PAU Matemàtiques 2022 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 5

5. Sigui la matriu , que depèn dels paràmetres a, b i c. a) Calculeu les matrius X tals que . [1,5 punts] b) Determineu els valors de a, b i c perquè la matriu inversa de X sigui . [1 punt]

Resolució: a) Calculem l’expressió de 𝑋2 en funció dels paràmetres i la igualem a la matriu donada: 𝑎2 𝑎 1 0 𝑎 1 0 1 0 1 𝑎+ 𝑏 1 𝑋2 = ( )·( ) = ( )=( ) 𝑏2 0 𝑏 1 0 𝑏 1 0 1 0 0 𝑏+ 𝑐 𝑐2 0 0 𝑐 0 0 𝑐 0 0 1 0 0 D’aquesta igualtat de matrius en sorgeixen les equacions següents: 𝑎2 = 1 →𝑎= ±1 𝑏2 = 1 →𝑏= ±1 𝑐2 = 1 →𝑐= ±1 𝑎+ 𝑏= 0 →𝑎= −𝑏 𝑏+ 𝑐= 0 →𝑏= −𝑐 Llavors, les solucions per 𝑎, 𝑏 i 𝑐 són: 𝑎= 1, 𝑏= −1, 𝑐= 1 i 𝑎= −1, 𝑏= 1, 𝑐= −1 És a dir, hi ha dues possibles matrius 𝑋: 1 1 0 −1 1 0 ) i ( ) ( 0 −1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 −1 b) Només cal imposar que 1 −1 −1 𝑎 1 0 1 0 0 2 2 2 ). ( ) ( ) = ( 0 𝑏 1 0 1 0 0 1 1 0 0 𝑐 0 0 1 0 0 −1 Multiplicant obtenim la següent igual matricial. 𝑎 1 −𝑎 1 −𝑎 1 0 0 2 2 2 ). ( ) = ( 0 1 0 0 𝑏 𝑏−1 0 0 1 0 0 −𝑐 I igualant terme a terme els elements de la diagonal obtenim 𝑎 2 = 1 →𝑎= 2; 𝑏= 1; −𝑐= 1 →𝑐= −1. 𝑎 I també es compleix que 1 − 2 = 0 per al valor 𝑎= 2, i 𝑏−1 = 0 per al valor 𝑏= 1. Així la solució és 𝑎= 2, 𝑏= 1 i 𝑐= −1. Observació: De forma alternativa també es pot calcula […]