repulsió (la parella + +), de manera que el sistema allibera energia en formar-se; no cal aportar-ne, sinó frenar les càrregues.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Un electró (càrrega 1,6·10⁻¹⁹ C, massa 9,1·10⁻³¹ kg) entra horitzontalment, pel mig, entre les plaques d'un condensador amb una velocitat $v_{0}$ = 2· $10^{7}$ m·s⁻¹. Les plaques tenen 5 cm de longitud, estan separades 2 cm i hi ha 100 V entre elles. a) Calcula el camp entre les plaques i l'acceleració de l'electró. b) Quina desviació vertical té en sortir? c) Quina energia guanya del camp?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Apartat a)

Resultat

E = 5\cdot10^{3}\ \text{N/C}

;

a = 8{,}8\cdot10^{14}\ \text{m/s}^{2}

, cap a la placa positiva.

Resolució

Camp entre plaques. És uniforme: $E = \dfrac{\Delta V}{d} = \dfrac{100}{0{,}02} = 5\cdot10^{3}\ \text{N/C}$ .
Força. $F = q\,E = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{3} = 8\cdot10^{-16}\ \text{N}$ , dirigida cap a la placa positiva: com que l'electró és negatiu, la força va en sentit contrari al camp.
Segona llei de Newton. $a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{8\cdot10^{-16}}{9{,}1\cdot10^{-31}} = 8{,}8\cdot10^{14}\ \text{m/s}^{2}$

Apartat b)

Resultat

y = 2{,}75\cdot10^{-3}\ \text{m} \approx 2{,}75\ \text{mm}

(no xoca amb la placa).

Resolució

Analogia amb el tir horitzontal. Horitzontalment l'electró va a velocitat constant i verticalment accelera.
Temps entre les plaques. $t = \dfrac{L}{v_{0}} = \dfrac{0{,}05}{2\cdot10^{7}} = 2{,}5\cdot10^{-9}\ \text{s}$ .
Desviació vertical. $y = \tfrac{1}{2}\,a\,t^{2} = 0{,}5\cdot8{,}8\cdot10^{14}\cdot(2{,}5\cdot10^{-9})^{2} = 0{,}5\cdot8{,}8\cdot10^{14}\cdot6{,}25\cdot10^{-18} = 2{,}75\cdot10^{-3}\ \text{m}$
Comprovació. Són uns 2,75 mm, menys que la meitat de la separació (1 cm), així que l'electró surt sense xocar amb la placa.

Apartat c)

Resultat

W = 2{,}2\cdot10^{-18}\ \text{J}

Resolució

Treball del camp. L'energia que guanya és el treball de la força en la direcció vertical: $W = F\cdot y = 8\cdot10^{-16}\cdot2{,}75\cdot10^{-3} = 2{,}2\cdot10^{-18}\ \text{J}$ .
Comprovació. Velocitat vertical de sortida: $v_{y} = a\,t = 8{,}8\cdot10^{14}\cdot2{,}5\cdot10^{-9} = 2{,}2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ , i $E_{c} = \tfrac{1}{2}\,m\,v_{y}^{2} = 0{,}5\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(2{,}2\cdot10^{6})^{2} = 2{,}2\cdot10^{-18}\ \text{J}$ Coincideix.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un electró entra amb una velocitat de 4,0· $10^{6}$ m/s en una regió on hi ha un camp elèctric uniforme paral·lel a la seva velocitat que el frena.
a) Calcula l'energia cinètica inicial de l'electró en joules i en electronvolts.
b) Quina diferència de potencial ha de travessar per aturar-se? Raona si es mou cap a potencials més alts o més baixos.
c) Si la regió de camp té 2,0 cm de gruix, quin és el valor mínim del camp perquè l'electró no la travessi?
Dades: e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

E_{c} = 7{,}29\cdot10^{-18}\ \text{J} = 45{,}5\ \text{eV}

Resolució

Dades. $v = 4{,}0\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ , $m_{e} = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ , 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J.
Energia cinètica. $E_{c} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(4{,}0\cdot10^{6})^{2} = 7{,}29\cdot10^{-18}\ \text{J}$
En eV. $\dfrac{7{,}29\cdot10^{-18}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 45{,}5\ \text{eV}$ .

Apartat b)

Resultat

|\Delta V| = 45{,}5\ \text{V}

; es mou cap a potencials més baixos.

Resolució

Teorema de l'energia. Perquè s'aturi, el treball del camp ha de valer $-E_{c}$ : $q\,\Delta V = -E_{c}$ . Amb $q = -e$ : $|\Delta V| = \dfrac{E_{c}}{e} = 45{,}5\ \text{V}$ . Un electró de 45,5 eV s'atura amb 45,5 V de frenada.
Sentit. La força sobre una càrrega negativa apunta cap al potencial més alt; si l'electró es frena, la força és contrària al moviment, de manera que es mou cap a potencials més baixos.
Conclusió. El camp té el mateix sentit que la velocitat: l'electró avança en el sentit del camp, cap on el potencial disminueix.

Apartat c)

Resultat

E_{\text{mín}} = 2{,}28\cdot10^{3}\ \text{V/m}

Resolució

Camp uniforme. $\Delta V = E\cdot d$ , amb $d = 0{,}020\ \text{m}$ .
Càlcul. $E_{\text{mín}} = \dfrac{45{,}5}{0{,}020} = 2{,}28\cdot10^{3}\ \text{V/m}$ . Amb un camp més intens s'atura abans d'arribar al final i torna enrere; amb un de més feble travessa la regió.
Comprovació cinemàtica. Amb $E = 2{,}28\cdot10^{3}\ \text{V/m}$ : $a = \dfrac{e\,E}{m} = 4{,}0\cdot10^{14}\ \text{m/s}^{2}$ i $d = \dfrac{v^{2}}{2a} = \dfrac{1{,}6\cdot10^{13}}{8{,}0\cdot10^{14}} = 0{,}020\ \text{m}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Quatre càrregues iguals de +2 µC estan situades als vèrtexs d'un quadrat de 20 cm de costat.
a) Raona quant val el camp elèctric al centre del quadrat i calcula-hi el potencial.
b) Calcula el treball que ha de fer un agent extern per portar una càrrega de -1 µC des de l'infinit fins al centre, i interpreta'n el signe.
c) Calcula l'energia potencial del sistema format per les quatre càrregues.
k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

E = 0

;

V = 5{,}09\cdot10^{5}\ \text{V}

Resolució

Distància al centre. El centre és a la mateixa distància de les quatre càrregues, la meitat de la diagonal: $d = \dfrac{0{,}20\sqrt{2}}{2} = 0{,}141\ \text{m}$ .
Camp. Els quatre camps tenen el mateix mòdul i, per simetria, cada un s'anul·la amb el de la càrrega del vèrtex oposat: $E = 0$ .
Potencial. És la suma de quatre termes iguals i positius: $V = 4\,k\,\dfrac{q}{d} = \dfrac{4\cdot9\cdot10^{9}\cdot2\cdot10^{-6}}{0{,}141} = 5{,}09\cdot10^{5}\ \text{V}$

Apartat b)

Resultat

W_{\text{ext}} = -0{,}51\ \text{J}

: l'agent extern només ha de frenar la càrrega (el camp fa +0,51 J).

Resolució

Treball extern. Sense variar l'energia cinètica, $W_{\text{ext}} = q'\,(V_{\text{centre}} - V_{\infty})$ , amb $V_{\infty} = 0$ .
Càlcul. $W_{\text{ext}} = -1\cdot10^{-6}\cdot5{,}09\cdot10^{5} = -0{,}51\ \text{J}$ .
Interpretació. És negatiu: la càrrega negativa és atreta per les quatre positives i el camp la porta cap al centre tot sol; l'agent extern només ha de frenar-la (fa treball negatiu). El camp fa +0,51 J.

Apartat c)

Resultat

E_{p} = 0{,}97\ \text{J}

Resolució

Parells. Hi ha 6 parelles: 4 costats (distància 0,20 m) i 2 diagonals ( $0{,}20\sqrt{2} = 0{,}283\ \text{m}$ ).
Càlcul. $E_{p} = k\,q^{2}\left(\dfrac{4}{0{,}20} + \dfrac{2}{0{,}283}\right) = 9\cdot10^{9}\cdot4\cdot10^{-12}\cdot(20 + 7{,}07) = 0{,}036\cdot27{,}07 = 0{,}97\ \text{J}$
Interpretació. És positiva: cal aportar 0,97 J per muntar el sistema, perquè totes les càrregues es repel·leixen.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Una esfera conductora de 20 cm de radi està carregada amb +8 nC. Calcula el camp elèctric i el potencial a 10 cm, a 20 cm i a 40 cm del centre, i descriu com varien E i V amb la distància, des del centre fins a molt lluny de l'esfera. k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

r = 10 cm:

E = 0

V = 360\ \text{V}

; r = 20 cm:

E = 1800\ \text{N/C}

V = 360\ \text{V}

; r = 40 cm:

E = 450\ \text{N/C}

V = 180\ \text{V}

Resolució

Model. A l'exterior (r ≥ R) l'esfera es comporta com una càrrega puntual situada al centre: $E = k\,Q/r^{2}$ i $V = k\,Q/r$ . A l'interior (r < R), pel teorema de Gauss, $E = 0$ (no hi ha càrrega tancada) i, com que el camp és nul, el potencial no varia: val el mateix que a la superfície.
r = 10 cm (interior). $E = 0$ ; $V = k\,\dfrac{Q}{R} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot8\cdot10^{-9}}{0{,}20} = 360\ \text{V}$ .
r = 20 cm (superfície). $E = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot8\cdot10^{-9}}{0{,}20^{2}} = 1800\ \text{N/C}$ ; $V = 360\ \text{V}$ .
r = 40 cm. $E = \dfrac{72}{0{,}16} = 450\ \text{N/C}$ (la quarta part, perquè la distància s'ha doblat); $V = \dfrac{72}{0{,}40} = 180\ \text{V}$ (la meitat).
Resum. E és zero fins a la superfície, hi fa un salt fins al valor màxim (1800 N/C) i després decreix com $1/r^{2}$ ; V és constant (360 V) a tot l'interior i decreix de manera contínua com $1/r$ a l'exterior, tendint a zero a l'infinit. Tot el conductor és un volum equipotencial.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Una esfera petita de 5 g carregada amb +2 µC penja d'un fil aïllant en una regió on hi ha un camp elèctric uniforme horitzontal de 1,5· $10^{4}$ N/C.
a) Calcula l'angle que forma el fil amb la vertical quan l'esfera està en equilibri.
b) Calcula la tensió del fil.
c) Raona què canviaria si la càrrega de l'esfera fos de -2 µC.
g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

\theta = 31{,}5^\circ

amb la vertical.

