PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 1

1. Siguin π1 el pla 2x + 3y – z = 4 i π2 el pla x – 2y – 4z = 10. a) Comproveu que els plans π1 i π2 són perpendiculars. b) Trobeu l’equació contínua de la recta paraŀlela als plans π1 i π2 i que passa pel punt P = (–1, 3, 2). [1 punt per cada apartat]

1.- Siguin π1 el pla 2x + 3y −z = 4 i π2 el pla x −2y −4z = 10 . (a) Comproveu que els plans π1 i π2 són perpendiculars. (b) Trobeu l’equació contínua de la recta paral·lela als plans π1 i π2 i que passa pel punt P = (−1, 3, 2). [1 punt per cada apartat] Solució (a) Un vector característic de cada un dels plans és v1 = (2, 3, −1) i v2 = (1, −2, −4) , respectivament. Els plans són perpendiculars si els seus vectors característics també ho són, és a dir, si el producte escalar dels vectors característics dóna zero. v1 · v2 = 2 · 1 + 3(−2) + (−1)(−4) = 2 −6 + 4 = 0 . (b) Si la recta r és paral·lela als dos plans, el seu vector director vr és perpendicular als vectors característics del dos plans. Per tant, podem agafar i j k vr = v1 × v2 = 2 3 −1 = −14i + 7j −7k = (−14, 7, −7) , 1 −2 −4 o qualsevol proporcional a ell com, per exemple, (2, −1, 1) . L’equació buscada és r : x + 1 = y −3 = z −2 . 2 −1 1