PAU Matemàtiques 2006 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 4

4. Determineu els extrems d’un segment AB sabent que el punt A pertany al pla x – 1 = y – 2 = z 2x + y + z = 0, el punt B pertany a la recta i el punt mitjà 2 – 1 3 del segment és (0,0,0). [Puntuació: 2 punts]

4. Determineu els extrems d’un segment AB sabent que el punt A pertany al pla x − 1 y − 2 z i el punt mig del segment 2 x + y + z = 0 , el punt B pertany a la recta = = − 2 1 3 és (0,0,0). Sigui A = ( a a a , , ) i B = ( b b b , , ) . Com que el punt A pertany al pla donat, sabem que 1 2 3 1 2 3 2 a + a + a = 0 . Per altra banda, el punt B ha de complir l’equació de la recta; així, 1 2 3 ⎧ b + 2 b − 5 = 0 A + B 1 2 ⎨ . A més a més, sabem que = (0,0,0) . D’aquí ens surt que + − = ⎩ 3 b b 6 0 2 2 3 ⎧ + + = 2 b b b 0 1 2 3 ⎪ ⎨ a = − b , a = − b i a = − b . Llavors, el sistema a resoldre és b + 2 b = 5 , que té per 1 1 2 2 3 3 1 2 ⎪ + = ⎩ 3 b b 6 2 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 8 1 8 1 8 solució b = − , b = i b = − 2 . Els punts buscats són A = , − ,2 i B = − , , 2 − . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 2 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 3 3 3 3 3 Una altra forma de plantejar el problema és trobar les equacions paramètriques de la recta. Llavors ens queda que B = (2 t + 1, −+ t 2,3 ) t . Per tant, i com que A + B = (0,0,0) , tenim A = − ( 2 t − 1, t − […]