PAU Matemàtiques 2011 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 3

3. La gràfica corresponent a la derivada d’una funció f(x) és la següent: a) Expliqueu raonadament quins valors de x corresponen a màxims o a mínims relatius de f(x). b) Determineu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x). [1,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b]

3.- La gràfica corresponent a la derivada d’una funció f(x) és la següent: −3 0 2 (a) Expliqueu raonadament quins valors de x corresponen a màxims o a mínims relatius de f(x). (b) Determineu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x). [1,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b] Solució (a) Perquè la funció f(x) tingui un extrem relatiu en un punt, és necessari que la seva derivada valgui zero en aquest punt. D’acord amb la gràfica, això passa per x = −3, x = 0 i x = 2 . Abans del punt x = −3, la funció derivada és negativa i després és positiva; això vol dir que en aquest punt hi tenim un mínim relatiu. Amb un raonament paral·lel podem comprovar que en x = 0 la funció f(x) té un màxim relatiu i en el punt x = 2 no hi ha ni màxim ni mínim (la derivada és negativa als dos costats); de fet, en aquest punt hi ha un punt d’inflexió. (b) D’acord amb els signes de la derivada, La funció f(x) és creixent a l’interval (−3, 0) . La funció f(x) és decreixent a (−∞, −3) ∪ […]