PAU Matemàtiques 2022 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 6

6. Al pati d’una escola es vol crear una àrea de joc de 30 m2 per als més petits en forma de trapezi rectangular, de manera que la base més gran mesuri el doble que la base més petita, tal com mostra la figura, i que el costat oblic respecte a les bases (D) sigui tan curt com sigui possible. a) Justifiqueu que se satisfan les relacions següents: i . [1 punt] b) Trobeu les dimensions del trapezi per a les quals la longitud del costat D és mínima. [1,5 punts]

Resolució: a) 3𝑥 20 L’àrea del trapezi és 𝐴= 2 · ℎ i utilitzant que l’àrea fa 30 𝑚2 obtenim ℎ= 𝑥. Observem que podem descomposar el trapezi en un rectangle de base 𝑥 i altura ℎ i un triangle rectangle d’hipotenusa 𝐷 i catets 𝑥 i ℎ. Ara només cal aplicar el teorema de Pitàgores a aquest triangle per obtenir 𝐷(𝑥) = √400 𝑥2 + 𝑥2 . b) Per minimitzar la funció 𝐷(𝑥) derivem obtenint −800 −400 + 2𝑥 + 𝑥 𝑥3 𝑥3 𝐷′(𝑥) = = 2 · √400 √400 𝑥2 + 𝑥2 𝑥2 + 𝑥2 −400 𝑥3 + 𝑥= 0 i obtenim 𝑥4 = 400 i, Resolem ara l’equació 𝐷′(𝑥) = 0 o equivalentment tenint en compte que només podem prendre les solucions positives, l’únic candidat a extrem és 𝑥= √20 = 2√5. Ara podem observar que en l’interval (0,2√5) tenim 𝐷′(𝑥) < 0 i, per tant, 𝐷 és decreixent i que a l’interval (2√5, +∞) tenim 𝐷′(𝑥) > 0 i, per tant, 𝐷 és creixent, i, per tant, en 𝑥= 2√5 hi ha un mínim. Així les dimensions que fan el costat oblic mínim són 𝑥= ℎ= √20 = 2√5 𝑚 i 𝐷= √40 = 2√10 𝑚. Observació: Per al càlcul del punt singular, també es pot procedir a […]