PAU Matemàtiques 2010 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 1

1. Trobeu les asímptotes de la funció . [2 punts] Donats el pla π:5x + y + 3z = 4 i la recta

1.- Trobeu les asímptotes de la funció f(x) = 3x3 −5x −2 x2 −4x −5 . [2 punts] Solució Comencem buscant les asímptotes verticals. Per fer-ho, igualem el denominador de la funció a zero i resolem l’equació resultant. 42 −4 · (−5) p x2 −4x −5 = 0 ⇐⇒x = 4 ± = 4 ± 6 ⇐⇒x = 5 o x = −1 . 2 2 Això ens indica que les possibles asímptotes verticals són x = 5 i x = −1. Comprovem si ho són o no. 3x3 −5x −2 3x3 −5x −2 x2 −4x −5 = 348 x2 −4x −5 = 348 lím 0−= −∞; lím 0+ = +∞. x→5− x→5+ 3x3 −5x −2 (x + 1)(3x2 −3x −2) 0 = −2 lím x2 −4x −5 = = lím 3 . x→−1 0 x→−1 (x + 1)(x −5) O sigui, la funció té una sola asímptota vertical, x = 5 . 3x3 −5x −2 Com que lím x2 −4x −5 = ∞(ja que el grau del numerador és superior al grau del denominador), x→∞ la funció no té asímptotes horitzontals. Finalment, busquem si la funció té asímptotes obliqües. Recordem que són de la forma y = mx + n on f(x) m = lím i n = lím x→∞(f(x) −m · x). En el nostre cas, x→∞ x 3x3 −5x −2 3x3 −5x −2 12x2 + 10x −2 ! m = lím x3 −4x2 −5x = […]