PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 6

6. Un triangle rectangle situat en el primer quadrant té el vèrtex A en l’origen de coorde- nades, el vèrtex B = (x, 0) en el semieix positiu d’abscisses i el vèrtex C pertany a la recta x + 2y = 8. L’angle recte és el que correspon al vèrtex B. a) Comproveu que l’àrea del triangle es pot expressar de la manera següent: . b) Trobeu els vèrtexs B i C perquè l’àrea del triangle sigui màxima i comproveu que es tracta realment d’un màxim. [1 punt per cada apartat]

6.- Un triangle rectangle situat en el primer quadrant té el vèrtex A en l’origen de coor- denades, el vèrtex B = (x, 0) en el semieix positiu d’abscisses i el vèrtex C pertany a la recta x + 2y = 8 . L’angle recte és el que correspon al vèrtex B. C A B (a) Comproveu que l’àrea del triangle es pot expressar com A(x) = 2x −x2 4 . (b) Trobeu els vèrtexs B i C perquè l’àrea del triangle sigui màxima i comproveu que es tracta realment d’un màxim. [1 punt per cada apartat] Solució x, 8 −x (a) Sigui B = (x, 0) . Llavors el punt C és C = (x, f(x)) = . Com que el triangle és rectangle, podem agafar com a base el costat AB i com a altura el costat BC (els catets del triangle). Llavors, x · 8 −x = 8x −x2 = 2x −x2 A(x) = b · h = 4 . 2 2 4 (b) Per trobar els extrems d’aquesta funció, trobarem els punts on la seva derivada és nul·la. A′(x) = 2 −x A′(x) = 0 ⇐⇒x = 4 . 2 ; Llavors, els vèrtexs del triangle són B = (4, 0) i C = (4, 2) . Comprovem ara que és un màxim. Calculem la segona derivada de […]