PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 3

3. Donats els punts P = (1, –1, 2), Q = (2, 0, 1) i R = (3, 2, –1), a) Trobeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que determinen. b) Trobeu un punt S pertanyent a la recta , de manera que el tetraedre de vèrtexs P, Q, R i S tingui un volum igual a 1/2. [1 punt per cada apartat]

3.- Donats els punts P = (1, −1, 2) , Q = (2, 0, 1) i R = (3, 2, −1), (a) Trobeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que determinen. (b) Trobeu un punt S pertanyent a la recta r : x −5 = y −1 = z −5 −3 , de manera que el 2 −1 tetraedre de vèrtexs P , Q , R , S tingui volum 1/2 . [1 punt per cada apartat] Solució (a) L’equació cartesiana del pla, Ax + By + Cz + D, ha de ser satisfeta pels tres punts donats. Per tant, A · 1 + B(−1) + C · 2 + D = 0   A · 2 + B · 0 + C · 1 + D = 0 . A · 3 + B · 2 + C(−1) + D = 0 La solució d’aquest sistema d’equacions és A = 0 , B = −D , C = −D . Fent D = 1 , l’equació del pla buscat és y + z −1 = 0 . Aquest apartat es pot resoldre d’altres maneres. Per exemple, trobant directament l’equació fent 2 −1 3 −1 x −1 0 + 1 2 + 1 y + 1 = 0 ⇐⇒y + z −1 = 0 . 1 −2 −1 −2 z −2 (b) El punt S, per pertànyer a la recta r, és de la forma S = (5 + 2λ, 1 −λ, 5 −3λ). El volum del tetraedre de vèrtexs P , Q , R i S és 1 2 4 + 2λ V = 1 […]