Resolució

Forces. Sobre l'esfera actuen el pes (vertical), la força elèctrica (horitzontal, en el sentit del camp perquè la càrrega és positiva) i la tensió del fil.
Valors. Pes: $m\,g = 0{,}005\cdot9{,}8 = 0{,}049\ \text{N}$ . Força elèctrica: $F_{e} = q\,E = 2\cdot10^{-6}\cdot1{,}5\cdot10^{4} = 0{,}030\ \text{N}$ .
Equilibri. $T\sin\theta = q\,E$ (horitzontal) i $T\cos\theta = m\,g$ (vertical). Dividint: $\tan\theta = \dfrac{q\,E}{m\,g} = \dfrac{0{,}030}{0{,}049} = 0{,}612\ \Rightarrow\ \theta = 31{,}5^\circ$

Apartat b)

Resultat

T = 0{,}057\ \text{N}

Resolució

Mòdul de la tensió. $T = \sqrt{(m\,g)^{2} + (q\,E)^{2}} = \sqrt{0{,}049^{2} + 0{,}030^{2}} = 0{,}057\ \text{N}$
Comprovació. $T = \dfrac{m\,g}{\cos\theta} = \dfrac{0{,}049}{\cos 31{,}5^\circ} = 0{,}057\ \text{N}$ .
Fixa't. La tensió és més gran que el pes: el fil ha d'aguantar el pes i, a més, tibar contra la força elèctrica.

Apartat c)

Resultat

El fil es desviaria el mateix angle (31,5°) cap a l'altra banda, amb la mateixa tensió.

Resolució

Càrrega negativa. La força elèctrica tindria sentit contrari al camp, però el mateix mòdul.
Conclusió. El fil es desviaria el mateix angle (31,5°) però cap a l'altra banda, i la tensió seria la mateixa.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

En l'experiment de Rutherford, una partícula alfa (q = +2e, m = 6,64· $10^{-27}$ kg) es llança amb una velocitat de 1,5· $10^{7}$ m/s directament contra un nucli d'or (Z = 79), que es pot considerar fix.
a) Calcula l'energia cinètica inicial de la partícula alfa en joules i en MeV.
b) Calcula la distància mínima a què s'acosta al nucli.
c) Raona com canviaria aquesta distància si es doblés la velocitat.
Dades: k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ ; e = 1,6· $10^{-19}$ C.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

E_{c} = 7{,}47\cdot10^{-13}\ \text{J} = 4{,}67\ \text{MeV}

Resolució

Dades. $m = 6{,}64\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ , $v = 1{,}5\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ ; 1 MeV = 1,6·10⁻¹³ J.
Energia cinètica. $E_{c} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot6{,}64\cdot10^{-27}\cdot(1{,}5\cdot10^{7})^{2} = 7{,}47\cdot10^{-13}\ \text{J}$
En MeV. $\dfrac{7{,}47\cdot10^{-13}}{1{,}6\cdot10^{-13}} = 4{,}67\ \text{MeV}$ .

Apartat b)

Resultat

d = 4{,}9\cdot10^{-14}\ \text{m}

Resolució

Conservació de l'energia. La repulsió del nucli frena la partícula; al punt de màxima aproximació s'atura un instant i tota l'energia cinètica s'ha convertit en energia potencial elèctrica (força conservativa): $E_{c} = k\,\dfrac{q_{\alpha}\,q_{\text{Au}}}{d}$
Càlcul. $d = \dfrac{k\,(2e)(79e)}{E_{c}} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot2\cdot79\cdot(1{,}6\cdot10^{-19})^{2}}{7{,}47\cdot10^{-13}} = \dfrac{3{,}64\cdot10^{-26}}{7{,}47\cdot10^{-13}} = 4{,}9\cdot10^{-14}\ \text{m}$
Interpretació. Aquesta distància (unes $10^{-14}\ \text{m}$ ) és molt més petita que la mida de l'àtom ( $10^{-10}\ \text{m}$ ): per això Rutherford va concloure que la càrrega positiva està concentrada en un nucli diminut.

Apartat c)

Resultat

Es reduiria a la quarta part:

d \approx 1{,}2\cdot10^{-14}\ \text{m}

Resolució

Proporcionalitat. d és inversament proporcional a $E_{c}$ , i $E_{c}$ és proporcional a $v^{2}$ .
Conclusió. Doblar la velocitat quadruplica l'energia cinètica i la distància mínima es redueix a la quarta part: $\dfrac{4{,}9\cdot10^{-14}}{4} \approx 1{,}2\cdot10^{-14}\ \text{m}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Dues càrregues fixes de +5 µC estan situades a x = 0 i x = 0,4 m. Una partícula de 2 g carregada amb +1 µC es deixa anar en repòs al punt x = 0,1 m.
a) Calcula la força neta i l'acceleració de la partícula en l'instant inicial, i raona cap a on es mou.
b) Calcula el potencial elèctric als punts x = 0,1 m i x = 0,2 m.
c) Calcula la velocitat de la partícula quan passa pel punt mitjà, x = 0,2 m, i descriu el moviment posterior.
k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ . (Es negligeixen el pes i el fregament.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

F = 4{,}0\ \text{N}

cap a +X;

a = 2000\ \text{m/s}^{2}

; es mou cap al punt mitjà.

Resolució

Llei de Coulomb. La càrrega de x = 0 (a 0,1 m) la repel·leix cap a +X: $F_{1} = k\,\dfrac{Q\,q}{r^{2}} = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot5\cdot10^{-6}\cdot10^{-6}}{0{,}1^{2}} = 4{,}5\ \text{N}$ La de x = 0,4 m (a 0,3 m) la repel·leix cap a −X: $F_{2} = \dfrac{0{,}045}{0{,}09} = 0{,}5\ \text{N}$ .
Força neta i acceleració. $F = 4{,}5 - 0{,}5 = 4{,}0\ \text{N}$ cap a +X; $a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{4{,}0}{0{,}002} = 2000\ \text{m/s}^{2}$ .
Conclusió. La partícula comença a moure's cap a +X, cap al punt mitjà.

Apartat b)

Resultat

V(0{,}1) = 6{,}0\cdot10^{5}\ \text{V}

;

V(0{,}2) = 4{,}5\cdot10^{5}\ \text{V}

Resolució

Superposició de potencials. $V = k\,Q\left(\dfrac{1}{r_{1}} + \dfrac{1}{r_{2}}\right)$ , amb $k\,Q = 4{,}5\cdot10^{4}\ \text{V}\cdot\text{m}$ .
Càlcul. $V(0{,}1) = 4{,}5\cdot10^{4}\left(\dfrac{1}{0{,}1} + \dfrac{1}{0{,}3}\right) = 4{,}5\cdot10^{4}\cdot13{,}3 = 6{,}0\cdot10^{5}\ \text{V}$ $V(0{,}2) = 4{,}5\cdot10^{4}\left(\dfrac{1}{0{,}2} + \dfrac{1}{0{,}2}\right) = 4{,}5\cdot10^{4}\cdot10 = 4{,}5\cdot10^{5}\ \text{V}$

Apartat c)

Resultat

v = 12{,}2\ \text{m/s}

al punt mitjà; després oscil·la entre x = 0,1 m i x = 0,3 m.

Resolució

Conservació de l'energia. La pèrdua d'energia potencial és guany d'energia cinètica: $\tfrac{1}{2}\,m\,v^{2} = q\,(V_{0{,}1} - V_{0{,}2}) = 10^{-6}\cdot1{,}5\cdot10^{5} = 0{,}15\ \text{J}$
Càlcul. $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot0{,}15}{0{,}002}} = 12{,}2\ \text{m/s}$ .
Moviment posterior. Al punt mitjà la força neta és zero (camp nul), però la partícula hi arriba amb velocitat i continua cap a x = 0,3 m, on s'atura (per simetria) i torna enrere: oscil·la entre x = 0,1 m i x = 0,3 m.
Compte. L'acceleració no és constant (la força depèn de la posició); per això cal fer servir l'energia i no les equacions del MRUA.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

En un oscil·loscopi analògic, un canó d'electrons accelera electrons des del repòs amb una diferència de potencial $V_{0}$ = 2000 V. Els electrons entren horitzontalment pel mig de dues plaques deflectores horitzontals de 4,0 cm de llargada, separades 1,0 cm, entre les quals hi ha una diferència de potencial de 100 V. La pantalla és a 20 cm del final de les plaques.
a) Calcula la velocitat dels electrons en sortir del canó i justifica si és raonable fer servir la mecànica clàssica.
b) Calcula el camp elèctric entre les plaques, l'acceleració dels electrons, la desviació vertical en sortir de les plaques i l'angle que forma llavors la velocitat amb l'horitzontal. Comprova que els electrons no xoquen amb les plaques.
c) Calcula la desviació total del punt lluminós a la pantalla.
d) Demostra que la desviació a la pantalla es pot escriure Y = V·L· $\tfrac{(L/2 + D)}{(2\cdot d\cdot V_{0})}$ , on L és la llargada de les plaques, d la seva separació i D la distància a la pantalla. Raona què passaria si el canó accelerés protons amb la mateixa diferència de potencial (amb les polaritats invertides).
Dades: e = 1,60· $10^{-19}$ C; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg; c = 3,00· $10^{8}$ m/s.

Pista 1

Al canó, el treball del camp elèctric es converteix en energia cinètica; entre les plaques, el moviment és com un tir horitzontal amb una acceleració que no és g.

Pista 2

Després de les plaques no hi ha cap força: l'electró segueix en línia recta amb la velocitat que tenia a la sortida. Calcula el temps que tarda a arribar a la pantalla.

Pista 3

Per a d), escriu $v_{0}$ ² = 2·e· $\tfrac{V_{0}}{m}$ i substitueix-ho a les expressions de la desviació: mira què passa amb la massa i la càrrega.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

v_{0} = 2{,}65\cdot10^{7}\ \text{m/s}

(un 8,8 % de c): l'aproximació clàssica és acceptable.

Resolució

Dades. $V_{0} = 2000\ \text{V}$ , $e = 1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , $m_{e} = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ ; els electrons parteixen del repòs.
Treball i energia cinètica. Al canó, el treball del camp es converteix en energia cinètica: $e\,V_{0} = \tfrac{1}{2}\,m\,v_{0}^{2}\ \Rightarrow\ v_{0} = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\cdot2000}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = 2{,}65\cdot10^{7}\ \text{m/s}$
Mecànica clàssica? És un 8,8 % de la velocitat de la llum; els efectes relativistes són de l'ordre de $v^{2}/c^{2} \approx 0{,}8\ \%$ , de manera que l'aproximació clàssica és acceptable.

Apartat b)

Resultat

E = 1{,}0\cdot10^{4}\ \text{V/m}

;

a = 1{,}76\cdot10^{15}\ \text{m/s}^{2}

;

y_{1} = 2{,}0\ \text{mm}

(no xoca: 2,0 mm < 5,0 mm);

\alpha = 5{,}7^\circ

Resolució

Camp i acceleració. $E = \dfrac{V}{d} = \dfrac{100}{0{,}010} = 1{,}0\cdot10^{4}\ \text{V/m}$ ; $a = \dfrac{e\,E}{m} = 1{,}76\cdot10^{15}\ \text{m/s}^{2}$ , cap a la placa positiva.
Tir horitzontal. Entre les plaques la velocitat horitzontal és constant i la vertical augmenta amb acceleració a (que no és g). Temps entre les plaques: $t_{1} = \dfrac{L}{v_{0}} = \dfrac{0{,}040}{2{,}65\cdot10^{7}} = 1{,}51\cdot10^{-9}\ \text{s}$ .
Desviació a la sortida. $y_{1} = \tfrac{1}{2}\,a\,t_{1}^{2} = 2{,}0\cdot10^{-3}\ \text{m} = 2{,}0\ \text{mm}$ , menor que els 5,0 mm que hi ha fins a la placa: no hi xoca.
Angle de sortida. $v_{y} = a\,t_{1} = 2{,}65\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ ; $\tan\alpha = \dfrac{v_{y}}{v_{0}} = 0{,}100 \Rightarrow \alpha = 5{,}7^\circ$ .

Apartat c)

Resultat

Y = 22\ \text{mm}

(2,0 mm a les plaques + 20 mm fins a la pantalla).

Resolució

Fora de les plaques. No hi ha cap força: el moviment és rectilini uniforme amb la velocitat de sortida. El temps fins a la pantalla és $D/v_{0}$ .
Desviació addicional. $y_{2} = v_{y}\cdot\dfrac{D}{v_{0}} = 0{,}100\cdot0{,}20 = 2{,}0\cdot10^{-2}\ \text{m} = 20\ \text{mm}$ .
Desviació total. $Y = 2{,}0\ \text{mm} + 20\ \text{mm} = 22\ \text{mm}$ .

Apartat d)

Resultat

Y = \dfrac{V\,L\,(L/2 + D)}{2\,d\,V_{0}} = 0{,}022\ \text{m}

: no depèn ni de la massa ni de la càrrega, i uns protons farien la mateixa trajectòria (unes 43 vegades més lents).

Resolució

Expressions generals. $y_{1} = \tfrac{1}{2}\,\dfrac{e\,V}{m\,d}\left(\dfrac{L}{v_{0}}\right)^{2},\qquad y_{2} = \dfrac{e\,V\,L}{m\,d\,v_{0}^{2}}\,D$
Substitució. Amb $m\,v_{0}^{2} = 2\,e\,V_{0}$ : $y_{1} = \dfrac{V\,L^{2}}{4\,d\,V_{0}}$ i $y_{2} = \dfrac{V\,L\,D}{2\,d\,V_{0}}$ , i per tant $Y = \dfrac{V\,L\,(L/2 + D)}{2\,d\,V_{0}} = \dfrac{100\cdot0{,}040\cdot0{,}22}{2\cdot0{,}010\cdot2000} = 0{,}022\ \text{m}\ \checkmark$
Protons. La massa i la càrrega han desaparegut: uns protons accelerats amb la mateixa $V_{0}$ (i amb les polaritats invertides perquè la força tingui el sentit adequat) farien exactament la mateixa trajectòria, tot i anar $\sqrt{m_{p}/m_{e}} \approx 43$ vegades més lents.
Interpretació. La desviació és proporcional a V, i per això l'oscil·loscopi «dibuixa» la tensió que s'aplica a les plaques. Per ser més sensible convé una $V_{0}$ petita o plaques més llargues i més properes.

Errors típics

Fer servir la mateixa acceleració dins i fora de les plaques: fora no hi ha camp i el moviment és rectilini.
Calcular la desviació a la pantalla com ½·a·t² amb el temps total del recorregut.
Oblidar comprovar que la desviació a la sortida és menor que la meitat de la separació de les plaques.
Pensar que un protó, molt més massiu, es desviaria molt menys amb la mateixa tensió d'acceleració.

Conceptes treballats: potencial i diferència de potencial, camp elèctric uniforme, treball i energia cinètica, moviment d'una càrrega en un camp uniforme (tir horitzontal), aplicacions: oscil·loscopi.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Una fàbrica d'embotits de Vic marca la data de caducitat dels envasos amb una impressora industrial d'injecció contínua de tinta. Les gotes, de massa 1,3· $10^{-10}$ kg, surten horitzontalment a 18 m/s; un elèctrode les carrega i després passen entre dues plaques deflectores d'1,2 cm de llargada amb un camp elèctric uniforme vertical d'1,2· $10^{6}$ N/C. L'envàs és 0,80 cm més enllà del final de les plaques. Una gota típica té una càrrega de −1,5· $10^{-13}$ C.
a) Compara la força elèctrica sobre la gota amb el seu pes i justifica per què es pot negligir la gravetat. Comprova-ho calculant quant baixaria la gota per efecte de la gravetat durant tot el recorregut.
b) Calcula la desviació de la gota en sortir de les plaques i en arribar a l'envàs.
c) La impressora forma els caràcters canviant la càrrega de cada gota. Raona per què la desviació és proporcional a la càrrega i calcula la càrrega que ha de tenir una gota perquè es desviï 1,0 mm.
d) Què passa amb una gota que no s'ha carregat? I amb una gota del doble de massa i la mateixa càrrega? Si el camp apunta cap amunt, cap a on es desvien les gotes?
Dades: g = 9,81 $\text{m/s}^{2}$ .

Pista 1

Dins de les plaques la gota fa un moviment semblant a un tir horitzontal; fora de les plaques segueix en línia recta.

Pista 2

Calcula primer l'acceleració deguda al camp, a = |q|·E/m, i compara-la amb g.

Pista 3

Totes les desviacions són proporcionals a l'acceleració, i l'acceleració és proporcional a q/m.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

F_{e} = 1{,}8\cdot10^{-7}\ \text{N}

, unes 140 vegades el pes (

1{,}28\cdot10^{-9}\ \text{N}

); per gravetat baixaria només

6\cdot10^{-6}\ \text{m}

= 0,006 mm.

Resolució

Força elèctrica i pes. $F_{e} = |q|\,E = 1{,}5\cdot10^{-13}\cdot1{,}2\cdot10^{6} = 1{,}8\cdot10^{-7}\ \text{N}$ ; $P = m\,g = 1{,}3\cdot10^{-10}\cdot9{,}81 = 1{,}28\cdot10^{-9}\ \text{N}$ . La força elèctrica és unes 140 vegades més gran.
Temps total. $t = \dfrac{0{,}012 + 0{,}008}{18} = 1{,}11\cdot10^{-3}\ \text{s}$ .
Caiguda per gravetat. $\tfrac{1}{2}\,g\,t^{2} = 6\cdot10^{-6}\ \text{m} = 0{,}006\ \text{mm}$ , menyspreable davant la desviació elèctrica; a més, és la mateixa per a totes les gotes, de manera que no deforma els caràcters.

Apartat b)

Resultat

y_{1} = 0{,}31\ \text{mm}

a la sortida de les plaques;

Y = 0{,}72\ \text{mm}

a l'envàs.

Resolució

Acceleració. $a = \dfrac{|q|\,E}{m} = \dfrac{1{,}8\cdot10^{-7}}{1{,}3\cdot10^{-10}} = 1{,}38\cdot10^{3}\ \text{m/s}^{2}$ .
Dins de les plaques (tir horitzontal). $t_{1} = \dfrac{0{,}012}{18} = 6{,}67\cdot10^{-4}\ \text{s}$ ; $y_{1} = \tfrac{1}{2}\,a\,t_{1}^{2} = 3{,}1\cdot10^{-4}\ \text{m} = 0{,}31\ \text{mm}$ ; $v_{y} = a\,t_{1} = 0{,}92\ \text{m/s}$ .
Fins a l'envàs (MRU). $t_{2} = \dfrac{0{,}008}{18} = 4{,}44\cdot10^{-4}\ \text{s}$ ; $y_{2} = v_{y}\,t_{2} = 0{,}41\ \text{mm}$ .
Desviació total. $Y = 0{,}31 + 0{,}41 = 0{,}72\ \text{mm}$ .

Apartat c)

Resultat

Y \propto |q|

; per a 1,0 mm cal

q = -2{,}1\cdot10^{-13}\ \text{C}

Resolució

Proporcionalitat. $Y = \dfrac{|q|\,E}{m}\left(\tfrac{1}{2}\,t_{1}^{2} + t_{1}\,t_{2}\right)$ Amb la massa, la velocitat i la geometria fixades, Y és proporcional a |q|.
Càlcul. $|q| = 1{,}5\cdot10^{-13}\cdot\dfrac{1{,}0}{0{,}72} = 2{,}1\cdot10^{-13}\ \text{C}$ , és a dir, $q = -2{,}1\cdot10^{-13}\ \text{C}$ .
Funcionament. Variant la càrrega gota a gota es controla l'altura de cada punt del caràcter, mentre l'envàs avança per la cinta.

