PAU Matemàtiques 2004 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 3

3 –2 , B = 1 1     3. Donades les matrius : A =    –2 1 1 1 a) trobeu una matriu X tal que A · X = B; b) calculeu B100. Raoneu la resposta. [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt. Total: 2 punts]

3. Donades les matrius A   , B   es demana: − 2 1 1 1 ⋅ = a) trobeu una matriu X tal que A X B ; b) calculeu B100 . Raoneu la resposta. SOLUCIÓ. a) [1 punt] Podem procedir de dues maneres: − −  1 2  Observant que A és invertible, A−= 1   , − − 2 3 − − = − −  1 2  ⋅ 1 1   3 3  ⋅ = ⇒ = −1 ⋅ = A X B X A B    5 .  − − − − 2 3 1 1 5 =  a b  O bé podem fer X  i llavors c d  − = = − 3 a 2 c 1  a 3   − − + = = − = − −  3 2  ⋅ a b  =  1 1  2 a c 1 b 3  3 3  ⇒ ⇒ ⇒    X   .   − − = = − − − 2 1 c d 1 1 3 b 2 d 1 c 5 5 5     − + = = − 2 b d 1 d 5   b) [1 punt]  − −     2 2   4 4  n 1 n 1 99 99 2 2 2 2     2 =   3 = 2 ⋅ =   n = ⇒ 100 = B ; B B B ; B ; B . L − − 2 2 4 4 n 1 n 1 99 99 2 2 2 2         Puntueu 0,25 o 0,5 punts si calculen correctament algunes potències de B però no arriben a veure el patró general. ur vr = = (−