PAU Matemàtiques 2006 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 6

6. Considereu el sistema d’equacions x + y + z = 200 7x + py + 8z = 1395 a) Discutiu-lo en funció del paràmetre p. b) Doneu la interpretació geomètrica en els casos en què el sistema és incom- patible. c) Resoleu el sistema per a p = 6. [Puntuació: apartat a) 1,5 punts; apartat b) 1,5 punts; apartat c) 1 punt. Total: 4 punts]

⎨ 6. Considereu el sistema d’equacions x + y + z = 200 . ⎪ + + = ⎩ 7 x py 8 z 1395 a) Discutiu-lo en funció del paràmetre p. b) Doneu la interpretació geomètrica en els casos en què el sistema és incompatible. = 6 c) Resoleu el sistema per a p . a) Esglaonant la matriu ampliada del sistema ens queda ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ p 7 8 1370 1 1 1 200 1 1 1 200 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∼ ∼ ⎜ 1 1 1 200 7 p 8 1395 0 p − 7 1 − 5 . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − 7 p 8 1395 ⎠ ⎝ p 7 8 1370 ⎠ ⎝ 0 0 9 p 1365 200 p ⎠ ⎝ = 9 = 7 Per a p i per a p , el rang de la matriu del sistema és igual a 2 i el rang de la matriu ampliada és 3. Aquests valors fan que el sistema sigui incompatible. Per a qualsevol altre valor el sistema és compatible determinat. Evidentment, el problema es pot començar calculant el determinant de la matriu del sistema, p 7 8 = − + − 1 1 1 p 16 p 63 , 7 p 8 = 7 = 9 = 7 que té com a arrels els valors p i p . Per a p , la primera i la tercera equacions ens deixen veure ja que el sistema és incompatible; per a p = 9 ca […]