PAU Matemàtiques 2012 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Donats els punts P = (1, 0, 0), Q = (0, 2, 0), R = (0, 0, 3) i S = (1, 2, 3), a) Calculeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D=0) del pla que conté els punts P, Q i R. b) Comproveu si els quatre punts són coplanaris (és a dir, si els quatre estan con- tinguts en un mateix pla). [1 punt per apartat] Proves dʼAccés a la Universitat. Curs 2011-2012 Matemàtiques

6.- Donats els punts P = (1, 0, 0), Q = (0, 2, 0), R = (0, 0, 3) i S = (1, 2, 3), (a) Calculeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla que conté els punts P, Q i R. (b) Comproveu si els quatre punts són coplanaris (és a dir, si els quatre estan continguts en un mateix pla). [1 punt per apartat] Solució (a) Hi ha diferents formes de trobar l’equació del pla que conté els punts P, Q i R. Aquí se’n presenten tres. Buscant els vectors −−→ PQ i −→ PR . Aquests vectors són generadors del pla. El seu producte vectorial és un vector característic o normal del pla buscat, i j k −−→ PQ × −→ PR = −1 2 0 = (6, 3, 2) . −1 0 3 Amb això, el pla és de la forma 6x + 3y + 2z + D = 0 . Imposant que passi per P (o per Q o per R) s’obté que D = −6 . En definitiva, π: 6x + 3y + 2z −6 = 0 . Plantejant l’equació Ax + By + Cz + D = 0 i imposant que la compleixin els tres punts, s’arriba a un sistema d’equacions lineal, A + D = 0   , 2B + D = 0 que ens porta a A = −D, B = −D/ […]