PAU Matemàtiques 2012 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 1

1. Determineu el rang de la matriu en funció del paràmetre k. [2 punts]

1.- Determineu el rang de la matriu A = 1 k 1 en funció del valor del paràmetre k.  k 1 1 [2 punts] Solució En ser la matriu quadrada, començarem calculant el seu determinant. 1 1 k k + 2 k + 2 k + 2 k + 2 0 0 (1) (2) det A = 1 k 1 = 1 k 1 = 1 k −1 0 k 1 1 k 1 1 k 1 −k 1 −k = (k + 2)(k −1)(1 −k) = −(k + 2)(k −1)2. En (1) s’ha fer F1 + F2 + F3, ja que així s’aconsegueix que tots els elements de la primera fila siguin iguals. En (2) s’ha fet C2 −C1 i C3 −C1 . Si det A̸ = 0 , el rang de la matriu A és 3; en cas contrari, és menor que 3 . Resolem, doncs, l’equació det A = 0. −(k + 2)(k −1)2 = 0 ⇐⇒k = −2 o k = 1 . Es pot arribar a la mateixa conclusió escalonant la matriu, 1 1 k 1 1 k 1 1 k       1 k 1 −→ 0 k −1 1 −k −→ 0 k −1 1 −k .    1 −k2 2 −k −k2 k 1 1 0 1 −k 0 0 i resolent 2 −k −k2 = 0 . Per tant, Si k̸ = −2 i k̸ = 1, tenim que rang A = 3 . Si k = −2, la matriu A és 1 1 −2 1 1 −2 1 1 −2       A = 1 −2 1 −→ 0 −3 3 −→ 0 −3 3 .    −2 1 1 0 3 −3 0 0 0 En aquest ca […]