PAU Matemàtiques 2012 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 2

2. Donades la recta y = 3x + b i la paràbola y = x2, a) Calculeu l’abscissa del punt on la recta tangent a la paràbola és paraŀlela a la recta donada. b) Calculeu el valor del paràmetre b perquè la recta sigui tangent a la paràbola. [1 punt per apartat] Donats el pla π: x – y + 2z – 5 = 0 i la recta

2.- Donades la recta y = 3x + b i la paràbola y = x2, (a) Calculeu l’abscissa del punt on la recta tangent a la paràbola és paral·lela a la recta (b) Trobeu el valor del paràmetre b perquè la recta sigui tangent a la paràbola. [1 punt per apartat] Solució Posarem y1(x) = 3x + b i y2(x) = x2 . (a) Una condició necessària i suficient perquè dues rectes siguin paral·leles és que els seus pendents siguin iguals. Com que el pendent de la recta és mr = y′ 1(x) = 3 (també es pot trobar directament com a coeficient de la variable x, ja que es dóna l’equació explícita de la recta) i la derivada de la paràbola és y′ 2(x) = 2x, la recta donada i la recta tangent són paral·leles en el punt on 3 = 2x, és a dir, en el punt on l’abscissa valgui x = 3/2 . (b) L’únic punt on la recta i la paràbola podem ser tangents és el punt d’abscissa x = 3/2 . Ho seran si i sol si y1(3/2) = y2(3/2), que succeeix quan b = −9/4 . x + y + z = 0