PAU Matemàtiques 2022 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 5

5. Siguin els punts A = (0, 0, 1), B = (1, 1, 1), C = (–1, –1, 1) i D = (1, 0, 1). a) Comproveu que tres d’aquests punts estan alineats. Determineu quins són els tres punts i calculeu l’equació contínua i l’equació paramètrica de la recta que defineixen. [1,25 punts] b) Calculeu l’equació general o cartesiana del pla que determinen els quatre punts. [1,25 punts]

a) Per a trobar els tres punts alineats calculem els vectors 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 𝐵−𝐴= (1,1,0) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 𝐶−𝐴= (−1, −1,0) 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 𝐷−𝐴= (1,0,0) i com que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗= −𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗∦𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗, els tres punts alienats són: 𝐴, 𝐵 i C. La recta que defineixen està determinada, per exemple, pel punt 𝐴= (0,0,1) i el vector director 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗= (1,1,0). Per tant: 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑐𝑖ó 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎: 𝑟𝐴𝐵: 𝑥= 𝑦= 𝑧−1 𝑥= 𝑘 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑐𝑖ó 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎: 𝑟𝐴𝐵: { , 𝑘∈ℝ 𝑦= 𝑘 𝑧= 1 b) Busquem el pla 𝜋 determinat pels punts 𝐴, 𝐵 i D: el punt A i els vectors directors 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ i 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ determinen el pla. Si 𝑋= (𝑥, 𝑦, 𝑧) és un punt genèric del pla 𝜋 tindrem 𝑥 𝑦 𝑧−1 | = 0 | 1 1 0 1 0 0 Desenvolupant el determinant per Sarrus: 𝜋: −(𝑧−1) = 0 Per tant l’equació general del pla és: 𝜋: 𝑧= 1 . Observació: De forma equivalent es pot trobar l’equació a partir del vector normal al pla 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗× 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗= (0, 0, −1).