PAU Matemàtiques 2010 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 6

6. Considereu la recta . a) Trobeu els dos punts, A i B, de la recta r que estan situats a una distància d = √6 del punt P = (–1, 1, 2). b) Trobeu l’àrea del triangle de vèrtexs A, B i P. [1 punt per cada apartat]

6.- Considereu la recta r : x + 4 = y −1 = z −1 . −2 −1 √ (a) Trobeu els dos punts, A i B, de la recta r que estan situats a una distància d = 6 del punt P = (−1, 1, 2). (b) Trobeu l’àrea del triangle de vèrtexs A, B i P. [1 punt per apartat] Solució (a) Els punts de la recta r són de la forma Q = (x, y, z) = (−4 −2t, 1 −t, 1 + t). La distància d’un d’ells al punt P és q [−1 −(−4 −2t)]2 + [1 −(1 −t)]2 + [2 −(1 + t)]2 = 10 + 10t + 6t2 . p d(Q, P) = √ 6. Per tant, l’equació a resoldre és 10 + 10t + 6t2 = 6, que té per Se’ns demana que d(Q, P) = solucions t = −1 i t = −2/3. El punts buscats són A = (−2, 2, 0) i B = (−8/3, 5/3, 1/3). (b) L’àrea del triangle amb vèrtex A, B i P es pot trobar utilitzant la fórmula S = 1 PB∥= 1 2 ∥−→ PA × −−→ 2 ∥(A −P) × (B −P)∥. Com que A −P = (−2, 2, 0) −(−1, 1, 2) = (−1, 1, −2) i B −P = (−8/3, 5/3, 1/3) −(−1, 1, 2) = (−5/3, 2/3, −5/3), tenim que i j k (A −P) × (B −P) = −1 1 −2 = (−1/3, 5/3, 1) . −5/3 2/3 −5/3 En definitiva, √ S = 1 35 2 ∥(−1/3, 5/3, 1)∥= . […]