PAU Matemàtiques 2011 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 4

4. Analitzeu, segons els valors del paràmetre k, el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) del sistema d’equacions següent: [2 punts] Calculeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D=0) dels plans que

4.- Analitzeu, segons els valors del paràmetre k, el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) del sistema d’equacions següent: 2x + y −z = k −4   (k −6)y + 3z = 0 (k + 1)x + 2y = 3  [2 punts] Solució La matriu del sistema és quadrada. Busquem el seu determinant. 2 1 −1 = 3(k + 1) −[−(k + 1)(k −6) + 12] = k2 −2k −15 . 0 k −6 3 k + 1 2 0 Busquem els valors de k perquè aquest determinant valgui zero, k2 −2k −15 = 0 =⇒k = −3 o k = 5 . També es pot realitzar aquest estudi escalonant la matriu, ampliada o no, del sistema, 2 1 −1 | k −4 2 1 −1 | k −4     0 k −6 3 | 0 ∼ 0 k −6 3 | 0 .   10 + 3k −k2 k + 1 2 0 | 3 0 3 −k k + 1 | A partir d’aquí, l’escalonament es fa molt feixuc. Per això la millor forma d’acabar és veient per a quins punts les files segona i tercera de la matriu sense ampliar són proporcionals. k −6 3 k + 1 ⇐⇒k = −3 o k = 5 . 3 −k = D’una o altra manera, tenim: Si k̸ = −3 i k̸ = 5, el rang de la matriu del sistema és 3; el de l’ampliada també […]