Apartat d)

Resultat

Sense càrrega: va recta; doble massa: es desvia la meitat (0,36 mm); amb el camp cap amunt, les gotes (negatives) es desvien cap avall.

Resolució

Gota sense càrrega. No nota cap força elèctrica i segueix recta: a les impressores reals va a parar a un canal que recupera la tinta.
Doble massa. Amb la mateixa càrrega té la meitat d'acceleració (a ∝ q/m) i es desvia la meitat: 0,36 mm.
Sentit. Com que les gotes són negatives, la força és oposada al camp: si el camp apunta cap amunt, es desvien cap avall.

Errors típics

Sumar el pes i la força elèctrica sense comparar ordres de magnitud, o creure que la gravetat és important en gotes tan petites.
Calcular la desviació final amb ½·a·t² fent servir el temps total, com si el camp actués també fora de les plaques.
Oblidar que la força sobre una càrrega negativa té sentit contrari al camp.
Pensar que la desviació depèn només de la càrrega i no de la relació q/m.

Conceptes treballats: força elèctrica en un camp uniforme, comparació amb el pes, moviment d'una partícula carregada (tir horitzontal), proporcionalitat, aplicacions industrials del camp elèctric.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

En fase gasosa, el clorur de sodi forma molècules NaCl. Un model senzill les descriu com un ió Na⁺ i un ió Cl⁻, que es tracten com a càrregues puntuals +e i −e separades 2,36· $10^{-10}$ m.
a) Calcula la força elèctrica i la força gravitatòria entre els dos ions i la relació entre totes dues. Interpreta el resultat.
b) Calcula l'energia potencial elèctrica del sistema, en joules i en electronvolts. Què significa el signe?
c) Quin treball mínim cal fer per separar els dos ions fins a una distància infinita? Experimentalment, aquesta energia val 5,7 eV. Raona per què el model sobreestima el valor real.
d) Calcula el potencial i el camp elèctric al punt mig entre els dos ions. Raona com és possible que el potencial sigui nul i el camp no.
Dades: k = 8,99· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ ; G = 6,67· $10^{-11}$ N· $\text{m}^{2}$ /kg²; e = 1,60· $10^{-19}$ C; m(Na⁺) = 3,82· $10^{-26}$ kg; m(Cl⁻) = 5,89· $10^{-26}$ kg; 1 eV = 1,60· $10^{-19}$ J.

Pista 1

Les dues forces depenen igual de la distància: la seva relació no depèn de r.

Pista 2

L'energia potencial d'un parell de càrregues és k· $q_{1}$ · $\tfrac{q_{2}}{r}$ , amb el signe de les càrregues. Pensa a quina situació correspon l'energia zero.

Pista 3

Al punt mig, els dos camps apunten en el mateix sentit (cap a l'ió negatiu), mentre que els potencials tenen signes contraris.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

F_{e} = 4{,}13\cdot10^{-9}\ \text{N}

(atractiva);

F_{g} = 2{,}69\cdot10^{-42}\ \text{N}

;

F_{e}/F_{g} = 1{,}5\cdot10^{33}

: la gravetat és negligible.

Resolució

Llei de Coulomb. $F_{e} = k\,\dfrac{e^{2}}{r^{2}} = \dfrac{8{,}99\cdot10^{9}\cdot(1{,}60\cdot10^{-19})^{2}}{(2{,}36\cdot10^{-10})^{2}} = 4{,}13\cdot10^{-9}\ \text{N}$ atractiva.
Llei de gravitació. $F_{g} = G\,\dfrac{m_{1}\,m_{2}}{r^{2}} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3{,}82\cdot10^{-26}\cdot5{,}89\cdot10^{-26}}{(2{,}36\cdot10^{-10})^{2}} = 2{,}69\cdot10^{-42}\ \text{N}$
Relació. $\dfrac{F_{e}}{F_{g}} = 1{,}5\cdot10^{33}$ . No depèn de r, perquè totes dues forces van amb $1/r^{2}$ .
Interpretació. A escala atòmica i molecular, la gravetat és absolutament negligible: l'enllaç químic és d'origen elèctric.

Apartat b)

Resultat

E_{p} = -9{,}75\cdot10^{-19}\ \text{J} = -6{,}09\ \text{eV}

; el signe negatiu indica que el sistema està lligat.

Resolució

Energia potencial d'un parell. $E_{p} = k\,\dfrac{(+e)(-e)}{r} = -\dfrac{8{,}99\cdot10^{9}\cdot(1{,}60\cdot10^{-19})^{2}}{2{,}36\cdot10^{-10}} = -9{,}75\cdot10^{-19}\ \text{J} = -6{,}09\ \text{eV}$
Origen d'energies. L'energia zero correspon als ions infinitament separats.
Significat del signe. El sistema té menys energia que els ions separats: està lligat i cal aportar energia per separar-los.

Apartat c)

Resultat

W_{\text{mín}} = 6{,}09\ \text{eV} \approx 6{,}1\ \text{eV}

; el model sobreestima el valor real (5,7 eV) perquè ignora la repulsió de curt abast entre els núvols electrònics.

Resolució

Treball mínim. Suposant que els ions acaben en repòs: $W_{\text{mín}} = E_{p,\infty} - E_{p} = 0 - (-6{,}09\ \text{eV}) = 6{,}09\ \text{eV} \approx 6{,}1\ \text{eV}$ .
Comparació. El valor real, 5,7 eV, és un 6 % més petit.
Per què. Quan els ions són molt a prop, els seus núvols electrònics es comencen a interpenetrar i apareix una repulsió de curt abast que el model de càrregues puntuals no té en compte. Aquesta repulsió fa que l'energia del sistema sigui una mica menys negativa i, de fet, és la que fixa la distància d'equilibri: sense ella els ions s'acostarien indefinidament.

Apartat d)

Resultat

V = 0

;

E = 2{,}07\cdot10^{11}\ \text{N/C}

, cap al Cl⁻.

Resolució

Potencial. Al punt mig, a $r/2 = 1{,}18\cdot10^{-10}\ \text{m}$ de cada ió: $V = k\,\dfrac{e}{r/2} + k\,\dfrac{-e}{r/2} = 0$ .
Camp. Tots dos camps apunten cap al Cl⁻ (el del Na⁺ s'allunya del Na⁺, el del Cl⁻ va cap al Cl⁻) i se sumen: $E = 2\,k\,\dfrac{e}{(r/2)^{2}} = \dfrac{8\,k\,e}{r^{2}} = 2{,}07\cdot10^{11}\ \text{N/C}$
Com és possible. El potencial és un escalar i les contribucions de signe oposat s'anul·len; el camp és un vector i està relacionat amb com varia el potencial d'un punt a un altre, no amb el seu valor en un punt. Al punt mig el potencial és zero però canvia molt ràpidament al llarg de l'eix, per això el camp és intens.
Equipotencial. El pla perpendicular a l'eix pel punt mig és una superfície equipotencial de V = 0.

Errors típics

Oblidar el signe de les càrregues en calcular l'energia potencial, o sumar els camps com a escalars.
Pensar que si el potencial en un punt és zero, el camp també ho ha de ser.
Comparar forces calculades a distàncies diferents per concloure quina és més intensa.
Confondre l'energia de lligam (positiva, treball que cal fer) amb l'energia potencial del sistema (negativa).

Conceptes treballats: llei de Coulomb, comparació entre interacció elèctrica i gravitatòria, energia potencial elèctrica d'un sistema de càrregues, electronvolt, superposició de camps i potencials, superfícies equipotencials.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

En una demostració de laboratori, dues petites esferes fixes amb càrrega Q = +2,0·10⁻⁸ C se situen als punts x = −5,0 cm i x = +5,0 cm d'una vareta aïllant horitzontal. Una perla de 0,10 g amb càrrega q = +1,0·10⁻⁹ C pot lliscar sense fregament al llarg de la vareta entre les dues esferes.
a) Raona per què el punt mig és una posició d'equilibri i si l'equilibri és estable per a desplaçaments al llarg de la vareta.
b) Demostra que, per a desplaçaments petits x respecte del centre (x molt menor que a = 5,0 cm), la força sobre la perla és aproximadament F = −(4·k·Q·q/a³)·x. Dedueix que la perla fa un moviment harmònic simple i calcula'n el període.
c) Es desplaça la perla 1,0 cm del centre i es deixa anar. Calcula, a partir de l'energia potencial elèctrica (sense aproximacions), la velocitat amb què passa pel centre i compara-la amb la que prediu el model de MHS. Interpreta la diferència.
d) Raona què passaria si la perla tingués càrrega negativa. I si la perla positiva no estigués lligada a la vareta i es pogués moure perpendicularment a la recta que uneix les esferes?
Dades: k = 8,99·10⁹ N·m²/C². Pots fer servir l'aproximació (1 ± u)⁻² ≈ 1 ∓ 2u per a u petit.

Pista 1

Desplaça mentalment la perla una mica cap a la dreta: quina de les dues esferes l'empeny més ara?

Pista 2

Escriu la força neta com k·Q·q·[1/(a + x)² − 1/(a − x)²] (amb el signe adequat) i treu factor comú 1/a² abans d'aplicar l'aproximació.

Pista 3

Per a l'apartat c), l'energia potencial de la perla és la suma k·Q·q/(a − x) + k·Q·q/(a + x). La diferència entre la posició inicial i el centre es converteix en energia cinètica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

La força neta al centre és zero, i l'equilibri és estable al llarg de la vareta.

Resolució

Equilibri. Al centre, les dues esferes repel·leixen la perla amb forces iguals i oposades: la força neta és nul·la.
Estabilitat. Si es desplaça cap a la dreta, s'acosta a l'esfera de la dreta i s'allunya de la de l'esquerra: la repulsió de la dreta guanya i la força neta l'empeny de tornada cap al centre.
Conclusió. L'equilibri és estable per a desplaçaments al llarg de la vareta.

