PAU Matemàtiques 2022 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 2

2. Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1,5 punts] b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas a = 2. [1 punt]

Resolució: a) La matriu de coeficients i la matriu ampliada, 𝐴 i 𝐴’, són les següents: 𝑎 2 3 2 || 2 𝑎 1 𝑎 ⏟ 1 1 4 1 ⏟ 𝐴 ( ) 𝐴′ En primer lloc, es calcula 𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑎 2 3 | = 4𝑎2 + 6 + 2 −3𝑎−𝑎−16 = 4𝑎2 −4𝑎−8 | 2 𝑎 1 1 1 4 que s’anul·la per als valors de 𝑎= −1 i 𝑎= 2. A continuació s’estudien els tres casos: 𝑎= −1, 𝑎= 2 i 𝑎≠−1, 2. CAS 𝑎= −1 S’obté el sistema: −𝑥+ 2𝑦+ 3𝑧= 2 2𝑥− 𝑦 + 𝑧= −1 { 𝑥+ 𝑦+ 4𝑧= 1 On s’observa que sumant la primera més la segona equació s’obté la tercera per tant, el 𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴) i el 𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴’) no seran màxims: −1 2 3 2 || 2 −1 1 −1 ⏟ 1 1 4 1 ⏟ 𝐴 ( ) 𝐴′ Com que sabem que 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0 i tenim que el menor |−1 2 −1| ≠0, aleshores el 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 2. Com que de la suma de la primera més la segona equació s’obté la tercera, tots els menors d’ordre 3 seran nuls, i per al menor d’ordre dos no nul anterior, 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴’) = 2. També es pot argumentar que el 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴’) < 3 a partir de trobar que els determinants d’ordre corresponent són nuls. Per tant, es té que 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴’) = 2 < 3 = nombr […]