PAU Matemàtiques 2022 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 1

1. Sigui f′(x) = 3x2 – 12x la derivada d’una funció f(x). a) Si sabem que f(x) talla l’eix de les abscisses en x = 1, calculeu l’expressió de la funció f(x). [0,75 punts] b) Calculeu l’abscissa del punt d’inflexió de f(x) i estudieu la concavitat de la funció. [0,75 punts] c) Sabem que l’àrea del recinte limitat per la corba y = f″(x), l’eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = a, amb a > 2, és 15u2. Calculeu el valor de a. [1 punt]

Resolució: a) Com que 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 −12𝑥, integrant tenim que 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −6𝑥2 + 𝐶, on 𝐶 és una constant real. Ara bé, sabem que 𝑓(𝑥) talla l’eix d’abscises en 𝑥= 1, per tant, 𝑓(1) = 0. Substituïm: 𝑓(1) = 13 −6 · 12 + 𝐶= 0 →𝐶= 5 I obtenim 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −6𝑥2 + 5 . b) En el punt d’inflexió s’anul·larà la derivada segona: 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥−12 = 0 →𝑥= 2 Per estudiar la concavitat de 𝑓(𝑥), estudiarem el signe de la derivada segona: A l’esquerra del punt 𝑥= 2 la derivada segona és negativa i a la dreta del punt 𝑥= 2 la derivada segona és positiva. Per tant:  En el punt (2, 𝑓(2)) hi ha un punt d’inflexió.  La funció té concavitat negativa o és còncava cap avall a l’interval (−∞, 2)  La funció té concavitat positiva o és còncava cap amunt a l’interval (2, +∞) c) La funció 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥−12 talla l’eix d’abscises en 𝑥= 2 i l’enunciat ens diu que 𝑎> 2, fets que s’hauran de tenir en compte en el càlcul de les integrals definides: 2 𝑎 15 = ∫(12 −6𝑥)𝑑𝑥 + ∫(6𝑥−12)𝑑𝑥 0 2 2 + [3𝑥2 −12𝑥]2 15 = [12𝑥−3𝑥2]0 𝑎 15 = 24 − […]