Apartat b)

Resultat

F \approx -\dfrac{4\,k\,Q\,q}{a^{3}}\,x

(MHS) amb

k_{\text{ef}} = 5{,}75\cdot10^{-3}\ \text{N/m}

;

T = 0{,}83\ \text{s}

Resolució

Força neta. Per a un desplaçament x: $F = \dfrac{k\,Q\,q}{(a + x)^{2}} - \dfrac{k\,Q\,q}{(a - x)^{2}} = \dfrac{k\,Q\,q}{a^{2}}\left[\left(1 + \tfrac{x}{a}\right)^{-2} - \left(1 - \tfrac{x}{a}\right)^{-2}\right]$
Aproximació per a x petit. $F \approx \dfrac{k\,Q\,q}{a^{2}}\left[\left(1 - \tfrac{2x}{a}\right) - \left(1 + \tfrac{2x}{a}\right)\right] = -\dfrac{4\,k\,Q\,q}{a^{3}}\,x$ La força és proporcional al desplaçament i de sentit oposat: és recuperadora, i la perla fa un MHS.
Constant efectiva. $k_{\text{ef}} = \dfrac{4\,k\,Q\,q}{a^{3}} = \dfrac{4\cdot8{,}99\cdot10^{9}\cdot2{,}0\cdot10^{-8}\cdot1{,}0\cdot10^{-9}}{(0{,}050)^{3}} = 5{,}75\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$
Període. $\omega = \sqrt{\dfrac{k_{\text{ef}}}{m}} = \sqrt{\dfrac{5{,}75\cdot10^{-3}}{1{,}0\cdot10^{-4}}} = 7{,}59\ \text{rad/s}$ ; $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 0{,}83\ \text{s}$ .

Apartat c)

Resultat

v = 7{,}7\cdot10^{-2}\ \text{m/s}

(exacte) enfront de

7{,}6\cdot10^{-2}\ \text{m/s}

(MHS): un 2 % de diferència.

Resolució

Energia potencial. $E_{p}(x) = k\,Q\,q\left[\dfrac{1}{a - x} + \dfrac{1}{a + x}\right]$ , amb $k\,Q\,q = 1{,}798\cdot10^{-7}\ \text{J}\cdot\text{m}$ : $E_{p}(1{,}0\ \text{cm}) = 1{,}798\cdot10^{-7}\left(\dfrac{1}{0{,}040} + \dfrac{1}{0{,}060}\right) = 7{,}492\cdot10^{-6}\ \text{J};\quad E_{p}(0) = \dfrac{1{,}798\cdot10^{-7}\cdot2}{0{,}050} = 7{,}192\cdot10^{-6}\ \text{J}$
Conservació de l'energia. $\Delta E_{p} = 3{,}00\cdot10^{-7}\ \text{J} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^{2} \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{2\cdot3{,}00\cdot10^{-7}}{1{,}0\cdot10^{-4}}} = 7{,}7\cdot10^{-2}\ \text{m/s}$ .
Model de MHS. $v_{\text{màx}} = \omega\,A = 7{,}59\cdot0{,}010 = 7{,}6\cdot10^{-2}\ \text{m/s}$ .
Interpretació. La diferència és d'un 2 %: amb A/a = 0,2 el desplaçament ja no és tan petit, i la força real creix més de pressa que la lineal (a 1 cm la força real és $6{,}2\cdot10^{-5}\ \text{N}$ enfront de $5{,}8\cdot10^{-5}\ \text{N}$ del model). Per a amplituds més petites, l'acord seria millor.

Apartat d)

Resultat

Perla negativa: equilibri inestable. Moviment perpendicular: la perla positiva seria expulsada (estable en una direcció, inestable en l'altra).

Resolució

Càrrega negativa. Les dues esferes l'atrauen: si es desplaça cap a una, l'atracció d'aquella guanya i l'allunya encara més del centre. L'equilibri seria inestable (acabaria enganxada a una esfera).
Moviment perpendicular. Al llarg de la mediatriu el camp de les dues esferes apunta cap enfora (s'allunya del segment): la perla positiva seria expulsada. L'equilibri és estable en una direcció i inestable en l'altra.
Resultat general. Amb camps electrostàtics només no es pot atrapar una càrrega en equilibri estable en totes les direccions; per això les trampes d'ions dels laboratoris fan servir camps que varien amb el temps o camps magnètics.

Errors típics

Escriure la força neta sense tenir en compte que les dues forces tenen sentits oposats.
Aplicar l'aproximació abans de treure factor comú, o oblidar el factor 2 de (1 ± u)⁻².
Fer servir la k de Coulomb com si fos la constant recuperadora del MHS.
Pensar que un equilibri estable en una direcció ho és en totes.

Conceptes treballats: superposició de forces elèctriques, equilibri i estabilitat, energia potencial elèctrica, moviment harmònic simple, aproximacions per a desplaçaments petits.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Un generador de Van de Graaff d'un museu de ciència té una esfera conductora de 20 cm de radi. L'aire es fa conductor i salten guspires quan el camp elèctric supera 3,0· $10^{6}$ N/C.
a) Calcula la càrrega màxima que pot acumular l'esfera i el seu potencial màxim.
b) Raona per què, per aconseguir potencials més alts, cal construir esferes més grans.
c) Amb un fil conductor llarg i prim es connecta l'esfera, carregada al màxim, amb una altra esfera conductora de 5,0 cm de radi, inicialment descarregada i molt allunyada de la primera. Raona per què les dues esferes acaben al mateix potencial i calcula la càrrega final de cada esfera, el potencial comú i el camp a la superfície de cadascuna.
d) Interpreta el resultat de l'apartat c): què passarà a l'esfera petita? Relaciona-ho amb el funcionament dels parallamps i amb el fet que les guspires surtin sempre de les puntes.
Dades: k = 8,99· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ . Per a una esfera conductora de radi R i càrrega Q en equilibri: a l'exterior, el camp i el potencial són els d'una càrrega puntual Q situada al centre; a l'interior, el camp és nul i el potencial és constant i val k·Q/R.

Pista 1

El camp màxim d'una esfera carregada és just a la seva superfície. Fixa't en la relació entre el camp i el potencial a la superfície.

Pista 2

En dos conductors units per un fil conductor, les càrregues es mouen fins que ja no hi ha diferència de potencial entre ells. La càrrega total es conserva.

Pista 3

Si V és el mateix, la càrrega de cada esfera és proporcional al seu radi; i el camp a la superfície, E = $\tfrac{V}{R}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

Q_{\text{màx}} = 1{,}3\cdot10^{-5}\ \text{C}

;

V_{\text{màx}} = 6{,}0\cdot10^{5}\ \text{V}

Resolució

Relació a la superfície. $E = k\,\dfrac{Q}{R^{2}}$ i $V = k\,\dfrac{Q}{R}$ , de manera que $V = E\cdot R$ . El camp màxim és just a la superfície.
Càrrega màxima. $Q_{\text{màx}} = \dfrac{E_{\text{màx}}\,R^{2}}{k} = \dfrac{3{,}0\cdot10^{6}\cdot0{,}20^{2}}{8{,}99\cdot10^{9}} = 1{,}3\cdot10^{-5}\ \text{C}$
Potencial màxim. $V_{\text{màx}} = E_{\text{màx}}\cdot R = 3{,}0\cdot10^{6}\cdot0{,}20 = 6{,}0\cdot10^{5}\ \text{V}$ .

Apartat b)

Resultat

Perquè

V_{\text{màx}} = E_{\text{màx}}\cdot R

és proporcional al radi.

Resolució

Límit. El límit el posa el camp a la superfície (rigidesa dielèctrica de l'aire), no el potencial.
Conseqüència. $V_{\text{màx}} = E_{\text{màx}}\cdot R$ és proporcional al radi: per doblar el potencial màxim cal doblar el radi.
Aplicació. Els grans acceleradors electrostàtics de recerca tenen esferes de metres de radi i treballen dins de tancs de gasos aïllants, que suporten camps més intensos que l'aire.

Apartat c)

Resultat

Q_{1} = 1{,}07\cdot10^{-5}\ \text{C}

;

Q_{2} = 2{,}7\cdot10^{-6}\ \text{C}

;

V = 4{,}8\cdot10^{5}\ \text{V}

;

E_{1} = 2{,}4\cdot10^{6}\ \text{N/C}

;

E_{2} = 9{,}6\cdot10^{6}\ \text{N/C}

Resolució

Mateix potencial. El fil és conductor: si hi hagués diferència de potencial, les càrregues es mourien fins a anul·lar-la. Com que les esferes són molt allunyades, el potencial de cadascuna es deu pràcticament només a la seva càrrega.
Equacions. $k\,\dfrac{Q_{1}}{R} = k\,\dfrac{Q_{2}}{r}$ i, per conservació de la càrrega, $Q_{1} + Q_{2} = Q = 1{,}33\cdot10^{-5}\ \text{C}$ .
Càrregues. $Q_{1} = Q\,\dfrac{R}{R + r} = 1{,}07\cdot10^{-5}\ \text{C}$ ; $Q_{2} = Q\,\dfrac{r}{R + r} = 2{,}7\cdot10^{-6}\ \text{C}$ .
Potencial i camps. $V = k\,\dfrac{Q_{1}}{R} = 4{,}8\cdot10^{5}\ \text{V}$ (el mateix per a totes dues); $E_{1} = \dfrac{V}{R} = 2{,}4\cdot10^{6}\ \text{N/C}$ ; $E_{2} = \dfrac{V}{r} = 9{,}6\cdot10^{6}\ \text{N/C}$ .

Apartat d)

Resultat

L'esfera petita té un camp superficial molt per sobre de

3{,}0\cdot10^{6}\ \text{N/C}

: ionitzarà l'aire i es descarregarà. És l'efecte de puntes, el principi dels parallamps.

Resolució

Esfera petita. Té menys càrrega però un camp superficial quatre vegades més gran, molt per sobre dels $3{,}0\cdot10^{6}\ \text{N/C}$ : l'aire del seu voltant s'ionitzarà i l'esfera es descarregarà (efecte corona, guspires).
Radi de curvatura. En un conductor, com més petit és el radi de curvatura, més intens és el camp a la superfície per al mateix potencial ( $E = V/R$ ).
Puntes i parallamps. Per això les puntes concentren el camp i hi salten les descàrregues, i els parallamps s'acaben en punta: ionitzen l'aire del voltant i ofereixen un camí fàcil a la descàrrega, que així no passa per l'edifici.

Errors típics

Pensar que al final les dues esferes tenen la mateixa càrrega en lloc del mateix potencial.
Concloure que l'esfera petita té el camp més feble perquè té menys càrrega, sense tenir en compte el radi.
Fer servir la relació V = E·R a l'interior de l'esfera, on el camp és nul.
Oblidar que la càrrega total es conserva quan es connecten els conductors.

