PAU Matemàtiques 2010 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 2

2. Donat el sistema d’equacions lineals : a) Estudieu-ne el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) en funció del paràmetre p. b) Comproveu que si p ≠5 la solució del sistema no depèn del valor d’aquest parà- metre. [1,5 punts per lʼapartat a; 0,5 punts per lʼapartat b]

2.- Donat el sistema d’equacions lineals 2x + y + z = 4 : x −y + (p −3)z = 5 (a) Estudieu-ne el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) en funció del paràmetre p. (b) Comproveu que si p̸ = 5 la solució del sistema no depèn del valor d’aquest paràmetre. [1,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b] Solució (a) Escalonem la matriu del sistema, 1 2 −1 | −1 1 2 −1 | −1 1 2 −1 | −1       2 1 1 | 4 ∼ 0 −3 3 | 6 ∼ 0 −1 1 | 2 .    1 −1 p −3 | 5 0 −3 p −2 | 6 0 0 p −5 | 0 A partir d’aquí, Si p̸ = 5 el rang de la matriu del sistema i el de l’ampliada valen 3, que és igual al número d’incògnites. Per tant, el sistema és compatible determinat. Quan p = 5, els rangs valen 2, menor que el número d’incògnites. Per tant, el sistema és compatible indeterminat. La qüestió es pot resoldre també buscant el determinant de la matriu del sistema, que dóna 15 −3p; en igualar-lo a zero, resulta p = 5 com a cas a estudiar. Si es fa així, en el cas p = 5 cal estud […]