PAU Matemàtiques 2010 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 3

3. Considereu tots els prismes rectes de base quadrada amb un volum V fixat. Anomeneu x el costat de la base del prisma i y la seva altura. a) Trobeu l’expressió del volum i de l’àrea total del prisma en funció de les varia- bles x i y. b) Comproveu que el que té àrea total mínima és en realitat un cub. [0,5 punts per lʼapartat a; 1,5 punts per lʼapartat b]

3.- Considereu tots els prismes rectes de base quadrada amb un volum V fixat. Anomeneu x el costat de la base del prisma i y a la seva altura. Es demana: (a) Trobeu l’expressió del volum i de l’àrea total del prisma en funció de les variables x i y. (b) Comproveu que el que té àrea total mínima és en realitat un cub. [0,5 punts per l’apartat a; 1,5 punts per l’apartat b] Solució Amb les notacions de l’enunciat, A = 2x2 + 4xy . V = x2y ; Aïllant el valor de la variable y de l’expressió del volum, y = V/x2. Substituint aquest valor a l’expressió que ens dóna l’àrea obtenim A = 2x2 + 4x V x2 = 2x2 + 4V . x Per trobar el valor mínim de l’àrea, derivem aquesta expressió respecte de x i la igualem a zero. s 3√ V 3 D’aquí y = V V x2 = 3√ V 2 = V 2 = V . En definitiva, y = x i el prisma és un cub. Per comprovar que es tracta realment d’un mínim, cal trobar la segona derivada de la funció àrea i 3√ veure quin signe té per al valor x = V : 3√ A′′ = 4 + 8V x3 =⇒A′′( V ) > 0 . 2 1