PAU Matemàtiques 2011 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 1

1. Donada la matriu : a) Calculeu els valors del paràmetre k per als quals la matriu M no és invertible. b) Per a k=0, calculeu M–1. [1 punt per cada apartat]

1.- Donada la matriu M = 0 k −2 1 ,  0 k −2 −k (a) Calculeu els valors del paràmetre k per als quals la matriu M no és invertible. (b) Per a k = 0, calculeu M−1. [1 punt per apartat] Solució (a) Sabem que una matriu és invertible si i sol si el seu determinant és no nul. Busquem, doncs, el determinant de la matriu M, k + 1 1 1 k + 1 1 1 = (k +1)(k −2)(−k −1) = −(k +1)2(k −2) . det M = 0 k −2 1 = 0 k −2 1 0 k −2 −k 0 0 −k −1 Aquest determinant val zero quan k = −1 o k = 2; aquests són els valors per als que la matriu no és invertible. 1 1 1   (b) Per k = 0 la matriu és M = i la seva inversa es pot calcular utilitzant el mètode de 0 −2 1  0 −2 0 Gauss-Jordan, 1 1 1 | 1 0 0 1 0 3/2 | 1 1/2 0 1 0 0 | 1 −1 3/2       0 −2 1 | 0 1 0 ∼ 0 −2 1 | 0 1 0 ∼ 0 −2 0 | 0 0 1     0 −2 0 | 0 0 1 0 0 −1 | 0 −1 1 0 0 1 | 0 1 −1 1 0 0 | 1 −1 3/2   ∼ 0 1 0 | 0 0 −1/2 .  0 0 1 | 0 1 −1 També es pot calcular utilitzant la matriu complementària (matriu adjunta transposta). La matriu inver […]