PAU Matemàtiques 2012 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 4

4. Donades les matrius , a) Comproveu que es compleix la igualtat (A + B) (A – B) = A2 – B2. b) És certa aquesta igualtat per a qualsevol parell de matrius quadrades A i B del mateix ordre? Responeu raonadament utilitzant les propietats generals de les operacions entre matrius, sense utilitzar matrius A i B concretes. [1 punt per apartat]

4.- Donades les matrius A = i B = −1 1 1 3 (a) Comproveu que es compleix la igualtat (A + B)(A −B) = A2 −B2 . (b) És certa aquesta igualtat per a qualsevol parell de matrius quadrades A i B del mateix ordre? Responeu raonadament utilitzant les propietats generals de les operacions entre matrius, sense utilitzar matrius A i B concretes. [1 punt per apartat] Solució (a) Fem els càlculs que ens demanen, 4 0 2 4 8 16 (A + B)(A −B) = = ; 0 4 −2 −2 −8 −8 −1 7 8 −8 8 16 A2 −B2 = − = . −4 −1 4 7 −8 −8 Efectivament, són iguals. Aquest apartat es pot fer també comprovant que les matrius donades compleixen que AB = BA, 1 5 3 2 −2 0 AB = = −1 1 1 3 0 5 1 5 −2 3 2 0 BA = = 1 3 −1 1 0 5 Llavors, (A + B)(A −B) = A2 −AB + BA −B2 = A2 −BA + BA −B2 = A2 −B2 . (b) La igualtat proposada no és certa sempre, ja que (A + B)(A −B) = AA −AB + BA −BB = A2 −AB + BA −B2 , i la matriu −AB + BA no és, en general, la matriu nul·la, perquè el producte de matrius no és c […]