PAU Matemàtiques 2006 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 1

Qüestions 1. Sigui f : R → R la funció definida per f (x) = ex (ax + b), on a i b són nombres reals. a) Calculeu els valors de a i b per tal que la funció tingui un extrem relatiu en el punt (3,e3). b) Per als valors de a i b obtinguts, digueu quin tipus d’extrem té la funció en el punt esmentat. [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt. Total: 2 punts]

QÜESTIONS x ! ! → = + 1. Sigui f : la funció definida per f x ( ) e ( ax b , on a i b són nombres reals. ) a) Calculeu els valors d’a i b per tal que la funció tingui un extrem relatiu en el punt (3, e ) . b) Per als valors d’a i b obtinguts, digueu quin tipus d’extrem té la funció en el punt esmentat. 3 3 = = a) Si en el punt (3, e ) hi ha un extrem relatiu, sabem dues coses: f (3) e i f '(3) 0 . La x = + + derivada de la funció és f '( ) x e ( ax b a ; llavors, ens queda ) ⎧ ⎧ 3 3 ⎪ 3 ⎪ e (3 a + b ) = e f (3) = e ⎨ ⇔ ⎨ = ⎪ f '(3) 0 ⎪ ⎩ e (4 a + b ) = 0 ⎩ 3 ≠ Com que e 0 , el sistema a resoldre és ⎧ 3 a + b = 1 ⎨ ⎩ + = 4 a b 0 que té com a solució a = −1 i b = 4 . x b) La derivada segona és f "( ) x = e (2 − x . Trobem el seu signe quan s’avalua en ) x = 3 : f "(3) = − e < 0 . Per tant, en x = 3 hi ha un màxim. 0.5 punts per dir que cal fer f (3) = 0 i '(3) f = 0 i calcular correctament la derivada. 0.5 punts pel plantejament i resolució del sistema 1 punt per l’apartat b) ( ) = , qua […]