PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 5

5. En una semiesfera de radi R inscrivim un con situant el vèrtex al centre de la semiesfera, tal com es veu en el dibuix. a) Sabent que el volum d’un con és igual a l’àrea de la base multiplicada per l’altura i dividida per 3, compro- veu que, en aquest cas, podem expressar el volum com b) Trobeu les dimensions d’aquest con (el radi de la base i l’altura) perquè el seu volum sigui màxim i comproveu que es tracta realment d’un màxim. [0,5 punts per l’apartat a; 1,5 punts per l’apartat b]

5.- En una semiesfera de radi R inscrivim un con situant el seu vèrtex al centre de la semiesfera, tal com es veu en el dibuix. r h R (a) Sabent que el volum d’un con és igual a l’àrea de la seva base multiplicada per la seva altura i dividida per tres, comproveu que, en aquest cas, podem expressar el volum com V = π · h R2 −h2 . (b) Trobeu les dimensions d’aquest con (radi de la base i altura) perquè el seu volum sigui màxim, comprovant que es tracta realment d’un màxim. [0,5 punts per l’apartat a; 1,5 punts per l’apartat b] Solució (a) D’acord amb el que se’ns recorda a l’enunciat, V = 1 3 πr2h. Al dibuix hi podem trobar un triangle rectangle de catets h i r i hipotenusa R. Llavors, h2 + r2 = R2 =⇒r2 = R2 −h2 =⇒V (h) = 1 3 π(R2 −h2)h , tal com volíem. (b) Busquem la derivada de la funció volum respecte de la variable h, V (h) = π =⇒V ′(h) = π R2h −h3 R2 −3h2 . 3 3 √ L’equació V ′(h) = 0 ens porta a què h = ± R 3 = ±R 3 . No considerem la solució negativa perquè √ dins del pr […]