PAU Matemàtiques 2012 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 1

1. Digueu per a quin valor del paràmetre m els plans π1:x−y+mz=1, π2:x−y+z=m i π3:my+2z=3 tenen com a intersecció una recta. [2 punts]

1.- Digueu per a quin valor del paràmetre m els plans π1 : x −y + mz = 1 , π2 : x −y + z = m , π3 : my + 2z = 3 , tenen com a intersecció una recta. [2 punts] Solució Els tres plans es tallen en una única recta si i solament si el sistema x −y + mz = 1   x −y + z = m my + 2z = 3  és compatible indeterminat amb un grau de llibertat. Calculem el determinant de la matriu de coefi- cients d’aquest sistema, 1 −1 m = m2 −m . 1 −1 1 0 m 2 Aquest determinant val zero si m = 0 o m = 1. L’estudi també es pot fer escalonant la matriu, 1 −1 m | 1 1 −1 m | 1 1 −1 m | 1       1 −1 1 m −→ 0 0 1 −m | m −1 −→ 0 m 2 | 3     0 m 2 | 3 0 m 2 | 3 0 0 1 −m | m −1 i veient que hi pot haver problemes per a m = 0 (en aquest cas la matriu encara no està escalonada) i per a m = 1 . Per a m = 0, l’escalonament de la matriu ampliada del sistema ens condueix a 1 −1 0 | 1 1 −1 0 | 1 1 −1 0 | 1       1 −1 1 | 0 ∼ 0 0 1 | −1 ∼ 0 0 1 | −1 .    0 0 2 | 3 0 0 2 | 3 0 0 0 | 5 El sistema és incomp […]