PAU Matemàtiques 2004 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 4

ru rv 4. Donats els vectors = (1, 2) i = (–3, 1): ru rv a) comproveu que i formen una base de l’espai vectorial dels vectors del pla; rw ru rv b) trobeu els components del vector = (–1, 5) en la base { , }. [Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt. Total: 2 punts]

4. Donats els vectors ,1( 2 ) i )1,3 , es demana: a) comproveu que ur i vr formen una base de l’espai vectorial dels vectors del pla; wr u r r, en la base { } = (− b) trobeu els components del vector ,1 5 ) v . SOLUCIÓ. a) [1 punt] Un conjunt de vectors de R2 són base quan són linealment independents i formen un sistema de generadors. Si el nombre de vectors coincideix amb la dimensió de l'espai, com en aquest cas, només cal comprovar una d’aquestes condicions. Aquí, (1,2) i (-3,1) són linealment independents perquè la matriu −  1 3    té rang 2 que es pot veure o bé reduint-la per Gauss, 2 1   − − −  1 3   1 3  1 3     → ≠ .0 o bé perquè el determinant 2 1 0 7 2 1     Si només comproven una de les dues condicions sense més comentaris, traieu 0,25 punts. r r r = ⋅ + ⋅ b) [1 punt] Hem de trobar a i b tal que w a u b v . Són les solucions del sistema:  − = − =  a 3 b 1 a 2 ωr u r r, en base { } ⇒ =   Per tant, ( )1,2 v . + = = 2 a b 5 b .1  