PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 2

2. Considereu la matriu . Sigui I la matriu identitat d’ordre 2. a) Trobeu el valor del paràmetre a perquè es compleixi que A2 – 2A = I. b) Calculeu la matriu inversa de la matriu A quan a = –2. [1 punt per cada apartat]

2.- Considereu la matriu A = . Sigui I2 la matriu identitat d’ordre 2 . 1 a + 1 (a) Trobeu el valor del paràmetre a perquè es compleixi que A2 −2A = I2 . (b) Calculeu la matriu inversa de la matriu A quan a = −2 . [1 punt per cada apartat] Solució (a) Tenim que a −1 a −1 a −1 a2 −4a + 4 1 1 1 2a −2 A2 −2A = −2 = . · a2 1 a + 1 1 a + 1 1 a + 1 2a −2 Perquè A2 −2A = I cal que a2 −4a + 4 = 1 , 2a −2 = 0 , a2 = 1 . De la segona equació en deduïm que a = 1 . Això sí: cal comprovar que aquest valor també és solució de les altres dues equacions. −3 1 (b) Comprovem primer si la matriu A = és invertible, calculant el seu determinant. 1 −1 −3 1 = (−3)(−1) −1 · 1 = 2̸ = 0 . det A = 1 −1 Com que el determinant és no nul, la matriu és invertible. Per a calcular la inversa, podem utilitzar diferents mètodes: • Mètode dels adjunts, A11 −1 1 A21 = 1 −1 A22 = −3 =⇒A−1 = • Mètode de Gauss, 1 −3 1 1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 | | | −→ −→ 1 −1 0 1 −3 1 1 0 0 −2 1 3 | | […]