PAU Matemàtiques 2022 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 3

3. Sigui la recta r definida per l’expressió següent: a) Determineu la posició relativa de la recta r respecte al pla π: x – 2y + 4z – 4 = 0. Si és paraŀlela, calculeu la distància de r a π, i si és secant, calculeu el punt de tall. [1,25 punts] b) Calculeu l’equació de la recta s perpendicular al pla π i que talla la recta r en un punt P, la primera coordenada del qual és 5 vegades més gran que la segona. [1,25 punts]

Resolució: a) Comprovem si la recta 𝑟 es troba continguda en el pla substituint el punt 𝑃(2, −1, 3) 𝜖 𝑟 en l’equació del pla 𝜋: 2 −2 · (−1) + 4 · 3 −4 = 12 ≠0 ; llavors no està continguda al pla. Comprovem si la recta és paral·lela al pla. El producte escalar del vector normal al pla i el vector director de la recta hauria de ser nul ja que serien perpendiculars: (1, 3, 1)٠(1,−2,4)=1−6+4≠0 ; llavors no són paral·lels. Així doncs, la recta 𝑟 és secant al pla 𝜋. El punt de tall entre la recta i el pla es pot calcular substituint 𝑥, 𝑦 i 𝑧 de la recta dins l’equació del pla: (2 + 𝜆) −2(−1 + 3𝜆) + 4(3 + 𝜆) −4 = 0 2 + 𝜆+ 2 −6𝜆+ 12 + 4𝜆−4 = 0 →−𝜆+ 12 = 0 →𝜆= 12 El punt de tall és: (2 + 12, −1 + 3 · 12, 3 + 12) = (14, 35, 15) . Observació: També es pot plantejar directament el sistema format per la recta i el pla per trobar la intersecció, estudiar-lo i resoldre’l. b) L’equació de la recta 𝑠 perpendicular al pla 𝜋 i que talli la recta 𝑟 en el punt 𝑃 té per vector director el vector normal al p […]