PAU Matemàtiques 2011 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 5

Calculeu l’equació general (és a dir, de la forma Ax+By+Cz+D=0) dels plans que 5. i que formen un angle de 45° amb el pla z=0. contenen la recta [2 punts]

5.- Trobeu l’equació general (o sigui de la forma Ax + By + Cz + D = 0) dels plans que y = 2 z = 1 i formen un angle de 45o amb el pla z = 0. contenen la recta r : [2 punts] Solució 1 Qualsevol punt de la forma P = (a, 2, 1) pertany a la recta r. Per simplicitat, agafarem P = (0, 2, 1). i j k El vector director de la recta és = (1, 0, 0). El vector normal del pla z = 0 és vz = (0, 0, 1). 0 1 0 0 0 1 Si el pla buscat és π′ : Ax + By + Cz + D = 0, tenim que el seu vector normal és vπ′ = (A, B, C). Com que conté la recta r, sabem que vπ′ és perpendicular a vr; per formar 45o amb el pla z = 0 cal √ que cos( d 2/2. És a dir, vπ′, vz) = √ ∥vπ′∥· ∥vz∥= (0, B, C) · (0, 0, 1) vπ′ · vr C 2 vπ′ · vr = (A, B, C) · (1, 0, 0) = A = 0 ; √ = √ B2 + C2 = 2 . B2 + C2 · 1 La solució és A = 0, B2 = C2 ( ⇐⇒ C = B o C = −B). Podem posar, sense perdre generalitat, B = 1. Així, tenim dos plans que compleixen les condicions, y + z = D1 i y −z = D2. Fent que passin pel punt P (condició perquè continguin la re […]