PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 3

3. Sigui . a) Què significa que la matriu B sigui la matriu inversa de A? b) Trobeu el valor del paràmetre p perquè la matriu inversa de A i la matriu transpo- sada de A coincideixin. Nota: No aproximeu les arrels mitjançant valors amb decimals; treballeu amb els radicals. [0,5 punts per l’apartat a; 1,5 punts per l’apartat b]

3.- Sigui A = 0 √ √ . 3 6 −1 −1 p √ √ 3 6 (a) Què significa que la matriu B sigui la inversa de A? (b) Trobeu el valor del paràmetre p perquè la matriu inversa de A i la seva matriu trans- posada coincideixin. Nota: no aproximeu les arrels per valors amb decimals; treballeu amb els radicals. [0,5 punts per l’apartat a; 1,5 punts per l’apartat b] Solució (a) La matriu B és la inversa de la matriu A si i sol si A · B = I i B · A = I, on I és la matriu identitat del mateix ordre que la matriu A (i B). (b) Solució 1 La forma més senzilla de resoldre el problema és realitzar el producte de la matriu A per la seva transposada i igualar el resultat a la identitat. 1 1 1 1     0 p √ √ √ √ 2 3 6 2     1 −2 1 1 −1 A · AT = 0 √ √ √ √ √ · 3 6 3 3 3 −1 −1 1 −2 −1 p √ √ √ √ √ 3 6 6 6 6 p 2 −1   1 0 √ 1 0 0    = = 0 1 0 . 0 1 0  p 2 −1 p2 + 1 0 0 1 √ 2 2 √ 2 −1/2 = 0 i que p2 + 1/2 = 1 . La solució comuna a aquestes dues Per tant, s’ha complir que p/ equac […]