PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 4

4. Per a x ≥ 1, considereu la funció . a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d’abscissa igual a 10. b) Calculeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de f(x), la recta d’equació x = 5 i l’eix OX. [1 punt per cada apartat]

4.- Per a x ≥1, considereu la funció f(x) = +√x −1 . (a) Trobeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d’abscissa igual a 10 . (b) Calculeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de f(x), la recta d’equació x = 5 i l’eix OX. [1 punt per cada apartat] Solució (a) L’equació de la recta tangent a la gràfica d’una funció y = f(x) en el punt d’abscissa x = a és y = f(a) + f′(a)(x −a). En el nostre cas, i com que f′(x) = 2√x −1 , tenim √ 2√10 −1 = 1 f′(10) = a = 10 ; f(10) = 10 −1 = 3 ; 6 . L’equació buscada és y = 3 + 1 6 (x −10) o, en forma implícita, x −6y + 8 = 0 . (b) Busquem la intersecció entre l’eix OX i la corba. L’equació y = 0 és la que correspon a aquest eix. Per tant el punt de tall és la solució de +√x −1 = 0 , és a dir, x = 1 . = + − y x 1 1 5 L’àrea buscada és Z 5 Z 5 #5 (x −1)3/2 " √ = 2 = 16 (x −1)1/2 dx = (5 −1)3/2 −0 h i A = x −1 dx = 3 . 3/2 3 1 1 Aquesta integral es pot calcular també per canvi de variable, fent x −1 = t2. D’aquí, dx = 2 dt, per x […]