PAU Matemàtiques 2004 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 6

6. Considereu les rectes x = 1 + 3t   r: x – 2 = y + 1 = z s: y = –1 – 4t i –2 1 –2  z = 5 + t a) Estudieu la seva posició relativa. b) Trobeu l’equació del pla que conté s i és paral·lel a r. c) Calculeu la distància entre r i s. [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1,5 punts; apartat c) 1,5 punts. Total: 4 punts]

6. Considerem les rectes = +  x 1 3 t − +  x 2 y 1 z = = = − − r : i s : y 1 4 t − − 2 1 2  = + z 5 t . a) Estudieu la seva posició relativa. b) Trobeu l’equació del pla que conté a s i és paral·lel a r. c) Calculeu la distància entre r i s. SOLUCIÓ. a) [1 punt] No són paral·leles perquè els vectors directors, (-2,1,-2) i (3,-4,1) són linealment independents. Per veure si es creuen o es tallen, mirem el rang dels tres vectors (-2,1,-2), (3,-4,1) i (2-1,-1-(-1),0-5): − −  2 3 1  2 3 1   − − ≠ 1 4 0 1 4 0 .0 la matriu   té rang 3 perquè   − − − − 2 1 5 2 1 5   Per tant, les rectes es creuen a l’espai. b) [1,5 punts] L’equació vectorial del pla demanat és: = − + ⋅ − − + ⋅ − ∈ ( x , y , z ) ,1( ,1 5 ) a ( ,1,2 2 ) b ( ,3 )1,4 a , b R amb . La general és − − x 1 2 3 + − = ⇒ + − + = y 1 1 4 .0 7 x 4 y 5 z 22 0 . − − z 5 2 1 És suficient obtenir una de les equacions. c) [1,5 punts] La distància entre les dues rectes ara es pot trobar com la distància + − + = d’un punt qualsevol […]