PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 2

2. La matriu de coeficients d’un sistema d’equacions lineals homogeni és a) Per a quins valors del paràmetre a el sistema té una sola solució? Quina és aquesta solució única? b) Resoleu el sistema si a = 2. [1 punt per cada apartat]

2.- La matriu de coeficients d’un sistema d’equacions lineals homogeni és −1 2 3   A = 2 1 −a 0 .  4 1 2a + 2 (a) Per a quins valors del paràmetre a el sistema té una sola solució? Quina és aquesta solució única? (b) Resoleu el sistema si a = 2 . [1 punt per cada apartat] Solució (a) Els sistemes homogenis (aquells en què tots el termes independents són nuls) són sempre com- patibles. Per tant, cal buscar el valor de a perquè sigui determinat. És a dir, els valors de a perquè rang A = 3 . Ho podem fer calculant el determinant d’aquesta matriu. −1 2 3 = 2a2 + 4a −16 . det A = 2 1 −a 0 4 1 2a + 2 L’equació 2a2 + 4a −16 = 0 té com a solucions a = −4, a = 2 . Llavors, si a̸ = −4 i a̸ = 2, el rang de la matriu A és igual a 3 , el sistema és compatible determinat i l’única solució és la solució trivial, També es pot resoldre la qüestió buscant el rang de la matriu A mitjançant el mètode de Gauss, −1 2 3 −1 2 3     2 1 −a 0 0 5 −a 6 −→    4 1 2a + 2 0 9 2a + 14 Aconseguida aquesta […]