PAU Matemàtiques 2010 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 4

4. Considereu la matriu . a) Comproveu que compleix la igualtat A2 – 5A = I2, on I2 és la matriu identitat d’ordre 2. b) Utilitzeu aquesta igualtat per a calcular la matriu inversa de A. c) Resoleu l’equació matricial , utilitzant la matriu inversa de A. [0,5 punts per lʼapartat a; 0,75 punts per lʼapartat b; 0,75 per lʼapartat c]

4.- Considereu la matriu A = . 7 3 (a) Comproveu que compleix la igualtat A2 −5A = I2, on I2 és la matriu identitat d’ordre 2. (b) Utilitzeu aquesta igualtat per a calcular la matriu inversa de A. 0 1 (c) Resoleu l’equació matricial A · X = , utilitzant la matriu inversa de A . −2 0 [0,5 punts per l’apartat a; 0,75 punts per l’apartat b; 0,75 punts per l’apartat c] Solució (a) En primer lloc, realitzem els càlculs indicats, 2 2 2 11 10 1 1 1 1 5 5 0 A2 −5A = −5 = − = = I2 , 7 3 7 3 7 3 35 16 35 15 0 1 tal com volíem. (b) Per calcular la matriu inversa de A, cal treure factor comú al membre esquerra de la igualtat donada, A2 −5A = I2 ⇐⇒A(A −5I2) = I2. Recordant que la matriu inversa de A és aquella que multiplicada per ella dóna la identitat, podem assegurar que 2 1 −3 1 0 1 A−1 = A −5I2 = −5 = . 7 3 0 1 7 −2 (c) Tenim que −3 −2 0 1 0 1 1 0 1 −3 ⇐⇒X = A−1 · A · X = = = . −2 0 −2 0 7 −2 −2 0 4 7 8x2