PAU Matemàtiques 2013 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 3

3. Donada la funció i la recta horitzontal y = k, amb k > 0, a) Feu un esbós del recinte limitat per les gràfiques de la funció i la recta, i els eixos de coordenades. b) Trobeu el valor de k sabent que l’àrea d’aquest recinte és igual a 14/3. [0,5 per l’apartat a; 1,5 per l’apartat b]

3.- Donada la funció f(x) = √x −1 i la recta horitzontal y = k, amb k > 0, (a) Feu un esbós del recinte limitat per les gràfiques de la funció i la recta, i els eixos de coordenades. (b) Trobeu el valor de k sabent que l’àrea d’aquest recinte és igual a 14/3 . [0,5 per l’apartat a; 1,5 per l’apartat b] Solució (a) L’esquema demanat és a la figura que es troba a la pàgina següent. = y k = − y x 1 (b) La gràfica de f(x) talla a l’eix d’abscisses en el punt (1, 0). Busquem el punt de tall entre la gràfica de la funció i la de la recta, √ x −1 = k =⇒x = k2 + 1 . L’àrea del recinte és igual a l’àrea del rectangle de base k2 + 1 i altura k menys l’àrea que deixa “per sota” la gràfica de la funció; és a dir, #k2+1 Z k2+1 (x −1)3/2 = k3 + k −2k3 = k3 " A = k(k2 + 1) − (x −1)1/2 dx = k3 + k − 3 + k. 3/2 3 Naturalment, el càlcul també es pot fer com #k2+1 Z k2+1 Z k2+1 (x −1)3/2 = k3 + k −2k3 = k3 " (x −1)1/2 dx = [kx]k2+1 A = k dx − 3 + k. − 3/2 3 0 1 Igualment, el càlcul de la integral de la funció […]