Conceptes treballats: camp i potencial d'una esfera conductora, rigidesa dielèctrica de l'aire, conductors en equilibri, conservació de la càrrega, efecte de puntes.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

L'injector d'un accelerador de protons per a protonteràpia comença amb una etapa electrostàtica: dos elèctrodes plans i paral·lels separats 2,0 cm, en el buit, amb una diferència de potencial de 50 kV. Els protons entren pràcticament en repòs per un orifici del primer elèctrode i surten per un orifici del segon.
a) Calcula el camp elèctric entre els elèctrodes, l'acceleració dels protons, la velocitat amb què surten i el temps que tarden a travessar l'etapa.
b) Expressa l'energia cinètica final en electronvolts i en joules. Raona per què és pràctic fer servir l'electronvolt.
c) Si la mateixa etapa, amb la polaritat invertida, accelerés electrons, quina velocitat tindrien segons la física clàssica? Demostra que la relació entre les velocitats d'electrons i protons és $\sqrt{\tfrac{m_{p}}{m_{e}}}$ .
d) Interpreta el resultat de c): és fiable? Per què l'etapa ha de ser al buit? I per què els acceleradors mèdics no fan servir una sola etapa electrostàtica de milions de volts, sinó moltes etapes successives?
Dades: e = 1,60· $10^{-19}$ C; $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg; c = 3,00· $10^{8}$ m/s; rigidesa dielèctrica de l'aire: 3· $10^{6}$ V/m; energia en repòs de l'electró: 0,511 MeV.

Pista 1

Entre plaques planes el camp és uniforme i val ΔV/d. El treball que el camp fa sobre el protó és q·ΔV.

Pista 2

L'energia cinètica final no depèn de la massa de la partícula, només de la càrrega i de la diferència de potencial.

Pista 3

Compara la velocitat dels electrons amb c i l'energia cinètica amb l'energia en repòs.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

E = 2{,}5\cdot10^{6}\ \text{V/m}

;

a = 2{,}4\cdot10^{14}\ \text{m/s}^{2}

;

v = 3{,}1\cdot10^{6}\ \text{m/s}

;

t = 1{,}3\cdot10^{-8}\ \text{s}

Resolució

Dades. $\Delta V = 5{,}0\cdot10^{4}\ \text{V}$ , $d = 0{,}020\ \text{m}$ , $m_{p} = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ ; els protons parteixen pràcticament del repòs.
Camp uniforme i acceleració. $E = \dfrac{\Delta V}{d} = \dfrac{5{,}0\cdot10^{4}}{0{,}020} = 2{,}5\cdot10^{6}\ \text{V/m}$ ; $a = \dfrac{e\,E}{m_{p}} = \dfrac{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot2{,}5\cdot10^{6}}{1{,}67\cdot10^{-27}} = 2{,}4\cdot10^{14}\ \text{m/s}^{2}$
Velocitat (treball i energia). $e\,\Delta V = \tfrac{1}{2}\,m_{p}\,v^{2}\ \Rightarrow\ v = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\cdot5{,}0\cdot10^{4}}{1{,}67\cdot10^{-27}}} = 3{,}1\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ Un 1 % de c: el tractament clàssic és correcte.
Temps. $t = \dfrac{v}{a} = 1{,}3\cdot10^{-8}\ \text{s}$ .

Apartat b)

Resultat

E_{c} = 50\ \text{keV} = 8{,}0\cdot10^{-15}\ \text{J}

Resolució

Energia cinètica. $E_{c} = e\,\Delta V = 50\ \text{keV} = 1{,}60\cdot10^{-19}\cdot5{,}0\cdot10^{4} = 8{,}0\cdot10^{-15}\ \text{J}$ .
Per què l'electronvolt. En eV l'energia és directament la diferència de potencial (en volts) multiplicada pel nombre de càrregues elementals: s'evita treballar amb potències de 10 molt petites, i les energies atòmiques i nuclears queden en valors manejables (eV, keV, MeV).

Apartat c)

Resultat

v_{e} = 1{,}33\cdot10^{8}\ \text{m/s} = 0{,}44\,c

(clàssic);

v_{e}/v_{p} = \sqrt{m_{p}/m_{e}} = 42{,}8

Resolució

Mateixa energia. Amb la mateixa ΔV, els electrons adquireixen la mateixa energia cinètica que els protons (només depèn de la càrrega i de ΔV): $\tfrac{1}{2}\,m_{e}\,v_{e}^{2} = \tfrac{1}{2}\,m_{p}\,v_{p}^{2}\ \Rightarrow\ \dfrac{v_{e}}{v_{p}} = \sqrt{\dfrac{m_{p}}{m_{e}}} = 42{,}8$
Càlcul. $v_{e} = 42{,}8\cdot3{,}10\cdot10^{6} = 1{,}33\cdot10^{8}\ \text{m/s} = 0{,}44\,c$ .

Apartat d)

Resultat

No és fiable (calen correccions relativistes: uns 0,41·c). Cal el buit per evitar guspires i col·lisions, i es fan moltes etapes perquè una sola de milions de volts no es pot aïllar.

Resolució

Fiabilitat. L'energia cinètica (50 keV) ja és un 10 % de l'energia en repòs de l'electró (511 keV), i a 0,44·c els efectes relativistes són importants; la velocitat real és més petita que la clàssica (la relativitat dona uns 0,41·c). Per als protons, en canvi, 50 keV és molt menys que la seva energia en repòs i la física clàssica funciona bé.
Per què al buit. El camp ( $2{,}5\cdot10^{6}\ \text{V/m}$ ) és proper a la rigidesa dielèctrica de l'aire i hi saltarien guspires; a més, els protons xocarien amb les molècules de l'aire i perdrien energia.
Per què moltes etapes. Una sola etapa de milions de volts requeriria aïllaments enormes (el problema de les guspires creix amb la tensió); és molt més pràctic fer passar les partícules moltes vegades per diferències de potencial moderades (acceleradors lineals i ciclotrons), cosa que permet arribar als ~200 MeV necessaris per a la protonteràpia.

Errors típics

Fer servir la massa de l'electró en lloc de la del protó (o al revés).
Pensar que, amb la mateixa diferència de potencial, la partícula més massiva guanya més energia.
Aplicar la mecànica clàssica sense comprovar si la velocitat és comparable a c.
Confondre el camp elèctric (V/m) amb la diferència de potencial (V).

Conceptes treballats: camp elèctric uniforme, diferència de potencial, treball elèctric i energia cinètica, electronvolt, límits de la mecànica clàssica (relativitat), aplicacions mèdiques dels acceleradors.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Un analitzador electrostàtic d'energia separa electrons segons la seva energia cinètica. Consta de dues plaques horitzontals paral·leles separades 1,0 cm, amb un camp elèctric uniforme de 2,0· $10^{4}$ N/C dirigit cap amunt (de la placa inferior a la superior). Els electrons entren per una escletxa de la placa inferior amb una velocitat que forma 45° amb la placa.
a) Raona per què la trajectòria dels electrons dins l'analitzador és parabòlica i quina analogia hi ha amb el tir parabòlic.
b) Per a electrons de 200 eV, calcula l'altura màxima que assoleixen i comprova que no toquen la placa superior.
c) Calcula a quina distància de l'escletxa d'entrada tornen a la placa inferior i quant temps passen dins l'analitzador.
d) Demostra que la distància d'arribada és x = 2· $E_{c}$ ·sin(2θ)/(e·E) i, per tant, proporcional a l'energia cinètica. Quina energia tenen els electrons que arriben a un detector situat a 3,0 cm de l'escletxa? Quina energia màxima poden tenir els electrons perquè no toquin la placa superior?
e) Raona què passaria si hi entressin protons de 200 eV amb el camp invertit.
Dades: e = 1,60· $10^{-19}$ C; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg.

Pista 1

La força sobre l'electró és constant i té el sentit contrari al camp. Compara-ho amb el pes en un tir parabòlic.

Pista 2

Escriu l'acceleració com e·E/m i la velocitat inicial a partir de l'energia cinètica; a les expressions del tir parabòlic, el producte m· $v^{2}$ es pot substituir per 2· $E_{c}$ .

Pista 3

L'altura màxima és la del tir parabòlic, $v^{2}$ ·sin²θ/(2a), i l'abast, $v^{2}$ ·sin(2θ)/a.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

La força sobre l'electró és constant (

e\,E

, cap avall): com en el tir parabòlic, amb

a = e\,E/m

en lloc de g.

Resolució

Força. El camp és uniforme i apunta cap amunt; sobre l'electró (càrrega negativa) actua una força constant cap avall, $F = e\,E$ .
Analogia. És exactament la mateixa situació que un projectil sota el pes: acceleració constant perpendicular a les plaques i velocitat constant paral·lela a les plaques.
Conclusió. La trajectòria és una paràbola, amb $a = e\,E/m$ en lloc de g.

Apartat b)

Resultat

h_{\text{màx}} = 5{,}0\ \text{mm}

< 10 mm: no toca la placa superior.

Resolució

Altura màxima del tir parabòlic. $h_{\text{màx}} = \dfrac{v^{2}\sin^{2}\theta}{2a} = \dfrac{(2E_{c}/m)\sin^{2}\theta}{2\,e\,E/m} = \dfrac{E_{c}\sin^{2}\theta}{e\,E}$
Càlcul. Amb $E_{c} = 200\ \text{eV}$ , $E_{c}/e = 200\ \text{V}$ : $h_{\text{màx}} = \dfrac{200\cdot0{,}5}{2{,}0\cdot10^{4}} = 5{,}0\cdot10^{-3}\ \text{m} = 5{,}0\ \text{mm}$ .
Comprovació. 5,0 mm < 10 mm: no toca la placa superior.

