PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 5

5. Considereu els punts A = (–1, 2, 4) i B = (3, 0, –2). a) Trobeu l’equació del pla format per tots els punts que equidisten de A i B. b) Donat un punt C = (x, y, z), dividim el segment en tres parts iguals i obtenim els punts A, A1, B i C. Trobeu el punt C. [1 punt per cada apartat]

5.- Considereu els punts A = (−1, 2, 4) i B = (3, 0, −2). (a) Trobeu l’equació del pla format per tots els punts que equidisten de A i B. (b) Donat un punt C = (x, y, z), dividim el segment AC en tres parts iguals, obtenint els punts A, A1, B i C. Trobeu el punt C. [1 punt per cada apartat] (a) Descriurem dues solucions. Solució 1 Els punts X que equidisten de A i B compleixen que d(A, X) = d(B, X). És a dir, q q (x + 1)2 + (y −2)2 + (z −4)2 = (x −3)2 + y2 + (z + 2)2 . Elevant al quadrat els dos membres de l’equació, fent les operacions indicades i les simplificacions adequades, arribem a 2x −y −3z + 2 = 0 , que és l’equació del pla buscat. Solució 2 El pla buscat és el que passa pel punt mig del segment AB, amb vector característic −−→ AB. El punt mig és M = A + B = (1, 1, 1), i el vector és −−→ AB = (4, −2, −6). L’equació del pla es pot escriure com és a dir, 2x −y −3z + 2 = 0 . 4(x −1) −2(y −1) −6(z −1) = 0 ; (b) Explicitarem tres solucions. Solució 1 Quan dividim un segment AC en tr […]