PAU Matemàtiques 2004 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 5

Considereu la funció polinòmica de tercer grau, f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, (a ≠0). 5. a) Trobeu els valors de a, b, c i d per als quals f(x) talla l’eix OX en els punts x = 0 i x = 1 i presenta un mínim relatiu en el punt x = 0. b) Feu un esbós de la gràfica de la funció que heu trobat, i acabeu de calcular els elements necessaris per dibuixar-la. [Puntuació: apartat a) 2 punts; apartat b) 2 punts. Total: 4 punts]

PROBLEMES ( ) = + + + 5. Considereu la funció polinòmica de tercer grau, f x ax 3 bx 2 cx d , ≠ ( a 0 ) . Es demana: a , b , c i d que fan que f (x ) talli l’eix OX en els punts a) trobeu els valors de = = = x 0 x 1 x 0 i i que tingui un mínim relatiu en el punt ; b) feu un esbós de la gràfica de la funció que heu trobat, tot acabant de calcular els elements necessaris per dibuixar-la. SOLUCIÓ. a) [2punts] Imposant les condicions de l’enunciat, =  a a = ⇒ =  f ( ) 0 0 d 0  = − b a  = ⇒ + + + = ⇒ f ( ) 1 0 a b c d 0  = c 0   = ⇒ = f '( ) 0 0 c 0  = d 0.  2 . Derivant, ( ) = 3 − = − ≠ Així la funció és f x ax ax f ('' 0 ) 2 a 0 i com que sabem que > ⇒ < a x=0 hi ha un mínim, f ''( ) 0 0 a 0 . b) [2 punts] La funció queda com = − 3 2 y ax ax , la gràfica de la qual és a la figura. Talls amb eixos a (0,0) i 0,1( ) ; tenim un mínim relatiu −   1 2 a hi  ,  a (0,0); a 3 27   trobem un punt d’inflexió i a −  2 4 a un màxim relatiu.    ,  3 27  Puntueu 1 punt per la for […]