PAU Matemàtiques 2005 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 5

PROBLEMES 5. De tres nombres, x, y, z, sabem el següent: que el primer més el segon sumen 0; que el primer més el tercer sumen 1; que la suma de tots tres és 0 i, per acabar, que el primer multiplicat per un nombre k més el doble de la suma del segon i del tercer dóna 1. a) Què podeu dir del valor de k? b) Quant valen els tres nombres? [Puntuació: apartat a) 2 punts; apartat b) 2 punts. Total: 4 punts]

PROBLEMES 5. De tres nombres, x , y i z , sabem el següent: que el primer més el segon sumen 0; que el primer més el tercer sumen 1; que la suma de tots tres val 0 i, per últim, ens diuen que el primer multiplicat per un nombre k més el doble de la suma del segon i del tercer dóna 1. Es demana: a) què podem dir del valor de k ? b) quan valen els tres nombres? SOLUCIÓ a) [2 punts] Els nombres han de ser solució del sistema: + =  x y 0  + = x z 1  + + = x y z 0  ( )  + + = kx 2 y z 1  Podem optar per dos maneres de resoldre el problema. Una és resoldre el sistema = = − = format pels tres primeres equacions: x 1; y 1; z 0 . Ara, substituint a la quarta k = equació, tenim que 3 . També podem discutir el sistema segons els valors de k . Si triangulem per Gauss la matriu ampliada del sistema, tindrem:  1 1 0 0   1 1 0 0   1 1 0 0        − − 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1             1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0       − − − k 2 2 1 0 2 k 2 1 0 0 4 k 3 k     […]