PAU Matemàtiques 2006 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 5

Problemes 5. Considereu la paràbola d’equació y = x2 + 2x – 3. a) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la paràbola en els punts d’abs- cissa x = – 1 i x = 1. b) Calculant el mínim de la funció y = x2 + 2x – 3, trobeu el vèrtex de la paràbola. c) Trobeu les interseccions de la paràbola amb els eixos i feu una representació gràfica de la paràbola i de les tangents obtingudes al primer apartat. d) Calculeu l’àrea compresa entre la paràbola i les rectes tangents. [Puntuació: cada apartat val 1 punt. Total: 4 punts] { px + 7y + 8z = 1370

PROBLEMES 5. Considereu la paràbola d’equació y = x + 2 x − 3 . a) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la paràbola en els punts d’abscissa x = −1 i x = 1 . b) Calculant el mínim de la funció y = x + 2 x − 3 , trobeu el vèrtex de la paràbola. c) Trobeu les interseccions de la paràbola amb els eixos i feu una representació gràfica de la paràbola i de les tangents obtingudes al primer apartat. d) Calculeu l’àrea compresa entre la paràbola i les rectes tangents. − = ⋅ − a) Les rectes tangents buscades són de la forma y f a ( ) f '( ) ( a x a , essent ) = + − = + f x ( ) x 2 x 3 . Com que f '( ) x 2 x 2 , • = −1 − − = − ⋅ + = −4 per a x , la recta tangent és y f ( 1) f '( 1) ( x 1) , és a dir, y . • = 1 − = ⋅ − = − per a x , queda y f (1) f '(1) ( x 1) , d’on y 4 x 4 . = = −1 b) El mínim de la paràbola ha de complir f '( ) x 0 . Per tant, x . El vèrtex és V = −− ( 1, 4) . c) x + 2 x − 3 = 0 té com a solucions x = 1 i x = −3 . Els punts de tall amb l’eix d’abscisses són (1, 0) i […]