PAU Matemàtiques 2011 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 4

4. Considereu el sistema d’equacions següent: a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè el sistema no sigui compatible deter- minat. b) Hi ha algun valor de a per al qual x=1, y=–3, z=–1 sigui l’única solució del sis- tema? [1 punt per cada apartat]

4.- Considereu el sistema d’equacions següent: x + 2y −az = −3   2x + (a −5)y + z = 4a + 2 4x + (a −1)y −3z = 4  (a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè el sistema no sigui compatible determinat. (b) Hi ha algun valor de a per al qual x = 1, y = −3, z = −1, sigui l’única solució del sistema? [1 punt per cada apartat] Solució (a) Com que la matriu del sistema és quadrada d’ordre 3, els valors del paràmetre que fan que el sistema no sigui compatible determinat són aquells que anul·len el seu determinant. 1 2 −a 1 2 −a = (a −9)(2a −4) . a −9 2a + 1 a −9 2a + 1 (1) (2) (3) 2 a −5 1 = 0 a −9 2a + 1 = = a −9 4a −3 0 2a −4 4 a −1 −3 0 a −9 4a −3 Les operacions elementals fetes a cada pas han estat: (1) F2 −2F1; F3 −4F1. (2) Desenvolupament per la primera columna. (3) F2 −F1. Com que det A = 0 si i sol si a = 2 o a = 9, aquest són els valors per als quals el sistema no és compatible determinat. Aquest estudi es pot fer també escalonant la matriu ampliada (o inclús sense ampliar) del […]