PAU Matemàtiques 2012 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 5

5. Un triangle equilàter de vèrtexs A, B i C té els costats de 8 cm. Situem un punt P sobre una de les altures del trian- gle, a una distància x de la base corresponent. a) Calculeu l’altura del triangle de vèrtexs A, B i C. b) Indiqueu la distància del punt P a cadascun dels vèrtexs (en funció de x). c) Determineu el valor de x perquè la suma dels quadrats de les distàncies del punt P a cadascun dels tres vèrtexs sigui mínima. [0,5 punts per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b; 1 punt per lʼapartat c]

5.- Un triangle equilàter de vèrtexs A, B i C té els costats de 8 cm. Situem un punt P sobre una de les altures del triangle a una distància x de la base corresponent. (a) Calculeu l’altura del triangle de vèrtexs A, B i C. (b) Indiqueu la distància del punt P a cada un dels vèrtexs (en funció de x). (c) Determineu el valor de x perquè la suma dels quadrats de les distàncies del punt P a cadascun dels tres vèrtexs sigui mínima. [0,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b; 1 punt per l’apartat c] Solució (a) Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle resultant d’agafar la meitat del triangle equilàter, tindrem que √ B 8 P x A C També podem treballar amb trigonometria, √ √ sin 60o = h 3 ⇐⇒h = 8 sin 60o = 8 · = 4 3 . 8 2 (b) Les distàncies demanades són √ p 42 + x2 = p 16 + x2 ; d(P, A) = d(P, C) = d(P, B) = h −x = 4 3 −x . (c) La funció que es vol fer mínima és f(x) = (d(P, A))2 + (d(P, B))2 + (d(P, C))2, és a dir, √ √ f(x) = 2(16 + x2) + (4 3 −x)2 = 3x2 −8 3x + 80 […]