PAU Matemàtiques 2022 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 4

4. a) Trobeu una funció polinòmica y = g(x) de grau 3 tal que talli l’eix de les ordenades en el punt (0, 5), que la recta tangent a y = g(x) en el punt d’abscissa x = 1 sigui horitzontal i que g″(x) = 2x + 1. [1 punt] b) Comproveu que la funció f(x) = –x3 + 6x2 – 16 té una arrel a x = 2 i que és estrictament creixent a l’interval (0, 4). Utilitzeu aquesta informació per a calcular l’àrea determi­ nada per la funció f(x), l’eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = 4. [1,5 punts]

Resolució: a) De la funció 𝑔 tenim la informació següent: 𝑔(0) = 5, 𝑔′(1) = 0, 𝑔′′(𝑥) = 2𝑥+ 1. Per tant, sabem que 𝑔′(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥+ 𝑚 on 𝑚 és una constant real. Com que 𝑔′(1) = 0 𝑥3 𝑥2 deduïm que 𝑚= −2. Aleshores 𝑔(𝑥) = 2 −2𝑥+ 𝑛 on 𝑛 és una constant real. 3 + Com que 𝑔(0) = 5 deduïm que 𝑛= 5. Així tenim que 𝑔(𝑥) = 𝑥3 3 + 𝑥2 2 −2𝑥+ 5 Observació: També és totalment correcte el plantejament inicial de 𝑔(𝑥) = 𝑎+ 𝑏𝑥+ 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥3 i imposant les condicions obtenir els valors respectius de a, b, c i d. b) La funció 𝑓 és polinòmica i, per tant, contínua i derivable a tots els nombres reals. Comprovem fàcilment que 𝑓(2) = 0 i per tant 𝑥= 2 és una arrel de la funció. Per comprovar si és estrictament creixent a l’interval indicat calculem la funció derivada 𝑓′(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥, que s’anul·la per a 𝑥= 0 i 𝑥= 4. Com que es tracta d’una paràbola amb coeficient principal negatiu deduïm que la derivada és estrictament positiva en l’interval (0,4) i, per tant, que la funció 𝑓 és estrictament creixent en aqu […]