Apartat c)

Resultat

x = 2{,}0\ \text{cm}

;

t = 3{,}4\cdot10^{-9}\ \text{s}

Resolució

Abast. $x = \dfrac{v^{2}\sin(2\theta)}{a} = \dfrac{2\,E_{c}\sin(2\theta)}{e\,E} = \dfrac{2\cdot200\cdot1}{2{,}0\cdot10^{4}} = 2{,}0\cdot10^{-2}\ \text{m} = 2{,}0\ \text{cm}$
Velocitat i acceleració. $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot200\cdot1{,}60\cdot10^{-19}}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = 8{,}38\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ ; $a = \dfrac{e\,E}{m} = 3{,}51\cdot10^{15}\ \text{m/s}^{2}$ .
Temps de vol. $t = \dfrac{2\,v\sin\theta}{a} = 3{,}4\cdot10^{-9}\ \text{s}$ .

Apartat d)

Resultat

x = \dfrac{2\,E_{c}\sin(2\theta)}{e\,E}

(proporcional a

E_{c}

); a 3,0 cm arriben electrons de 300 eV; l'energia màxima és 400 eV.

Resolució

Demostració. L'expressió s'ha obtingut a l'apartat c) substituint $m\,v^{2} = 2\,E_{c}$ i $a = e\,E/m$ a l'abast del tir parabòlic: x és proporcional a $E_{c}$ , de manera que la posició d'arribada «mesura» l'energia.
Detector a 3,0 cm. $E_{c} = \dfrac{e\,E\,x}{2\sin 90^\circ} \Rightarrow \dfrac{E_{c}}{e} = \dfrac{2{,}0\cdot10^{4}\cdot0{,}030}{2} = 300\ \text{V}$ , és a dir, 300 eV.
Energia màxima. Per no tocar la placa superior, $h_{\text{màx}} \le d$ : $E_{c} \le \dfrac{e\,E\,d}{\sin^{2}\theta} \Rightarrow E_{c} \le \dfrac{2{,}0\cdot10^{4}\cdot0{,}010}{0{,}5}\ \text{eV} = 400\ \text{eV}$ .
Interpretació. Els electrons més energètics es perden a la placa superior, i això fixa el rang útil de l'instrument (fins a una distància d'arribada de 4,0 cm).

Apartat e)

Resultat

Farien la mateixa trajectòria, però unes 43 vegades més a poc a poc: l'analitzador classifica per energia per unitat de càrrega, no per massa.

Resolució

Independència de la massa. Les expressions de $h_{\text{màx}}$ i x només depenen de $E_{c}/(|q|\,E)$ , no de la massa.
Protons de 200 eV. Amb el camp invertit perquè la força apunti cap avall, farien exactament la mateixa trajectòria, però molt més a poc a poc: com que $v \propto 1/\sqrt{m}$ , trigarien $\sqrt{m_{p}/m_{e}} \approx 43$ vegades més temps.
Conclusió. Un analitzador així classifica les partícules per energia per unitat de càrrega, no per massa.

Errors típics

Posar la força sobre l'electró en el sentit del camp.
Fer servir g en lloc de l'acceleració elèctrica, o sumar-hi el pes (és unes 10¹⁴ vegades més petit que la força elèctrica).
Calcular la velocitat a partir de l'energia en eV sense passar-la a joules.
Pensar que la trajectòria depèn de la massa de la partícula quan se'n fixa l'energia cinètica.

Conceptes treballats: moviment d'una càrrega en un camp elèctric uniforme, analogia amb el tir parabòlic, energia cinètica i electronvolt, instruments de mesura: analitzadors d'energia.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

a) Amb bon temps, a prop del terra hi ha un camp elèctric vertical, dirigit cap avall, d'uns 130 N/C. Calcula la diferència de potencial entre el cap i els peus d'una persona d'1,80 m dreta en un camp obert. Raona per què, tot i això, no notem cap descàrrega i com són les superfícies equipotencials al voltant de la persona.
b) Modelitza la Terra com una esfera conductora (camp a la superfície E = k· $\text{Q/R}^{2}$ , com si tota la càrrega fos al centre). Calcula la càrrega neta de la superfície terrestre i digues-ne el signe.
c) Durant una tempesta a la Plana de Vic, la base del núvol és a 1,2 km d'altura i el camp mitjà entre el núvol i el terra és de 2,0· $10^{5}$ N/C. Calcula la diferència de potencial entre el núvol i el terra i l'energia alliberada per un llamp que transfereix 15 C (suposa que la diferència de potencial es manté constant durant la descàrrega). Expressa-la en kWh i compara-la amb el consum anual d'una llar, uns 3500 kWh.
d) Raona per què no és viable aprofitar l'energia dels llamps.
Dades: k = 8,99· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ ; $R_{T}$ = 6,37· $10^{6}$ m; 1 kWh = 3,6· $10^{6}$ J.

Pista 1

En un camp uniforme, la diferència de potencial entre dos punts separats una distància d en la direcció del camp és E·d. Pensa què passa quan hi col·loques un conductor.

Pista 2

El camp d'una càrrega negativa apunta cap a la càrrega.

Pista 3

El treball que fa el camp en moure una càrrega q entre dos punts és q·ΔV.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

\Delta V = 234\ \text{V} \approx 2{,}3\cdot10^{2}\ \text{V}

. No notem res perquè el cos, conductor i en contacte amb el terra, queda pràcticament al potencial del terra; les equipotencials es deformen i l'envolten.

Resolució

Camp uniforme. $\Delta V = E\cdot d = 130\cdot1{,}80 = 234\ \text{V} \approx 2{,}3\cdot10^{2}\ \text{V}$ (el cap seria al potencial més alt, perquè el camp apunta cap avall).
Per què no hi ha descàrrega. El cos humà és conductor i està en contacte amb el terra: tot el cos queda pràcticament al mateix potencial que el terra. No hi ha corrent apreciable perquè l'aire és molt mal conductor i la càrrega necessària per mantenir l'equipotencial és minúscula.
Equipotencials. Lluny de la persona són plans horitzontals; a prop seu es deformen i l'envolten (s'hi «apilen» per sobre del cap), i el camp es concentra al cap.

Apartat b)

Resultat

Q \approx -5{,}9\cdot10^{5}\ \text{C}

(negativa).

Resolució

Esfera conductora. $E = k\,\dfrac{|Q|}{R^{2}} \Rightarrow |Q| = \dfrac{E\,R^{2}}{k}$ .
Càlcul. $|Q| = \dfrac{130\cdot(6{,}37\cdot10^{6})^{2}}{8{,}99\cdot10^{9}} = 5{,}9\cdot10^{5}\ \text{C}$
Signe. Com que el camp apunta cap avall, cap a la Terra, la càrrega és negativa: $Q \approx -5{,}9\cdot10^{5}\ \text{C}$ . L'atmosfera alta té una càrrega positiva equivalent: el conjunt és com un condensador gegant que les tempestes mantenen carregat.

Apartat c)

Resultat

\Delta V = 2{,}4\cdot10^{8}\ \text{V}

;

W = 3{,}6\cdot10^{9}\ \text{J} = 1{,}0\cdot10^{3}\ \text{kWh}

, unes 0,29 vegades el consum anual d'una llar (uns 3–4 mesos).

Resolució

Diferència de potencial. $\Delta V = E\cdot h = 2{,}0\cdot10^{5}\cdot1200 = 2{,}4\cdot10^{8}\ \text{V}$ .
Treball elèctric. $W = q\,\Delta V = 15\cdot2{,}4\cdot10^{8} = 3{,}6\cdot10^{9}\ \text{J}$ .
En kWh. $\dfrac{3{,}6\cdot10^{9}}{3{,}6\cdot10^{6}} = 1{,}0\cdot10^{3}\ \text{kWh}$ , unes 0,29 vegades el consum anual d'una llar (3500 kWh): amb un llamp n'hi hauria per a uns 3–4 mesos.

Apartat d)

Resultat

Perquè l'energia arriba en microsegons (potències enormes impossibles d'emmagatzemar), en llocs i moments imprevisibles, i en gran part es dissipa a l'aire.

Resolució

Temps. L'energia és considerable, però es descarrega en un temps de l'ordre de desenes de microsegons, amb potències de l'ordre de $10^{14}\ \text{W}$ que cap sistema pot emmagatzemar.
Imprevisibilitat. No se sap on ni quan caurà cada llamp, i en un punt concret cauen molt pocs llamps a l'any.
Pèrdues. La major part de l'energia es dissipa en escalfar i il·luminar l'aire i en el tro, abans d'arribar a terra.
Conclusió. Per això els parallamps només serveixen per protegir, no per captar energia.

Errors típics

Pensar que una diferència de potencial de centenars de volts implica necessàriament un corrent perillós: cal també un camí conductor i càrrega disponible.
Equivocar el signe de la càrrega de la Terra a partir del sentit del camp.
Calcular l'energia del llamp com ½·q·ΔV o fer servir el camp en lloc de la diferència de potencial.
Convertir malament entre J i kWh.

Conceptes treballats: camp elèctric uniforme i diferència de potencial, superfícies equipotencials i conductors, camp d'una esfera carregada, treball elèctric i energia, electricitat atmosfèrica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

a) Calcula la relació entre la força elèctrica i la força gravitatòria entre un protó i un electró. Raona per què no depèn de la distància.
b) Imagina que la Terra i la Lluna tinguessin totes dues la mateixa càrrega negativa Q. Quina hauria de ser Q perquè la repulsió elèctrica compensés exactament l'atracció gravitatòria? Demostra que el resultat no depèn de la distància Terra–Lluna.
c) Suposant que la Lluna té aproximadament el mateix nombre de protons que de neutrons i que la massa dels electrons és negligible, estima el nombre de protons de la Lluna. Quina fracció d'electrons en excés (respecte del nombre de protons) representaria la càrrega Q?
d) Interpreta els resultats: si la interacció elèctrica és tan més intensa que la gravitatòria, per què el moviment dels planetes i les galàxies el governa la gravetat? Indica dues diferències essencials entre totes dues interaccions.
Dades: k = 8,99· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ ; G = 6,67· $10^{-11}$ N· $\text{m}^{2}$ /kg²; e = 1,60· $10^{-19}$ C; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg; $m_{p}$ ≈ $m_{n}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg; $M_{T}$ = 5,97· $10^{24}$ kg; $M_{L}$ = 7,35· $10^{22}$ kg.

Pista 1

Totes dues forces són inversament proporcionals al quadrat de la distància.

Pista 2

Iguala k· $\tfrac{Q^{2}}{d^{2}}$ amb G· $M_{T}$ · $\tfrac{M_{L}}{d^{2}}$ .

