PAU Matemàtiques 2011 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 6

6. Dins d’un triangle rectangle, de catets 3 i 4 cm, hi ha un rectangle. Dos costats del rectangle estan situats en els catets del triangle i un dels vèrtexs del rectangle és a la hipotenusa del triangle. a) Feu un esbós de la situació descrita. b) Si x és la longitud del costat del rectangle que està situat en el catet petit i y és l’altre costat del rectangle, comproveu que es compleix que 4x+3y=12. c) Determineu les dimensions del rectangle perquè l’àrea sigui màxima. [0,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b; 1 punt per l’apartat c]

6.- Dins d’un triangle rectangle, de catets 3 i 4 cm, hi ha un rectangle. Dos costats del rectangle estan situats en els catets del triangle i un dels vèrtex del rectangle és a la hipotenusa del triangle. (a) Feu un esbós de la situació descrita. (b) Si x és la longitud del costat del rectangle que està situat en el catet petit i y és l’altre costat del rectangle, comproveu que es compleix que 4x + 3y = 12 . (c) Determineu les dimensions del rectangle perquè la seva àrea sigui màxima. [2 punts] (a) La gràfica de la situació és x y (b) Per semblança de triangles, 4 3 = 4 −y . És a dir, 4x+3y = 12 . Hi ha altres relacions de semblança x que ens porten a la mateixa relació; per exemple, 4 y 3 −x . 3 = També es pot arribar a la relació entre x i y utilitzant geometria en el pla. En efecte, podem considerar com a eixos de coordenades les rectes que contenen els catets. Llavors, la recta que conté la hipotenusa passa pels punts (3, 0) i (0, 4); per tant, la seva equació és x −3 0 −3 = y −0 és […]