PAU Matemàtiques 2010 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 2

Donats el pla π:5x + y + 3z = 4 i la recta 2. , estudieu-ne la posició relativa en funció del paràmetre a. [2 punts]

2.- Donats el pla π : 5x+y+3z = 4 i la recta r : 2y + z = −3 , estudieu-ne la posició relativa en funció del paràmetre a. [2 punts] Solució Un pla i una recta a l’espai R3 poden ser paral·lels, es poden tallar o la recta pot estar continguda al pla. Per començar a esbrinar-ho en el nostre cas, busquem el vector normal del pla, al que anomenarem vπ, i el director de la recta, vr. i j k vπ = (5, 1, 3) ; vr = a −1 0 = (−1, −a, 2a) . 0 2 1 La recta i el pla es tallen si vπ i vr no són perpendiculars, és a dir, si vπ · vr̸ = 0. vπ · vr = (5, 1, 3) · (−1, −a, 2a) = −5 −a + 6a = 5a −5̸ = 0 ⇐⇒a̸ = 1 . També podrien comprovar si el vector director de la recta és o no combinació lineal dels vectors generadors del pla. Per trobar aquests vectors podem fer x = λ  Podem agafar v1 = (1, −5, 0) i v2 = (0, −3, 1). Llavors, (−1, −a, 2a) = α(1, −5, 0) + β(0, −3, 1) ⇐⇒α = −1 , −5α −3β = −a β = 2a =⇒a = 1 . D’una manera o una altra, per a̸ = 1 la recta i el pla es tallen. Quan a = 1 encara tenim dues pos […]