PAU Matemàtiques 2011 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 2

Donat el pla π:2x+y−z=5: 2. a) Calculeu l’equació del pla paral·lel al pla π que passa pel punt P=(1, 0, −1). b) Determineu també la distància entre el punt P i el pla π. [1 punt per cada apartat]

2.- Donat el pla π: 2x + y −z = 5: (a) Calculeu l’equació del pla paral·lel al pla π que passa pel punt P = (1, 0, −1) . (b) Determineu també la distància entre el punt P i el pla π. [1 punt per cada apartat] Solució (a) Hi ha dues maneres de trobar el pla demanat. La primera consisteix en escriure la forma general dels plans paral·lels a π, π′: 2x+y −z +D = 0, i trobar el valor del paràmetre D perquè passi pel punt P, P ∈π′ ⇐⇒2 · 1 + 0 −(−1) + D = 0 ⇐⇒D = −3 . El pla buscat és 2x + y −z −3 = 0 . La segona forma consisteix en utilitzar la fórmula del pla que passa per un punt amb un vector normal conegut. 2(x −1) + (y −0) −(z + 1) = 0 ⇐⇒2x + y −z −3 = 0 . (b) La distància d’un punt P = (x0, y0, z0) a un pla π: Ax + By + Cz + D = 0 es pot calcular per la fórmula d(P, π) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ . A2 + B2 + C2 En el nostre cas, d(P, π) = |2 · 1 + 0 −(−1) −5| 2 = √ 6 . 22 + 12 + (−1)2