PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 1

1. Sigui π: 3x – 2y + z = 10. a) Trobeu l’equació contínua de la recta r perpendicular a π que passa pel punt P = (–1, 3, 2). b) Trobeu també l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla π1 paraŀlel a π que passa pel mateix punt P. [1 punt per cada apartat]

1.- Sigui π : 3x −2y + z = 10 . (a) Trobeu l’equació contínua de la recta r perpendicular a π que passa pel punt P = (−1, 3, 2). (b) Trobeu també l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla π1 paral·lel a π que passa pel mateix punt P. [1 punt per cada apartat] Solució (a) Podem agafar com a vector director de la recta el vector característic del pla. Amb això, r : x + 1 = y −3 = z −2 . 3 −2 1 (b) Els plans paral·lels a π tenen per equació 3x −2y + z + D = 0. Com que ha de passar pel punt P, cal que 3(−1) −2 · 3 + 2 + D = 0 . D’aquí, D = 7 . L’equació cartesiana del pla π1 és 3x −2y + z + 7 = 0 . També es pot utilitzar la fórmula A(x −x0) + B(y −y0) + C(z −z0) = 0 ; és a dir, 3(x + 1) −2(y −3) + (z −2) = 0 . a −1 1