Pista 3

Si hi ha tants protons com neutrons, cada parell protó + neutró aporta una massa de 2· $m_{p}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

F_{e}/F_{g} = 2{,}3\cdot10^{39}

; no depèn de la distància perquè totes dues forces van amb

1/r^{2}

Resolució

Quocient. $\dfrac{F_{e}}{F_{g}} = \dfrac{k\,e^{2}/r^{2}}{G\,m_{e}\,m_{p}/r^{2}} = \dfrac{k\,e^{2}}{G\,m_{e}\,m_{p}}$
Càlcul. $\dfrac{F_{e}}{F_{g}} = \dfrac{8{,}99\cdot10^{9}\cdot(1{,}60\cdot10^{-19})^{2}}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot1{,}67\cdot10^{-27}} = 2{,}3\cdot10^{39}$
Independència de r. Com que totes dues forces varien com $1/r^{2}$ , el factor $r^{2}$ se simplifica.

Apartat b)

Resultat

Q = 5{,}7\cdot10^{13}\ \text{C}

(negativa); la distància se simplifica.

Resolució

Condició. $k\,\dfrac{Q^{2}}{d^{2}} = G\,\dfrac{M_{T}\,M_{L}}{d^{2}}\ \Rightarrow\ Q = \sqrt{\dfrac{G\,M_{T}\,M_{L}}{k}}$ La distància d se simplifica per la mateixa raó que a l'apartat a).
Càlcul. $Q = \sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{8{,}99\cdot10^{9}}} = 5{,}7\cdot10^{13}\ \text{C}$
Observació. Si la Lluna, a més, estigués en repòs, quedaria en equilibri a qualsevol distància.

Apartat c)

Resultat

N_{p} \approx 2{,}2\cdot10^{49}

protons;

3{,}6\cdot10^{32}

electrons en excés; fracció

\approx 1{,}6\cdot10^{-17}

Resolució

Protons de la Lluna. Cada parell protó + neutró aporta $2\,m_{p}$ : $N_{p} \approx \dfrac{M_{L}}{2\,m_{p}} = \dfrac{7{,}35\cdot10^{22}}{2\cdot1{,}67\cdot10^{-27}} = 2{,}2\cdot10^{49}$
Electrons en excés. $\dfrac{Q}{e} = \dfrac{5{,}7\cdot10^{13}}{1{,}60\cdot10^{-19}} = 3{,}6\cdot10^{32}$ .
Fracció. $\dfrac{3{,}6\cdot10^{32}}{2{,}2\cdot10^{49}} = 1{,}6\cdot10^{-17}$ : un desequilibri de menys d'un electró de més per cada $10^{16}$ protons bastaria per anul·lar l'atracció entre la Terra i la Lluna.

Apartat d)

Resultat

Perquè la matèria és neutra amb una precisió extraordinària: les càrregues de signe oposat s'anul·len, mentre que la massa, sempre positiva, s'acumula.

Resolució

Interpretació. Que la gravetat governi el cosmos indica que la matèria és neutra amb una precisió extraordinària.
Diferència 1. La càrrega pot ser positiva o negativa i les càrregues s'anul·len (els cossos grans són neutres), mentre que la massa és sempre positiva i s'acumula.
Diferència 2. La interacció elèctrica pot ser atractiva o repulsiva; la gravitatòria és sempre atractiva. A més, la constant k és enormement més gran que G en proporció a les càrregues i masses de les partícules.
Conclusió. A escala atòmica domina la interacció elèctrica; a escala astronòmica, la gravitatòria.

Errors típics

Comparar les forces amb càrregues o masses diferents o a distàncies diferents.
Oblidar que la massa de la Lluna correspon a protons i neutrons i no només a protons.
Concloure que la gravetat és més «forta» perquè governa el moviment dels astres.
Treballar amb $Q^{2}$ i oblidar fer l'arrel quadrada.

Conceptes treballats: llei de Coulomb, llei de gravitació universal, analogies i diferències entre camp elèctric i gravitatori, quantització i conservació de la càrrega, ordres de magnitud.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

En una pràctica amb un muntatge tipus Millikan, unes gotetes d'oli amb càrrega negativa es mantenen immòbils entre dues plaques horitzontals separades 8,0 mm, ajustant la diferència de potencial entre les plaques. La massa de cada gota s'ha determinat prèviament mesurant la seva velocitat de caiguda sense camp. Els resultats són:
gota A: m = 2,94· $10^{-15}$ kg, V = 480 V;
gota B: m = 4,10· $10^{-15}$ kg, V = 402 V;
gota C: m = 1,62· $10^{-15}$ kg, V = 397 V;
gota D: m = 5,35· $10^{-15}$ kg, V = 374 V.
a) Quina de les dues plaques ha d'estar a més potencial? Raona-ho.
b) Calcula la càrrega de cada gota.
c) Raona, a partir d'aquests resultats, que la càrrega elèctrica està quantitzada. Fes una estimació del valor de la càrrega elemental i indica quants electrons en excés té cada gota.
d) Si a la gota C se li dobla de cop la tensió, quina acceleració adquireix just en aquell instant? I si, mantenint 397 V, la gota C captura un electró més?
Dades: g = 9,81 $\text{m/s}^{2}$ . Negligeix l'empenyiment de l'aire.

Pista 1

En equilibri, la força elèctrica equilibra el pes; la força sobre una càrrega negativa té sentit contrari al camp, i el camp va dels potencials alts als baixos.

Pista 2

De l'equilibri, |q|· $\tfrac{V}{d} = m$ ·g. Busca un valor que divideixi totes les càrregues obtingudes donant (aproximadament) nombres enters.

Pista 3

Per a d), escriu la segona llei de Newton amb la força elèctrica nova i el pes; just en aquell instant la gota encara està en repòs, i la resistència de l'aire és nul·la.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

La placa superior ha d'estar a més potencial.

Resolució

Equilibri. La força elèctrica ha d'anar cap amunt per equilibrar el pes.
Càrrega negativa. Sobre una càrrega negativa la força és oposada al camp, de manera que el camp ha d'apuntar cap avall: va de la placa superior a la inferior.
Conclusió. Com que el camp va dels potencials alts als baixos, la placa superior ha d'estar a més potencial.

Apartat b)

Resultat

|q_{A}| = 4{,}81\cdot10^{-19}\ \text{C}

;

|q_{B}| = 8{,}00\cdot10^{-19}\ \text{C}

;

|q_{C}| = 3{,}20\cdot10^{-19}\ \text{C}

;

|q_{D}| = 1{,}12\cdot10^{-18}\ \text{C}

Resolució

Equilibri de forces. $|q|\,E = m\,g$ amb $E = V/d$ : $|q| = \dfrac{m\,g\,d}{V}$
Gota A. $|q| = \dfrac{2{,}94\cdot10^{-15}\cdot9{,}81\cdot8{,}0\cdot10^{-3}}{480} = 4{,}81\cdot10^{-19}\ \text{C}$
Gotes B, C i D. Igualment: B, $8{,}00\cdot10^{-19}\ \text{C}$ ; C, $3{,}20\cdot10^{-19}\ \text{C}$ ; D, $1{,}12\cdot10^{-18}\ \text{C}$ .

Apartat c)

Resultat

Totes les càrregues són múltiples enters d'uns

1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}

: 3, 5, 2 i 7 electrons en excés;

e \approx 1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}

Resolució

Quantització. Les càrregues no prenen qualsevol valor: totes són, dins l'error experimental, múltiples enters d'un mateix valor. Les diferències entre càrregues (B − A = $3{,}20\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , A − C = $1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$ ) també ho són, i la més petita és d'uns $1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ .
Nombre d'electrons. Dividint per aquest valor: A ≈ 3,00; B ≈ 5,00; C ≈ 2,00; D ≈ 7,02, és a dir, 3, 5, 2 i 7 electrons en excés.
Estimació d'e. La millor estimació s'obté amb la suma: $e = \dfrac{(4{,}81 + 8{,}00 + 3{,}20 + 11{,}23)\cdot10^{-19}}{3 + 5 + 2 + 7} = 1{,}60\cdot10^{-19}\ \text{C}$
Precaució. Amb poques gotes, totes podrien ser múltiples de $0{,}80\cdot10^{-19}\ \text{C}$ ; Millikan en va mesurar centenars i mai va trobar cap càrrega que no fos múltiple d'e.

Apartat d)

Resultat

Tensió doble:

a = g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}

cap amunt. Un electró més (3e):

a = 0{,}5\,g = 4{,}9\ \text{m/s}^{2}

cap amunt.

Resolució

Segona llei de Newton (tensió doble). La força elèctrica passa a ser $2\,m\,g$ cap amunt: $a = \dfrac{2\,m\,g - m\,g}{m} = g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ cap amunt.
Un electró més. La gota C passa de 2e a 3e: la força elèctrica es multiplica per 3/2 i val $1{,}5\,m\,g$ ; $a = 0{,}5\,g = 4{,}9\ \text{m/s}^{2}$ , cap amunt.
A l'experiment real. La resistència de l'aire fa que la gota assoleixi de seguida una velocitat constant, i Millikan feia servir precisament aquests canvis de velocitat per detectar quan una gota guanyava o perdia electrons.

Errors típics

Pensar que la força elèctrica sobre la gota té el sentit del camp, encara que la càrrega sigui negativa.
Fer servir la separació en mm o la massa en grams sense passar-les al SI.
Considerar que una sola mesura demostra la quantització; cal un conjunt de valors que siguin múltiples enters d'un mateix nombre.
Calcular e com la mitjana de les quatre càrregues en lloc de dividir cadascuna pel seu nombre d'electrons.

Conceptes treballats: camp elèctric uniforme entre plaques, equilibri de forces, relació entre camp i diferència de potencial, quantització de la càrrega, anàlisi de dades experimentals, segona llei de Newton.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Quina diferència hi ha entre el camp elèctric i el potencial?

El camp és una magnitud vectorial que indica la força per unitat de càrrega. El potencial és escalar i indica l'energia potencial per unitat de càrrega. Els potencials se sumen sense vectors.

Un protó i un electró dins del mateix camp tenen la mateixa acceleració?

No. Tenen la mateixa força en mòdul però en sentit contrari, i com que l'electró té molta menys massa, la seva acceleració és molt més gran.

Tornar a Física