PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Sigui f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Sabem que la gràfica d’aquesta funció és tangent a la recta r: y = x + 3 en el punt d’abscissa x = –1, i que en el punt d’abscissa x = 1 la recta tangent és paraŀlela a la recta r. Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c. [2 punts]

6.- Sigui f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Sabem que la gràfica d’aquesta funció és tangent a la recta r : y = x + 3 en el punt d’abscissa x = −1 i que en el punt d’abscissa x = 1 la recta tangent és paral·lela a la recta r. Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c. [2 punts] Solució Una recta és tangent a una corba en un punt si recta i corba tenen el mateix valor i la mateixa derivada en el punt. Per tant, f(−1) = 2 i f′(−1) = 1 . El que en x = 1 la tangent sigui paral·lela a la recta que ens han donat (és a dir, que aquesta nova tangent tingui el mateix pendent que y = x + 3) ens permet assegurar que f′(1) = 1 . Com que f′(x) = 3x2 + 2a + b, tenim que f′(−1) = 1 =⇒3 −2a + b = 1 ; f′(1) = 1 =⇒3 + 2a + b = 1 . f(−1) = 2 =⇒−1 + a −b + c = 2 ; El sistema d’equacions lineals a −b + c = 3   −2a + b = −2 2a + b = −2  té per solució a = 0 , b = −2 , c = 1 .